1、第四章 重復(fù)博弈 本章介紹基本博弈重復(fù)進(jìn)行構(gòu)成的重復(fù)博弈。雖然形式上是基本博弈的重復(fù)進(jìn)行，但重復(fù)博弈中博弈方的行為和博弈結(jié)果卻不一定是基本博弈的簡(jiǎn)單重復(fù)，因?yàn)椴┺姆綄?duì)于博弈會(huì)重復(fù)進(jìn)行的意識(shí)，會(huì)使他們對(duì)利益的判斷發(fā)生變化，從而使他們?cè)谥貜?fù)博弈過(guò)程中的行為選擇受到影響。這意味著不能把重復(fù)博弈當(dāng)作基本博弈的簡(jiǎn)單疊加，必須把整個(gè)重復(fù)博弈過(guò)程作為整體進(jìn)行研究。本章分三節(jié)4.1 重復(fù)博弈引論4.2 有限次重復(fù)博弈4.3 無(wú)限次重復(fù)博弈4.1 重復(fù)博弈引論4.1.1 為何研究重復(fù)博弈4.1.2 基本概念4.1.1 為何研究重復(fù)博弈n經(jīng)濟(jì)中的長(zhǎng)期關(guān)系n人們的預(yù)見(jiàn)性n未來(lái)利益對(duì)當(dāng)前行為的制約n長(zhǎng)期合同、回頭客、

2、長(zhǎng)客和一次性買(mǎi)賣的區(qū)別n有無(wú)確定的結(jié)束時(shí)間4.1.2 基本概念n有限次重復(fù)博弈有限次重復(fù)博弈：給定一個(gè)基本博弈G（可以是靜態(tài)博弈，也可以是動(dòng)態(tài)博弈），重復(fù)進(jìn)行T次G，并且在每次重復(fù)G之前各博弈方都能觀察到以前博弈的結(jié)果，這樣的博弈過(guò)程稱為“G的T次重復(fù)博弈”，記為G(T)。而G則稱為G(T)的“原博弈”。G(T)中的每次重復(fù)稱為G(T)的一個(gè)“階段”。n無(wú)限次重復(fù)博弈無(wú)限次重復(fù)博弈：一個(gè)基本博弈G一直重復(fù)博弈下去的博弈，記為G( )n策略策略：博弈方在每個(gè)階段針對(duì)每種情況如何行為的計(jì)劃n子博弈子博弈：從某個(gè)階段（不包括第一階段）開(kāi)始，包括此后所有的重復(fù)博弈部分n均衡路徑均衡路徑：由每個(gè)階段博弈

3、方的行為組合串聯(lián)而成重復(fù)博弈的得益的平均得益為相同的現(xiàn)在值，則稱得益序列階段的得益，能產(chǎn)生與無(wú)限次重復(fù)博弈）各個(gè)重復(fù)博弈或作為重復(fù)博弈（有限次：如果一常數(shù)，,2121平均得益11)1 (ttt慮貼現(xiàn)問(wèn)題無(wú)限次重復(fù)博弈必須考考慮貼現(xiàn)因素有限次重復(fù)博弈不一定4.2 有限次重復(fù)博弈4.2.1 兩人零和博弈的有限次重復(fù)博弈4.2.2唯一純策略納什均衡博弈 的有限次重復(fù)博弈4.2.3多個(gè)純策略納什均衡博弈 的有限次重復(fù)博弈4.2.4 有限次重復(fù)博弈的民間定理4.2.1 兩人零和博弈的有限次重復(fù)博弈n零和博弈是嚴(yán)格競(jìng)爭(zhēng)的，重復(fù)博弈并不改變這一點(diǎn)。n以零和博弈為原博弈的有限次重復(fù)博弈與猜硬幣博弈的有限次重復(fù)

4、博弈一樣，博弈方的正確策略是重復(fù)一次性博弈中的納什均衡策略。4.2.2唯一純策略納什均衡博弈的 有限次重復(fù)博弈n定理定理：設(shè)原博弈G有唯一的純策略納什均衡,則對(duì)任意整數(shù)T，重復(fù)博弈 G(T)有唯 一的子博弈完美納什均衡，即各博弈方每個(gè)階段都采用G的納什均衡策略。各博弈方在G(T)中的總得益為在G中得益的T倍，平均得益的與原博弈G中的得益。-5，-50，-8-8，0-1，-1坦 白不坦白囚徒囚徒2坦白不坦白囚囚徒徒1（-5，-5）-10，-10-13，-5-5，-13-6，-6坦 白不坦白囚徒囚徒2坦白不坦白囚囚徒徒1（-10，-10）有限次重復(fù)削價(jià)競(jìng)爭(zhēng)博弈100，10020，150150，20

5、70，70高 價(jià)低 價(jià)高價(jià)低價(jià)寡頭寡頭2寡寡頭頭1削價(jià)競(jìng)爭(zhēng)博弈有唯一純策略納什均衡（70，70）有限次重復(fù)的結(jié)果仍然是（低價(jià)，低價(jià)）4.2.3多個(gè)純策略納什均衡博弈的 有限次重復(fù)博弈5，53，32，00，22，06，00，20，61，1HMH廠商廠商2ML廠廠商商1L三價(jià)博弈2，23，13，11，34，47，11，31，78，8廠廠商商1廠商廠商2LMHHML兩次重復(fù)三價(jià)博弈的等價(jià)模型觸發(fā)策略觸發(fā)策略：兩博弈方先試探合作，一旦發(fā)現(xiàn)對(duì)方不合作則也用不合作報(bào)復(fù)博弈方1：第一次選h；如第一次結(jié)果為(H,H)，則第二次選M，否則選L博弈方2：同博弈方1兩市場(chǎng)博弈的重復(fù)博弈（重復(fù)兩次）n(A,B)+(A

6、,B) OR (B,A)+(B,A)(1,4)(4,1)n連續(xù)兩次采用混合策略(2,2)n(A,B)+(B,A) OR (B,A)+(A,B)(2.2,2.5)輪換策略n一次純策略+一次混合策略(1.5,3)(3,1.5)0，04，11，33，3廠廠商商1廠商廠商2BAAB兩市場(chǎng)博弈重復(fù)博弈不同策略、均衡及一次性博弈得益比較n不同策略組合、均衡得益圖示廠商2得益廠商1得益(1,4)(3,3)(2.5,2.5)(2,2)(3,1.5)(4,1)(1.5,3)4.2.4 有限次重復(fù)博弈的民間定理n個(gè)體理性得益?zhèn)€體理性得益：不管其它博弈方的行為如何，一博弈方在某個(gè)博弈中只要自己采取某種特定的策略，最

7、低限度保證能獲得的得益n可實(shí)現(xiàn)得益可實(shí)現(xiàn)得益：博弈中所有純策略組合得益的加權(quán)平均數(shù)組n定理定理：設(shè)原博弈的一次性博弈有均衡得益數(shù)組優(yōu)于w，那么在該博弈的多次重復(fù)中所有不小于個(gè)體理性得益的可實(shí)現(xiàn)得益，都至少有一個(gè)子博弈完美納什均衡的極限的平均得益來(lái)實(shí)現(xiàn)它們廠商2得益廠商1得益(1,4)(3,3)(1，1)(4,1)w=(1.1)4.3 無(wú)限次重復(fù)博弈4.3.1 兩人零和博弈的無(wú)限次重復(fù)博弈4.3.2 唯一純策略納什均衡博弈 的無(wú)限次重復(fù)博弈4.3.3 無(wú)限次重復(fù)古諾模型4.3.4 有效工資率4.3.1 兩人零和博弈的無(wú)限次重復(fù)博弈n兩人零和博弈無(wú)限次重復(fù)的所有階段都不可能發(fā)生合作，博弈方會(huì)一直重

8、復(fù)原博弈的混合策略納什均衡4.3.2唯一純策略納什均衡博弈 的無(wú)限次重復(fù)博弈兩寡頭削價(jià)競(jìng)爭(zhēng)博弈 該博弈一次性博弈均衡是都采用低價(jià)，是囚徒困境型博弈4，40，55，01，1HLHL無(wú)限次重復(fù)兩寡頭削價(jià)博弈 觸發(fā)策略觸發(fā)策略：第一階段采用H，如果前t-1階段的結(jié)果都是(H,H)，則繼續(xù)采用H，否則采用L。 如果博弈方2采用L，總得益現(xiàn)值為 如果博弈方2采用H，總得益現(xiàn)值為 因此當(dāng) 時(shí)，此觸發(fā)策略納什均衡策略151152VV 44/1兩寡頭削價(jià)競(jìng)爭(zhēng)無(wú)限次重復(fù)博弈的民間定理廠商2得益廠商1得益(1,4)(3,3)(1,1)(4,1)(5,0)(5,0),(),(1),(),(11niininxxGie

9、xGxxGeeG均得益為什均衡，各博弈方的平完美納中一定存在一個(gè)子博弈次重復(fù)博弈，那么無(wú)限足夠接近都成立，而對(duì)任意博弈方果的任意可實(shí)現(xiàn)得益。如表示用的納什均衡的得益，記的靜態(tài)博弈。用是一個(gè)完全信息理：設(shè)無(wú)限次重復(fù)博弈民間定4.3.3 無(wú)限次重復(fù)古諾模型 假定假定： ，邊際成本都為2。 在無(wú)限次重復(fù)古諾模型中，當(dāng)貼現(xiàn)率 滿足一定條件時(shí)，兩廠商采用下列觸發(fā)策略構(gòu)成一個(gè)子博弈完美納什均衡： 在第一階段生產(chǎn)壟斷產(chǎn)量的一半1.5；在第 t 階段，如果前 t-1 階段結(jié)果都是(1.5,1.5)，則繼續(xù)生產(chǎn)1.5，否則生產(chǎn)古諾產(chǎn)量2。 21,8qqQQP其中 設(shè)廠商1已采用該觸發(fā)策略，若廠商2也采用該觸發(fā)策

10、略，則每期得益4.5，無(wú)限次重復(fù)博弈總得益的現(xiàn)值為： 如果廠商2偏離上述觸發(fā)策略，則他在第一階段所選產(chǎn)量應(yīng)為給定廠商1產(chǎn)量為1.5時(shí)，自己的最大利潤(rùn)產(chǎn)量，即滿足： 解得 ，此時(shí)利潤(rùn)為5.0625，高于觸發(fā)策略第一階段得益4.5。15 . 415 . 4222225 . 4max25 . 18max222qqqqqqq25. 22q 但從第二階段開(kāi)始，廠商1將報(bào)復(fù)性地永遠(yuǎn)采用古諾產(chǎn)量2，這樣廠商2也被迫永遠(yuǎn)采用古諾產(chǎn)量，從此得利潤(rùn)4。因此，無(wú)限次重復(fù)博弈第一階段偏離的情況下總得益的現(xiàn)值為： 當(dāng) 上述策略是廠商2對(duì)廠商1的同樣觸發(fā)策略的最佳反應(yīng)，否則偏離是最佳反應(yīng)。 140625. 540625.

11、 52179140625. 515 . 4即4.3.4 有效工資率模型設(shè)定模型設(shè)定： 首先廠商選擇工資率為 ，然后工人選擇接受或拒絕。如果拒絕，則他作個(gè)體戶得到收入 小于 ，如果接受 ，則工人選擇努力工作（負(fù)效用 ）還是偷懶（無(wú)負(fù)效用）。 廠商只能看到產(chǎn)量高低，高產(chǎn)量為 ，低產(chǎn)量0。 工人努力工作時(shí)一定是高產(chǎn)量 ，不努力時(shí)卻并不一定是0，而是高產(chǎn)量 的概率為 ，低產(chǎn)量0的概率為 。 工人努力工作時(shí)，廠商得益為 ，工人得益為 ； 工人偷懶時(shí)，廠商期望得益為 ，工人得益為 。w0wwwe0yyypp1wy ewwpy 0w考慮如下的觸發(fā)策略考慮如下的觸發(fā)策略： 廠商在第一階段給工資率 ，在第t階段

12、，如果前面t-1階段結(jié)果都是 則繼續(xù)給 ，否則從此永遠(yuǎn)是 。 工人的策略是如果 則接受，否則寧愿作個(gè)體戶得到 ，并在以前各期結(jié)果都是 和當(dāng)前工資率為 時(shí)努力工作，否則偷懶。 設(shè)廠商已采用上述觸發(fā)策略。由于 ，工人接受工作是最佳反應(yīng)。用 記工人努力工作時(shí)無(wú)限次重復(fù)博弈得益的現(xiàn)值，則 即*w),(*yw*w0w0ww 0w),(*yw*w0*ww eVeeVewV)(*)1 ()(*ewVe 用 記工人選偷懶時(shí)無(wú)限重復(fù)博弈得益的現(xiàn)值，則： 即 因此當(dāng) 即時(shí)，努力是工人的最佳選擇。 反過(guò)來(lái)，設(shè)工人已采用上述觸發(fā)策略。若廠商給的工資率滿足上式條件，并且威脅一旦產(chǎn)量降低就解雇工人，則各階段的得益為 ，無(wú)限次重復(fù)博弈得益現(xiàn)值為 。若不愿給 ，則解雇工人，以后得益為0。因此只要 ，廠商選擇前述觸發(fā)策略就是最佳反應(yīng)。 sV)1)1 (0*wppVwVss)1 ( )1 ()1 ()1 (0*pwpwVsseVV epeweppww)1 (1)1 (10