1、262020年中考數學專題講座二：新概念型問題一、中考專題詮釋所謂 新概念”型問題，主要是指在問題中概念了中學數學中沒有學過的一些概念、新運算、新符號，要求學生讀懂題意并結合已有知識、能力進行理解，根據新概念進行運算、推 理、遷移的一種題型.新概念”型問題成為近年來中考數學壓軸題的新亮點.在復習中應重視學生應用新的知識解決問題的能力 二、解題策略和解法精講新概念型專題”關鍵要把握兩點：一是掌握問題原型的特點及其問題解決的思想方法； 二是根據問題情景的變化，通過認真思考，合理進行思想方法的遷移. 三、中考典例剖析 考點一：規律題型中的新概念例1（2012怵州）我們把按照一定順序排列的一列數稱為數

2、列，如 1,3, 9, 19, 33,就是一個數列，如果一個數列從第二個數起，每一個數與它前一個數的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做這個等差數列的公差.如2, 4, 6, 8, 10就是一個等差數列，它的公差為 2.如果一個數列的后一個數與前一個數的差組成的新數列是 等差數列，則稱這個數列為二階等差數列.例如數列1, 3, 9, 19, 33,，它的后一個數與前一個數的差組成的新數列是2, 6, 10, 14,，這是一個公差為4的等差數列，所以，數列1, 3, 9, 19, 33,是一個二階等差數列.那么，請問二階等差數列1, 3, 7, 13,的第五個數應是 .思路

3、分析：由于3-1=2, 7-3=4, 13-7=6,，由此得出相鄰兩數之差依次大2,故13的后一個數比13大8.解答：解：由數字規律可知，第四個數13,設第五個數為x,則x-13=8 ,解得x=21 ,即第五個數為 21 , 故答案為：21.點評：本題考查了數字變化規律類問題.關鍵是確定二階等差數列的公差為2.對應訓練1. （2012?自貢）若x是不等于1的實數，我們把 稱為x的差倒數，如2的差倒數是1 x=-1 , -1的差倒數為 =,現已知 x1=- - , x2是x1的差倒數，x3是x2的差1 21（1）23倒數，x4是x3的差倒數，依次類推，則 x2012=.考點二：運算題型中的新概念

4、1 x=8 ,貝 U x= .x 1整理后即可求出方程的解，即為例2 （2012?荷澤）將4個數a, b, c, d排成2行、2歹U,兩邊各加一條豎直線記成-a b _ x 1概念=ad-bc,上述記號就叫做 2階行列式.若c d1 x思路分析：根據題中的新概念將所求的方程化為普通方程，- x 1 1 x_解：根據題息化間=8,得：(x+1) 2- (1-x) 2=8,整理得：x2+2x+1- (1-2x+x2) -8=0,即 4x=8 ,解得：x=2 .故答案為：2點評：此題考查了整式的混合運算，屬于新概念的題型，涉及的知識有：完全平方公式，去 括號、合并同類項法則，根據題意將所求的方程化為

5、普通方程是解本題的關鍵.對應訓練2. (2012琳洲)若(xl, yl) ? (x2, y2) =xlx2+yly2,貝U (4, 5) ? (6, 8) =.考點三：探索題型中的新概念例3(2012?南京)如圖，A、B是。上的兩個定點，P是。上的動點(P不與A、B重合)、我們稱/APB是。上關于點A、B的滑動角.(1)已知/ APB是。上關于點A、B的滑動角，若AB是。O的直徑，則 /APB=; 若。的半徑是1, AB=dj,求/APB的度數；(2)已知O2是。O1外一點，以O2為圓心作一個圓與 。01相交于A、B兩點，/APB是 OO1上關于點A、B的滑動角，直線 PA、PB分別交。2于”

6、、N (點M與點A、點N與 點B均不重合)，連接AN,試探索ZAPB與/MAN、/ ANB之間的數量關系.思路分析：(1)根據直徑所對的圓周角等于90。即可求解； 根據勾股定理的逆定理可得 ZAOB=90 ,再分點P在優弧 皿上;點P在劣弧AB上兩種情 況討論求解；(2)根據點P在。O1上的位置分為四種情況得到 /APB與/MAN、/ANB之間的數量關解：(1)若AB是。的直徑，則/APB=90.如圖，連接AB、OA、OB.在4AOB中，-，oa=ob=i , ab=V2,.OA2+OB2=AB2./ AOB=90 .當點P在優弧A3上時，/AP1B=/ AOB=45 ;當點P在劣弧杷上時，Z

7、AP2B= (360- /AOB) =1350 6分2(2)根據點P在。O1上的位置分為以下四種情況.第一種情況：點 P在。O2外，且點A在點P與點M之間，點B在點P與點N之間，如圖 / MAN= ZAPB+ / ANB ,/ APB= / MAN - / ANB ;第二種情況：點 P在OO2外，且點A在點P與點M之間，點N在點P與點B之間，如圖 . / MAN= / APB+ / ANP= / APB+ (180-/ ANB ),/ APB= / MAN+ / ANB - 180;第三種情況：點 P在OO2外，且點M在點P與點A之間，點B在點P與點N之間，如圖 . / APB+/ ANB+

8、ZMAN=180 ,/ APB=180 - / MAN - / ANB ,第四種情況：點 P在。O2內，如圖，/APB= / MAN+ / ANB .點評：綜合考查了圓周角定理，勾股定理的逆定理， 點與圓的位置關系， 本題難度較大，注意分類思想的運用.對應訓練3. (2012秋西)如果一條拋物線 y=ax2+bx+c (awQ與x軸有兩個交點，那么以該拋物線的 頂點和這兩個交點為頂點的三角形稱為這條拋物線的拋物線三角形” .(1)拋物線三角形”一一定是 三角形；(2)若拋物線y=-x2+bx (b0)的 拋物線三角形”是等腰直角三角形，求 b的值；(3)如圖， OAB是拋物線y=-x2+b，x

9、(b0)的 拋物線三角形”，是否存在以原點 。為 對稱中心的矩形 ABCD ?若存在，求出過 O、C、D三點的拋物線的表達式；若不存在，說 明理由.考點四：開放題型中的新概念例4 （20120匕京）在平面直角坐標系xOy中，對于任意兩點 Pi （xi, yi）與P2 （X2, y2）的非常距離”，給出如下概念：若|X1-X2| 初2|,則點Pi與點P2的 非常距離”為|X1-X2|；若|xi-x2|v|yi-y2|,則點Pi與點P2的非常距離”為|yi-y2.例如：點Pi （i, 2）,點P2 （3, 5）,因為|i-3|v|2-5,所以點Pi與點P2的非常距離”為|2-5|=3, 也就是圖i

10、中線段PiQ與線段P2Q長度的較大值（點 Q為垂直于y軸的直線PiQ與垂直于 x軸的直線P2Q交點）.（i）已知點 A （-1，0）, B為y軸上的一個動點，2若點A與點B的非常距離”為2,寫出一個滿足條件的點 B的坐標；直接寫出點A與點B的非常距離”的最小值；（2）已知C是直線y=3x+3上的一個動點，4如圖2,點D的坐標是（0, i）,求點C與點D的非常距離”的最小值及相應的點 C的坐 標；如圖3, E是以原點。為圓心，i為半徑的圓上的一個動點，求點 C與點E的 非常距離” 的最小值及相應的點 E與點C的坐標.圖1圖2即思路分析：（i）根據點B位于y軸上，可以設點 B的坐標為（0, y）

11、.由 非常距離”的概 念可以確定|0-y|=2,據此可以求得y的值；i i設點B的坐標為（0,y）.因為卜一-0| 也，所以點A與點B的 非常距離 最小值為卜-0|=22i一；23(2)設點C的坐標為(X0, X0+3).根據材料 若|xi-X2| i-y2|,則點Pi與點P2的 非常43距離 為|X1-X2|知，C、D兩點的 非常距離 的最小值為-X0= -X0+2,據此可以求得點C的4坐標；點C與點E的非常距離”最小，即當點E在過原點且與直線y= (x+3垂直的直線上時,34.一 ,一,E(- 3,4).解答思路同上.55解：(1).一B為y軸上的一個動點，設點B的坐標為(0, y).|-

12、一 -0|= 一 半22 |0-y|=2,解得，y=2或y=-2 ；.點B的坐標是（0, 2）或（0, -2）;(2): C是直線y= 3X+3上的一個動點， 4 3. 設點C的坐標為(X0 X0+3),43 c - -X0= X0+2,48此時，X0=-,7點C與點D的非常距離”的最小值為：-,7815此時 C (-8,);77-X0= -X0+3-,545解得，X0=-8,589則點C的坐標為（-8, 9）,55最小值為1.點評：本題考查了一次函數綜合題.對于信息給予題，一定要弄清楚題干中的已知條件.本題中的非常距離”的概念是正確解題的關鍵.對應訓練4. （2012?臺州）請你規定一種適合

13、任意非零實數a, b的新運算“涉b”，使得下列算式成立: 741 2=2 1=3, （-3）（-4） = （-4）（-3） = ，（-3） 5=5 （-3）=，615你規定的新運算 ab= （用a, b的一個代數式表示）.考點五：閱讀材料題型中的新概念 例5 （2012佛州）平面上有兩條直線 AB、CD相交于點O,且/ BOD=150 （如圖），現按如下要求規定此平面上點的距離坐標”：（1）點。的距離坐標”為（0, 0）;（2）在直線CD上，且到直線 AB的距離為p （p0）的點的 距離坐標”為（p, 0）;在直 線AB上，且到直線 CD的距離為q （q0）的點的 距離坐標”為（0, q）;（

14、3）到直線AB、CD的距離分別為p, q （p0, q0）的點的 距離坐標”為（p, q）.設M為此平面上的點，其 距離坐標”為（m, n）,根據上述對點的 距離坐標”的規定，解決 下列問題：（1）畫出圖形（保留畫圖痕跡）：滿足m=1 ,且n=0的點M的集合；滿足m=n的點M的集合；（2）若點M在過點O且與直線CD垂直的直線l上，求m與n所滿足的關系式.（說明： 圖中OI長為一個單位長）思路分析：（1）以。為圓心，以2為半徑作圓，交 CD于兩點，則此兩點為所求；分 別作/ BOC和/ BOD的角平分線并且反向延長，即可求出答案；（2）過 M作MN XAB于N,根據已知得出 OM=n , MN=

15、m ,求出/ NOM=60 ,根據銳角乙MN m ,三角函數得出sin60 = =一，求出即可.OM n解：（1）如圖所示:點Mi和M2為所求;如圖所示:直線MN和直線EF (O除外)為所求;(2)如圖:過M作MN XAB于N,. M的距離坐標”為(m, n),1. OM=n , MN=m ,. / BOD=150 ,直線 lCD, ./MON=150 -90 =60, 在 RtAMON 中，sin60 = MN = m ,OM n即m與n所滿足的關系式是：m=n.點評：本題考查了銳角三角函數值，角平分線性質，含30度角的直角三角形的應用，主要考查學生的動手操作能力和計算能力，注意：角平分線上

16、的點到角兩邊的距離相等.對應訓練5. (2012?欽州)在平面直角坐標系中，對于平面內任意一點 (x, y),若規定以下兩種變換：f (x, y) = (y, x).如 f (2, 3) = (3, 2);g (x, y) = (-x, -y),如 g (2, 3) = (-2, -3).按照以上變換有：f (g (2, 3) =f (-2,-3) = (-3,-2),那么 g (f (-6, 7)等于()A. (7, 6)B. (7, -6)C. (-7, 6)D. (-7, -6)四、中考真題演練、選擇題1. (2012噂盤水)概念：f (a, b) = ( b, a), g (m, n)

17、 = (-m, -n).例如 f (2, 3) = (3,2）, g （-1, -4） = （1, 4）.則 gf （-5, 6）等于（）A. （-6, 5）B. （-5, -6）C. （6, -5）D. （-5, 6）2. （2012曲目潭）文文設計了一個關于實數運算的程序，按此程序，輸入一個數后，輸出的數比輸入的數的平方小1,若輸入 J7,則輸出的結果為（）A. 5B. 6C. 7D. 8點評：本題考查的是實數的運算，根據題意得出輸出數的式子是解答此題的關鍵.1中棋子圍城三角形，其棵數3. （2012?麗水）小明用棋子擺放圖形來研究數的規律.圖3, 6, 9, 12,稱為三角形數.類似地，

18、圖 數中既是三角形數又是正方形數的是（2 中的 4, 8, 12, 16, )稱為正方形數.下列D. 2016=0 , 3.14=3 .按A. 2010B. 2012C. 2014二、填空題4. （2012?常德）規定用符號m表示一個實數 m的整數部分，例如: 此規定舊+ 1的值為.5. （2012碰州）概念：平面內的直線 11與12相交于點O,對于該平面內任意一點M,點M到直線11、12的距離分別為a、b,則稱有序非實數對（a, b）是點M的距離坐標”，根據上述概念，距離坐標為（2, 3）的點的個數是（）A. 2B. 1C. 4D. 36. （2012洲門）新概念：a, b為一次函數y=ax

19、+b （awQ a, b為實數）的 關聯數若 關 聯數” 1m-2的一次函數是正比例函數， 則關于x的方程 +A=1的解為 .x 1 m7. （2012?自貢）如圖， ABC是正三角形，曲線 CDEF叫做正三角形的漸開線，其中弧 CD、弧DE、弧EF的圓心依次是 A、B、C,如果AB=1 ,那么曲線 CDEF的長是 .8. （2012?泉州）在4ABC中，P是AB上的動點（P異于A、B）,過點P的直線截 ABC , 使截得的三角形與 ABC相似，我們不妨稱這種直線為過點P的4ABC的相似線，簡記為P （lx） （x為自然數）.（1）如圖，/ A=90 , / B=/C,當 BP=2PA 時，P

20、 （l1）、P （匕）都是過點 P 的4ABC 的相似線（其中1iBC, l2/AC）,此外，還有 條；BPB=30 ,當一BA時，P (lx)截得的三角形面積9. (2012諭仁地區)如圖，概念：在直角三角形 ABC中，銳角a的鄰邊與對邊的比叫做角一角的鄰邊 AC 一一，一，一人 a的余切，記作 ctan/即ctan a =,= ,根據上述角的余切概念，斛下列問角的對邊 BC題：(1) ctan30 =;(2)如圖，已知tanA= 3,其中/ A為銳角，試求ctanA的值.410.(2012沅錫)對于平面直角坐標系中的任意兩點P i(xi,yi),P2(X2,y2),我們把|xi-X2|+|

21、yi-y2|叫做Pi、P2兩點間的直角距離，記作d (Pi, P2).(i)已知O為坐標原點，動點 P (x, y)滿足d (O, P) =i,請寫出x與y之間滿足的關系式，并在所給的直角坐標系中畫出所有符合條件的點P所組成的圖形；(2)設P0 (x, y)是一定點，Q (x, y)是直線y=ax+b上的動點，我們把 d (P。，Q)的 最小值叫做P0到直線y=ax+b的直角距離.試求點 M (2, i)至U直線y=x+2的直角距離.1 1101jii. (20i2?廈門)如圖，在平面直角坐標系中，已知點 A (2, 3)、B (6, 3),連接AB .如 果我P在直線y=x-i上，且點P到直

22、線AB的距離小于i,那么稱點P是線段AB的臨近點:7 5(i)判斷點C (7 5)是否是線段AB的臨近點”，并說明理由；22(2)若點Q (m, n)是線段AB的臨近點”，求m的取值范圍.6 54 -rA3 -21-ro -1 2 3 4 5-1L k12. (2012?蘭州)如圖，概念：若雙曲線y=- (k0)與它的其中一條對稱軸 y=x相父于xkA、B兩點，則線段 AB的長度為雙曲線 y=- (k0)的對徑.x1(1)求雙曲線y=的對徑.xk(2)若雙曲線y=k (k0)的對徑是10J2,求k的值.xk(3)仿照上述概念，概念雙曲線y= - (kQ彳MNx軸，垂足為H,是否存在 m的值使以

23、A、M、H為頂點的三角形與 AOD相似？若存在，求出 m的值；若不存在，請說明理由.專題講座二：新概念型問題參考答案三、中考典例剖析對應訓練31.41解：;X1 = - ?3131= ? x3 =4 , X4=1431 ( 3) 41 (4) 差倒數為3個循環的數, 2012=670X 3+2,. 、，3 X2012=X2=,43故答案為：3 .42 . 64解：:(X1, y1)?(X2, y2)=X1X2+y1y2,(4, 5) ? (6, 8) =44+58=64,故答案為64.3 .解：(1)如圖；根據拋物線的對稱性， 拋物線的頂點 A必在O、B的垂直平分線上， 所以OA=AB，即：拋

24、 物線三角形”必為等腰三角形.，b=2.b2 ,、(b0).4拋物線三角形”是等腰直角三角形,(3)存在.如圖，作 OCD與4OAB關于原點O中心對稱，則四邊形 ABCD為平行四邊形.當OA=OB時，平行四邊形 ABCD是矩形，又 AO=AB , . OAB為等邊三角形.作AEXOB,垂足為E, .AE=聒 OE.b b=y3 ?b (b 0).42.b/ =2/3. .A (亞 3), B (273 , 0). .C (-Q, -3), D (-2 志,0).設過點O、C、D的拋物線為y=mx2+nx,則12m 2、.3n 03m - 3n 3解得m 1n 2、. 3故所求拋物線的表達式為y

25、=x 2+2 J3 x.4.解：根據題意可得：2 21 2=2 1=3= 一 一 ,1 2722(-3)(-4) = (-4)(-3)=-=634422(-3) 5=5 (-3)=-= ,153 5El .2貝U a b=a2 2a 2bb ab故答案為:2a 2bab5. C解： f (-6, 7) = (7, -6),g (f (-6, 7) =g (7, -6) = (-7, 6).故選C.四、中考真題演練 一、選擇題1. A2. B.3. D解： 3, 6, 9, 12,稱為三角形數，三角數都是3的倍數，. 4, 8, 12, 16,稱為正方形數，.正方形數都是4的倍數，既是三角形數又

26、是正方形數的是12的倍數,.2010+ 12=167-6 ,2012 +12=167 62014 + 12=167 102016 T2=168, .2016既是三角形數又是正方形數.故選D.二、填空題4. 4解：.3近。 4,3+1 V/T5+1 4+1 ,-42,且小于4,27 5C ()在直線y=x-1上，2 27 5點C ( 一,5)是線段AB的臨近點.2 2%6 54 -3 -*21-ro -1 2 3 4 5-1L(2)由(1)知：線段AB的 臨近點”的縱坐標的范圍是 2vy4, 把 y=2 代入 y=x-1 得：x=3,把 y=4 代入 y=x-1 得：x=5,3 V x0)彳導k=5X5=25,X