1、平面向量一向量有關概念 ：1 向量的概念 ：既有大小又有方向的量，注意向量和數量的區別。向量常用有向線段來表示，注意不能說向量就是有向線段 ，為什么？（向量可以平移） 。如：2零向量：長度為 0的向量叫零向量，記作： 0，注意 零向量的方向是任意的 ；3單位向量 ：長度為一個單位長度的向量叫做單位向量 （與 AB共線的單位向量是 AB ）； |AB|4 相等向量 ：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；5平行向量（也叫共線向量） ：方向相同或相反的非零向量 a 、b 叫做平行向量，記作： ab ，規定零向 量和任何向量平行 。提醒 ：但兩條直線平行不包 相等向量一定是共線向

2、量，但共線向量不一定相等； 兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念：兩個向量平行包含兩個向量共線 含兩條直線重合； 平行向量無傳遞性 ！（因為有 0） ；三點 A、B、C 共線AB、AC 共線；a 的相反向量是 a 。如6 相反向量 ：長度相等方向相反的向量叫做相反向量。，則 a b 。（ 2）兩個向量相等的充要條件是它們的起點相同，終點相同。，則ABCD是平行四邊形。（4）若ABCD是平行四邊形，則AB DC 。（5）若a bb, c ，則a c。 （答：（ 4）（ 5）下列命題：（ 1）若 a bAB DC ，（6）若 a/b,b/c，則 a / c 。其中正確的是3）若二向量的表示

3、方法 ：1 幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如AB ，注意起點在前，終點在后；2符號表示法：用一個小寫的英文字母來表示，如a ， b ， c 等；3坐標表示法：在平面內建立直角坐標系，以與 x軸、 y軸方向相同的兩個單位向量 i ， j 為基底，則平面內的任一向量 a 可表示為 a xi yj x, y ，稱 x,y 為向量 a的坐標， a x,y 叫做向量 a 的坐標表示。 如果 向量的起點在原點 ，那么向量的坐標與向量的終點坐標相同。三平面向量的基本定理 ：如果 e1和 e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對該平面內的任一向量a，有且只有一對實數 1 、 2 ，使 a= 1 e1 2

4、 e2。 如1)若a (1,1),b (1, 1),c ( 1,2) ，則 c答：13ab )；22B. e1 ( 1,2), e2 (5,7)13D. e1 (2, 3),e2 ( , )1 2 2 42）下列向量組中，能作為平面內所有向量基底的是A. e1 （0,0）, e2 （1, 2）C. e1 （3,5）,e2 （6,10）： B ）；3）已知 AD,BE分別是 ABC 的邊BC, AC上的中線,且AD a,BE b,則BC可用向量 a,b表示為24（答： ab ）；334）已知 ABC中，點 D在BC邊上，且 CD 2DB，CD r AB sAC，則r s的值是答：0）四實數與向量

5、的積：實數 與向量a 的積是一個向量，記作 a ，它的長度和方向規定如下：1 a a , 2當 0 時， a 的方向與 a 的方向相同，當0 時， a的方向與 a的方向相反，當 0 時， a 0 ，注意： a 0。五平面向量的數量積1 兩個向量的夾角 ：對于非零向量作AOB0 稱為向量 a ， b的夾角，當 0時， ab 同向，當 時， a ， b 反向，當 時， a ，2b 垂直。2平面向量的數量積 ：如果兩個非零向量 a ，b ，它們的夾角為 ，我們把數量 | a | b |cos 叫做 a與b 的數量積（或內積或點積） ，記作： a b ，即 a b a b cos 。規定：零向量與任一

6、向量的數量積是0， 注意數量積是一個實數，不再是一個向量 。如11（1）已知 a （1, ）,b （0, ）,c a kb,d a b，c與d 的夾角為 ，則 k等于答： 1）；2 2 4（2）已知 a 2,b 5,ab 3，則 a b 等于3）已知 a,b 是兩個非零向量，且則 a與 a b 的夾角為答： 23 ）；（答： 30 ）3 b 在 a 上的投影 為|b|cos ，它是一個實數，但不一定大于 0。如 已知|a| 3，|b| 5，且a b 12 ，則向量 a在向量 b上的投影為答：12)54a b 的幾何意義 ：數量積 a b等于 a的模 |a|與b 在a上的投影的積。5向量數量積的

7、性質 ：設兩個非零向量 a， b ，其夾角為 ，則： a b a b 0；abab當 a ， b 同向時， a b，特別地， a a a；非零向量 a ， b 夾角 的計算公式： cos；當 a 與 b 反向時， a b； |a b| |a|b|。如1）已知 a （ ,2 ）， b （3 ,2） ，如果 a與b 的夾角為銳角，則的取值范圍是 41 （答： 或0 且）；33六向量的運算 ：1 幾何運算 ： 向量加法：利用“平行四邊形法則”進行，但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向量，如此之外，向量a b AB BC AC ； 向量的減法：用“三角形法則” ：設 AB a, 指向被減向量的終點。

8、注意：此處減向量與被減向量的起點加法還可利用“三角形法則”：設 AB a,BC b，那么向量 AC 叫做a 與b 的和，即b, 那么a b AB AC CA ，由減向量的終點 。如) (AC BD) _1）化簡： AB BC CD _； AB AD DC ； （AB CD） （AC BD） （答： AD ； CB ； 0 ）；2）若正方形 ABCD的邊長為 1， AB a,BC b,AC c，則 |a b c |答： 2 2 ）；2坐標運算 ：設 a （x1, y1）,b （x2,y2） ，則： 向量的加減法運算 ： a b （x1 x2 ， y1 y2） 。如 部分內容來源于網絡，有侵權請聯

9、系刪除！(1)已知點 A(2,3), B(5,4) ， C(7,10) ，若 AP AB AC( R) ，則當 時，點 P在第一、三象限的角平分線上1答： 1 )；2(2)已知作用在點 A(1,1)的三個力 F1 (3,4), F2 (2, 5),F3 (3,1) ，則合力 F F1 F2 F3 的終點坐 標是答：(9,1)實數與向量的積 ： ax1,y1x1, y1 。若 A(x1,y1),B(x2,y2)，則 AB x2 x1,y2 y1 ，即一個向量的坐標等于表示這個向量的有向線段 的終點坐標減去起點坐標。 如AD 3AB，則 C、D 的坐標分別是設 A(2,3), B( 1,5) ，且

10、 AC 1AB ，311答： (1, ),( 7,9) )；3平面向量數量積 ： a b x1x2 y1y2 。如已知向量 a(sinx，cosx), b ( sinx， sinx) , c( 1，0),若 x ，求向量 a、c的夾角；32向量的模 ：|a| x2 y2,a |a|2 x2 y2。如已知 a ,b均為單位向量，它們的夾角為 60 ，那么 |a 3b | (答： 13 )；兩點間的距離 ：若 Ax1,y1,Bx2,y2，則| AB|x2x1y2y1。七向量的運算律 ：1交換律：a b b a，a a，a b b a；2結合律：a b c a b c,a b c a b c ， a

11、 b a b a b ；3分配律：a a a, a b a b， a b c a c b c 。2下列命題中： a (b c) a b a c ； a (b c) (a b) c ； (a b)2|a|222|a| |b| |b|2 ； 若 a b 0，則 a 0或b 0；若 a b c b,則 a c； a22a；a b b 2 2 2 ； (a b) a b ； (a b) a 2a b b 。其中正確的是 aa提醒：(1)向量運算和實數運算有類似的地方也有區別：對于一個向量等式，可以移項，兩邊平方、兩邊同乘 以一個實數，兩邊同時取模，兩邊同乘以一個向量，但不能兩邊同除以一個向量，即兩邊不

12、能約去一個向量，答：)切記兩向量不能相除 (相約) ；(2)向量的“乘法”不滿足結合律 ，即 a(b c) (a b)c ，為什么？22八向量平行 (共線)的充要條件 ： a/b a b (a b)2 (|a |b |)2x1y2 y1x2 0。如(1) 若向量 a (x,1),b (4, x)，當 x時a與b 共線且方向相同(答： 2)；(2)已知 a (1,1),b (4,x)，u a 2b，v 2a b，且u/v，則 x答： 4)；(3)設PA ( k,12), PB (4,5), PC (10,k ) ，則 k時， A,B,C 共線(答： 2或11)九向量垂直的充要條件 ： a b a b 0 |a b| |a b|x1x2 y1y2