1、構造向量解數學問題的一些應用 摘要 本文對中學的距離、面積、體積和不等式求解證明等問題利用向量來求解證明，并對向量的應用作簡單歸納總結.能培養學生的創新思維能力.關鍵詞 向量；距離；面積；體積；柯西不等式向量作為數學的重要工具，有著廣泛的應用，是數形結合的一個重要工具，是一種很好的數學研究方法，并且列入到高中數學教材，有利于發展中學生的思維能力和激活創新思維.向量是研究代數和幾何之間的橋梁和紐帶，利用向量解決代數問題和幾何問題，常常能使一些復雜的問題簡單化構造向量法解題對給定的一個數學問題,只有對其結構特征進行了認真的觀察、研究、確認和向量具有某些聯系,才能用構造法來解，且利用構造向量來解答，

2、證明會有意想不到的效果.本文運用向量工具對幾個數學問題進行一些應用. 一.平面上點到直線距離公式向量的數量積作為向量乘法一種重要運算，在向量理論中占有十分重要的位置，對求平面、空間距離十分有效. 設平面上一條直線，在平面上，為直線的單位法向量，是直線外平面上一定點，求p到直線的距離.解 從圖1容易可知，有幾何射影的意義，得 因為由此，我們想到中學的點到直線的距離公式 圖 1現在，我們用向量方法來證明它.證明 如圖2，假設直線：，取它的方向向量,為直線的法向量.設，因為 所以，故稱為直線的法向量，與單位向量于是，點即為直線：的距離等于向量在方向上射影的長度： 又因為為上任意一點，所以，故那么，點

3、到面的距離又怎么求呢？下面我們探討一下：二空間中點到平面距離設同在一個平面上，點,求點p到平面的距離。解 取平面內任意點f，有向量，我們知道平面的法向量為，找點p在上的射影m，則有/,且|為所求的距離，于是.利用以上的基本方法，可以通過構造向量法，有效地解決平面、空間上的距離問題.三.構造向量求方程的解求方程的解，一般是用代數的方法來求解。換另一種思維思考，觀察方程的特征，通過構造向量，有時也能簡化無理方程來求方程的解.例1解方程解：將原方程變形為構造向量=（-1,3）及=（-2,-2）,則=（1，5），=，所以 ，即向量與向量平行且方向相反，則，展開得解之得 =.四.構造向量證明不等式 不等

4、式的證明往往是比較困難的，但根據問題的結構特點，通過構造向量使問題可以簡化，問題就容易解決了.例2 若 ,求證：證明 設， ， ，則 +=（2，2）， ，將代入，即可得.例3 若及均為實數，求證：證明 構造向量及向量，則 ，將代入，即可得.例4 設x，yr，求證：證明 原不等式配方得.構造向量 = (x - 8， y -3) 及 = (x - 2， y + 5)，則 -= (-6，-8)， ，將代入，即可得到.例5 已知：，,求證：證明 構造向量=及=，則=,由于，則.例6 證明柯西不等式：證明 在歐式空間中，設，我們知道 ，而，則從而得.兩邊平方得.在數學分析中我們學過了柯西不等式，用積分證

5、明比較困難，而用向量來證明使問題簡單化.五構造向量證明等式例7 設x，y，z，a，b，cr，且, 求證： .證明 構造向量及 =，則=，由及已知條件可知，即、的夾角為0 或p由向量共線的充要條件即可得到結論六.構造向量求面積 利用向量的向量積可以解決有關面積計算.如解三角形的面，以為鄰邊的三角形的面積為，對于多邊形的面積計算，可以分割成多個三角形，在求它們積之和.如圖所示，邊形，可以分割成個三角形則有：這里合理分割成三角形，靈活應用向量的線性運算和向量的內外積.七.巧用向量的混合積求體積 利用向量的混合積，解決有關體積的計算。設為三個不共面向量，且兩兩不共線，v 以為相鄰三條棱的四面的體積為

6、若棱錐頂點a是空間一定點，并且知道高向量，利用上面的面積求法求出底面面積，則有.八.構造向量求解解析幾何問題例8 設橢圓的焦點為,點是其上的動點，當為鈍角時，求點p 的橫坐標的取值范圍解 由題設可知設動點的坐標為，構造向量，.因為 為鈍角，所以有即，與橢圓方程聯立可得 的取值范圍為.例9 一個圓的一條直徑的兩個端點分別是、，證明圓的方程是.證明 設為圓上的任意一點，則向量由于,因此，即.例10 求連結兩點和線段的垂直平分面的方程.解 設為平分面的任意一點，從條件的特征性質可知：.而從而得化簡得 即為所求的垂直平分面的方程.九.構造向量解立體幾何問題 用向量法解立體幾何題，把復雜的邏輯推理化為簡

7、單的向量運算.使解題過程簡易明了.例11 在棱長為4 的正方體中,是正方形的中心,點在棱上，邊.試求(1)直線與平面所成的角的大小;(2)設點在平面上的射影是，求證：.解 （1）因為平面，所以與平面所成的角就是.如右圖建立空間直角坐標系,坐標原點是.且 即.所以直線與平面所成的角為.（2）連結由(1)有且 因為平面的斜線在這個平面內的射影是. 總述，向量作為重要數學工具之一，是代數和幾何之間的橋梁.運用構造向量法解題是一種創造性的思維活動.它需要我們根據所研究的問題的結構特征，運用類比、聯想等方法，靈活地將問題遷移到新問題中去，活用內積，外積，混合積，向量的線性運算等知識，若我們經常有意識的進行這方面的訓練，對培養思維能力，提高解題能力有很大的益處.參考文獻1呂林根，許子道等編.解析幾何（第三版）m.北京：高等教育出版社，1987.4.2張禾瑞，郝鈵新.高等代數（