1、【解析】(1)cosA1. 三角形的中線問題2. 三角形中的角平分線問題3. 三角形邊的范圍問題4. 三角形中角的范圍問題5. 多個(gè)三角形的問題6. 三角的實(shí)際應(yīng)用7. 三角形中的最值問題8. 正余弦的混合及靈活應(yīng)用9. 三角形的判斷問題二陷阱警示及演練1. 三角形的中線問題(運(yùn)用向量陷阱) 例1.(1 )求A的值；(2)若B=30 , BC邊上的中線 AM= 7，求 ABC的面積?！敬鸢浮?1) A =30；; (2).311 2b r； 3c cosC2sinB -3sinC cosC 2sinBcosA = 3sin A CTsin A C =sinB, 2sinBcosA = 3sin

2、B因?yàn)?sinB 0,. 2cosA 二.3,即 cosA -又 A (0,80：), 30(2) A =30;, B =30,C =120；, AC =BC設(shè)/C = 2疋貝=兀，在山伽中，宙余弦宦理得：AM1 =AC2 + AfC1 -2AC MC cosC 二4/ + 乂 + 2宀7.,解得“IMCZS=2S丄3si nB3所以sinB二3【防陷阱措施】解決三角形中的角邊問題時(shí)，要根據(jù)俄?xiàng)l件選擇正余弦定理，將問題轉(zhuǎn)化統(tǒng)一為邊的問題 或角的問題，利用三角中兩角和差等公式處理，特別注意內(nèi)角和定理的運(yùn)用，涉及三角形面積最值問題時(shí), 注意均值不等式的利用，特別求角的時(shí)候，要注意分析角的范圍，才能

3、寫出角的大小練習(xí) 1.在二ABC 中，a = 2 ?3， b = 3， cosA = -丄.(I)求 sinB ；(n)設(shè)BC的中點(diǎn)為D，求中線AD的長.【答案】 sinB6；(2) AD；2.31【解析】(I)由cosA 知，且0 ： A : n.3所以 sinA = 1 -cos2 A(n)因?yàn)閎 ： a,所以B為銳角.所以cosB因?yàn)?A B 二 n,所以 cosC - -cos(A B)= -cosAcosB sinAsinB .所以cosC =丄33339在 ACD中，D為BC的中點(diǎn)，所以CD =；.：3 .由余弦定理及題設(shè)得 AD2 =AC2+CD2 -2AC CDcosC=32+

4、( i3)2 -2 33 53 =2.9所以中線AD -2 .練習(xí)2 . ABC中，內(nèi)角A, B,C的對邊分別為a,b,c,已知邊c = 2，且asinA-asinB = 2sinC-bsinB (1)若 sinC sin B - A = sin2A, 求 ABC 的面積;記AB邊的中點(diǎn)為M，求CM的最大值，并說明理由【答案】（1）,3 ；（2） .3.【解析】：c =2，故 as in Aasi nB =2si nCbsi nB 二 asinAas inB2 2 2= csinC-bsinB= a +b -c =ab，由余弦定理可得cosC 二2abC =60124(1) siuC十刑用 0

5、 丿)=加2二 審ji(/十石)+雷鈿(5 4) 2sinjcosJ 2siaBcosA -isiivfcos ?即或誠=3 5或當(dāng)“90時(shí)月皿心琴30的 面積s = -bcinA ? 斗 =B時(shí)為等邊三甬形，占=丄2x2旳6F =曲.232(2)由于AB邊的中點(diǎn)為M，故CM =- CA CB = CM22Ca2 Cb2 2Cba2+b2+ab )，: c = 2,C=60，二由余弦定理知，a2+b2 = ab+4，44 3 （當(dāng)且僅于是 CM? =-ab +1，而 4+ ab =a2 +b2 啟2ab,二 ab 蘭4，二 CM 4邁H走I込蘭二藝27Ml 32. 三角形中的角平分線問題陷阱例

6、2.如圖，在 ABC中，BC =3,ACJ，兀B =-6BAC , AE,AF 是 BAC 的三 2等分角平分線，分別交(1) 求角C的大小；BC于點(diǎn)E,F .(2) 求線段EF的長【答案】(1) C ; (2) 2=3-3.12AC【解析】（1）因?yàn)?2Csi nBBC ，即，得 sin. BAC -，又.BAC ，則.BAC sin. BAC22弓，所以1232(2由WZBAE = ZEAF = ZFAC = - , ZAFC = B + 2x-=，在比中，二443* 2/r. 7Tsio &in一 34FC得FC = V siflC=，且-C4 = 4S 解得所故AABC的面=162 .

7、 _ . (1)求角B的大小;(2 )點(diǎn)B滿足BD =3BC，且線段AD =2，求3a c的取值范圍【答案】(1) B ;(2)2,4 1.3【解析】c sinA si nB(1 )=，由正弦定理得 c a ba -b si nA -s inCa-b a -c c a -c ： a b a -b,1 即 a2 c2 - b2 = ac，又:a2 c2 - b2 = 2accosB cosB =-2(2)在厶ABD中由余弦定理知:222c 3a -2 3a c cos60 二 2 ,2二 3a c -4 二 3 3ac2 33a c i -43a c ，即42當(dāng)且僅當(dāng)3a =c，即a , c=2

8、時(shí)取等號，所以3a c的最大值為43又在三角形ABD中3a c 223a c 16,故3a c的范圍是2,4 【防陷阱措施】在解與三角形有關(guān)的問題時(shí)，正弦定理、余弦定理是兩個(gè)主要依據(jù).除了直接利用兩定理求邊和角以外，恒等變形過程中，一般來說，當(dāng)條件中同時(shí)出現(xiàn) ab及b2a2時(shí)，往往用余弦定理，而題設(shè)中如果邊和正弦、余弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時(shí)，往往運(yùn)用正弦定理將邊化為正弦函數(shù)再結(jié)合和、差、倍角的正余弦公式進(jìn)行解答.練習(xí)1.已知a、b、c分別是 ABC的內(nèi)角A、B、C對的邊，b =、.,3.(1 )若C = , ABC的面積為，求c ;6 2n(2 )若B，求2a -c的取值范圍.3【答案】(1) c f

9、麗;(2) 一、3,2.3 .1【解析】試題分析：(1)首先根據(jù)三角形面積公式，S ABCabsinC，求解a，再根據(jù)余弦定理2c2二a2 b2 -2abcosC ,求c； (2)根據(jù)正弦定理 -，用正弦表示表示 2a-c，再根si nB si nA si nC據(jù)三角函數(shù)恒等變形為 2a - c = 23cosC，最后根據(jù)角C的范圍求解.試題解析：(1)t 5n,ABC的面積為一 , b = . 3 ,6 2- absinC a，：冷3, a =2.2 2 2 2由余弦定理得c2二a2 b2 -2abcosC=4+3_2漢2汽也=13c = 13(2)由正弦定理得；=上二亠 sinJ sin

10、sinC” bA . isioC a = 2shjC .slq5sinf 2甌 、lac 4sinJ 2sdC= 4sin C 2sinCI 3丿=4| sin cosCcossinC 2sinC = 2josC.I 33 丿VJ=-, .0C,33-CsCl,二一爲(wèi)砧3曲丈砧，2練習(xí)2.在 ABC中，內(nèi)角A, B,C的對邊分別為a,b,c，且a sinB f ；3b?:osA .(1)求角A的大小;(2)若2 2，求-b c的范圍.2【答案】(1) A =孑(2)范圍為16 - 2,4 J.【解析】(1)由 a sinB = 、3b?sosA及正弦定理可得 sinAsinB =3sinBco

11、sA ,/ 0 ： B ：二， sinB 0 則有 sinA 二.3cosA 故 tan A 二、3 ,JI又 0 ： A 二，二 a =；3，(2)由正弦定理,a b c2.24,6” , ” , / 厶 I :JTsinA si nBsi nC.二 3sin 3可得 b =2R?sinB,c =2RinC ,b c/R? nB sinC2 2= 2R?、4sinB sin 三 _B23sinB 乜21 - cosB+ sinB =2R?吋73sinB cosB2 24sin B -I 4丿22兀 0 ： B :：:-3二7：11 :B -4412、6 _、2 : 4sin i B -4,I

12、 4丿3 b - c 的范圍為 、_ 、2,4練習(xí)3.在ABC中,A、B、C 的對邊分別為 a, b, c，且 sin 2Asi n 2B si n2C=2si nAsi nBsi nC .(1)求角B的大小;(2)若 b =2，且，求邊長c的取值范圍.2【答案】B ;(2)4c、&,2 .【解析】(1)在MBC中，根據(jù)余弦定理/+丁一滬=竝3田, 由已知及正弦定理得3+c2-52= 2flcsin ,jr得 2acyosB = 2acsinB .I tan fl = 1 y 又 TOcHvttB =:4C - A - B 二3 二-A ,4由正弦定理，得si nC si nBV2-2 =2

13、, c =2s in C =2s in - A ,14 丿si2 -4*2， - .2,2 .練習(xí)4.已知函數(shù)f x = 3sin x + sin xcosx.3(I)求函數(shù)f x的單調(diào)遞增區(qū)間;(叮在厶ABC中，角 代B,C的對邊分別為a, b, c，若A為銳角且fA, b，c = 4，求a的取【答案】 f x =sin i2x,單調(diào)增區(qū)間k二，5k，ik Z (2)I 3 丿1 1212【解析函數(shù)變形(對二出匕史竺十丄晶2工匹二站心兀-蘭即/(jcrsijh-蘭丿 22373(2)f Ai；=sin 2A 0 ： A ,22A所以2A-3333兀2222(b + c)解得 A=，又 b+c

14、 =4，在厶 ABC 中，a2 =b2 +c2 bc = (b + c) 3bc 蘭=4，等邊三角形3 4時(shí)等號成立，所以 a _2，又因?yàn)槭侨切嗡?b ca,a ：4，所以a 1.2,4 。4. 三角形中角的范圍問題陷阱例4.已知a,b,c分別是 ABC內(nèi)角代B,C的對邊，且 代B,C依次成等差數(shù)列.(I)若 sin2B =si nAsi nC ,試判斷 ABC 的形狀；(n)若-ABC為鈍角三角形，且a c，試求sin2 亠- 3sin cos-的取值范圍.2 2 2 2【答案】(I)正三角形；(n) 丄罟.【解析】(I)由正弦定理及sin2B =sinAsinC，得b2TTT三內(nèi)角A

15、, B,C成等差數(shù)列，.2b=AC-：-B, B=-3由余弦定理，得 b2 = a2 c2 -2accosB ,c22-ac,. a -c i； =0,. a =c ,口n又B ，.厶ABC為正三角形，32 （n）由（I）知， ABC 中 B , CA.3 3 2 crr . A A 1 1 -coSC 丄 73 . A 1.sin3sin cossinA -2 2 2 2 2 2 2于sinA_2cos*A 亠si nA1 cosA - si nA1 1 sinA cosA sinJi2兀2 二JI5 二A,.:A - 23366由題意，知1 .sin2丄sin A】二4264-所求代數(shù)式s

16、in2-3sinAcosA丄的取值范圍是2 2 2 2【防陷阱措施】對于題目中所給的銳角三角形或者鈍角三角形，要注意三個(gè)角的范圍 練習(xí)1.在銳角 ABC中，c =2,、3a =2csi nA.(1 )若ABC的面積等于、3，求a,b ;(2)求 ABC的面積的取值范圍.a =2【答案】(1) ( 2) S abc -b =2【解析】（1） t 3a = 2csinA，由正弦定理得.3sinA = 2sinCsinA , sinA =0 ,sinC訐，切bsi心子，得如4.由 c2 = a2 b2 -2abcosC = a2 b2 -ab 得 a2 b2 -ab = 4 ,所以由2 ab=4a

17、b -ab解得廠2=4b =2(2)由正弦定理得a二4 4:sinA,b ：- sinB ,、3. 3 4-sinAsinB .3 SBC=sinAsi n； A.苣sin 2A3.6丿 3(ji ji-S.ABC2 v33因?yàn)閁ABC為銳角三角形， A ，一W 2丿練習(xí) 2.在 ABC 中，a,b, c分別是角 A, B,C 的對邊，且 sin2A=sin2B sin2C -、3sinBsinC.(1 )求A的大小;(2)求sinB - cosC的取值范圍【答案】(1)二(2) |二,-6 I2 2 丿【解析】由 siu2j = sin2 4-sin3C4-5sin5sinC及正弦罡理可得出

18、；a = b2 +0恒成立，求 m的取值范圍.(ji【答案】0 . B (2) I 3,:3丿【解析】(1)2t b 二 ac cosB =2 2 2 a c -b2aac所以當(dāng)且僅當(dāng)2ac2ac1a = b = c時(shí)，cosB ，故 0 ： B .22)cos2.fi4sinJi B+ 42cos+rn - cos2B 2sinf 4-5 j=2cos 5 一1 2cos5 +觀jr*05/, cosff 1 丿32.2( cos83故原不等式恒成立，即初-匸A0 所以m的取值范圍為(二他L練習(xí)4.已知銳角=ABC的三個(gè)內(nèi)角 代B, C的對邊分別為a, b,c，且a2，b2-c2 sinC

19、=、 3abcosC .(1)求角C ;(2)若c = .3，求b -2a的取值范圍.n【答案】(1) C二；(2) b-2a -3,0 .3【解析】(1)由余弦定理，可得 a2 b2 -c2 =2abcosC ,所以 2abcosCsinC = 3abcosC，23(2)由正弦定理，abc, 32sinA si nB sinC32所以，廠n _n又0 : C ，所以C =所以 b -2a = 2sinB -4sinA 二 2sin因?yàn)閨_ABC是銳角三角形，i 空 - A -4sinA =、3cosA - 3sinA, b - 2a = 2、3cosi A 3.3所以n0 ： A ： 一 ,

20、 2 22 nn0A ：,32得亠A 二6 2所以nn 5 nA+ 23 6cos A n,0 ,即 b -2a -3,0 .練習(xí)4.已知a、b、c分別是 ABC的內(nèi)角A、B、C對的邊，b =、3 .5 nyJ3(1 )若C -, ABC的面積為，求c ;6 2 n(2)若B ，求2a -c的取值范圍3【答案】(i) c -T3 ；(2)-、.3,2-、3 .【解析】(i)ABC的面積為a =2.abs inC2由余弦定理得c2 = a2 b2 -2abcosC = 4+32x2汽石匯一逅=13.I 2丿24-cj-2swC由正弦定理得sinJ sion siuC.binA. y frsinC

21、 _.尸,a Zsinzi. c= 2stoC sioffsinJf二 2ac 4sinA 2siuC- 4siuaI/ = -, /.0C, .-cosCl, ；.-25cosC50 =-80 + 4064.4064.40:2.57 ：3.可在3小時(shí)內(nèi)趕到出事地點(diǎn)【防陷阱措施】把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題，并注意方向角和方位角練習(xí)1.如圖， AB=38米，從點(diǎn)A發(fā)出的光線經(jīng)水平放置于 C處的平面鏡（大小忽略不計(jì)）反射后過點(diǎn)B，已知 AC =10 米，BC =42米.（1）求光線AC的入射角二（入射光線AC與法線CK的夾角）的大小；（2）求點(diǎn)B相對于平面鏡的垂直距離 BE與水平距離CE的長【答

22、案】（1） n （2）點(diǎn)B相對于平面鏡的垂直距離 BE與水平距離CE的長分別為23米、21米.6【解析】試題分析：（1）先由余弦定理解出 ACB ,再根據(jù)光的反射定律得 ACB-2二,解得入射角-（2） 在RtLBCE中，可得BE二BCcos CBE，及CE二BCsin. CBE，代入數(shù)值可得結(jié)果.試題解析：解：（I）如圖，由光的反射定律， ACK = . BCK - r , ACB二2二.在|_ABC中，根據(jù)余弦定理，得cos ACB 二 cos2二AC2 BC-AB2 一 2AC?BC102422 -38212 10 422因?yàn)? 20 n所以2日=n,9.36即光線AC的入射角二的大小為

23、n.(n)據(jù)(I)，在 RtLBCE 中，.CBE 二.BCK 二二=n,6所以 BE = BCcos._CBE =42cos 21： 3 (米)，6n,CE =BCsin. CBE =42sin21 (米),6即點(diǎn)B相對于平面鏡的垂直距離 BE與水平距離CE的長分別為2K 3米、7. 三角形中的最值問題(1)周長的最值例7在 ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，已知c = 2 , C(1 )當(dāng) 2sin2A sin 2B C =sinC 時(shí)，求 ABC 的面積;(2)求，ABC周長的最大值【答案】(1)乙3 ; (2) 6.3【解析】（1）由 2sin2A sin 2B C =

24、 sinC得 4sinAcosA sin A - B = sin A B得 2sinAcosA 二 sinBcosA ,當(dāng) cosj4 = 0 時(shí)，A ?2當(dāng)co趙hO時(shí)，= 2皿，由正弦定理bS聯(lián)立f解得*竽,占,故三角形的面積為Sg = 初SiflC =舉.21 米.j +慶也=4b = 2aJwJ(2 )由余弦定理及已知條件可得:a2 b2 - ab = 4 .亠2（a+b）由 a b 43ab_43得 ab_4,丿4故ABC周長的最大值為6,當(dāng)且僅當(dāng)三角形為正三角形取到.【防陷阱措施】解答中涉及到三角形的正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，三角形的面積公式和三角形的周長等 知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用，試題

25、有一定的綜合性，屬于中檔試題，解答中熟記三角形的正弦定理與余弦定理，合 理應(yīng)用是解答的關(guān)鍵練習(xí)1.在-ABC中，角A, B,C的對邊分別為a, b, c，且asinB = .、3bcosA.（1 ）若4b c =16，求 ABC面積的最大值；（2）若a =7,5，求 ABC的周長【答案】（1）4 .3 ；（ 2）20.【解析】（1）由正弦定理得 sinAsinB = 3sinBcosA ,/ sinB 0 , si nA 二3cosA ,. tanA = 3 , v 0 ： A ：二，A = 60 .4b c _2.4E3 , 8 _ ,4bc, be乞 16 ,(當(dāng)且僅當(dāng) 4b 二 c,即

26、b =2,c=8 時(shí)取等號).A_ SABC 的最大值為一16 sin60 =4.3.2(2) a2 二 c2 b2 -2bccos60 , a = 7, b = 5 , c2 -5c - 24 = 0 ,解得 c = 8或 c - -3 (舍)，ABC的周長為5 7 20.2練習(xí)2.在. ABC中，角 代B,C所對的邊分別為a,b,c,且.ACB = 2二.3（1 ）若a, b, c依次成等差數(shù)列，且公差為 2 ,求c的值；（2）若c =ABC - ，試用表示 ABC的周長，并求周長的最大值【答案】(1) c =7 (2) 2 -.3【解析】（1） 7 a, b, c成等差數(shù)列，且公差為2,

27、. a=c-4,b=c-2，又 + 2 1:BCA , cosC ,32b2 -c22ab2 , 2 21 c-4 i 亠c-2-c22 c-4 c-2-，恒等變形得2c2 -9c 14=0，解得 c-1 或 c = 2，又：c 4, c = 7 .=2,BCBCsinJV2圧 sin r丿$AC siu0cos + -*/5 = 2sin | + y一、 兀 * 兀 MJ)1 30+3T，在翠中，_ = _=_ sinZABC sinZC sinZACBi jr 14(7=2血硯必(7=2血 一 & . :. AEC的周長13 A/(9)=|/C|+困 q+| 肋 1 = 2 気 0+2si

28、 彳彳一&卜朽2當(dāng)卄學(xué) 2即4?時(shí)，川叭取得最大情2 + 326（2 ）面積最值例8.已知uABC,a,b,c分別為角A,B,C的對邊，它的外接圓的半徑為R（R為常數(shù)），并且滿足等式2R sin2C -sin2A 二、.2c-b sinB 成立.（1 ）求 A ；（2 ）求，ABC的面積S的最大值.2亠1 2【答案】（1） A（ 2） SmaxR4 2【解析】（1）由 2R sin2C-sin2A 二、2c-b sinB , 4R2 sin2C -sin2A i=2R .2c-b sinB ,由正弦定理得 a=2RsinA, b = 2RsinB , c = 2RsinC，代入得 c2 - a

29、2 = . 2bc-b2,由余弦定理cosA2 八二 a亠-242bc3兀(2)由(1)知，B (=-44 -B1 2f 2所以 S bcsinA bc 4R sinB sinC 二 2R sinB sin2 44=R2sin I2B -2 4當(dāng)且僅當(dāng) B=C =-7：時(shí)，Smax = - R2.82【防陷阱措施】注意幾個(gè)問題：(1)面積公式的選??；(2)與均值不等式的聯(lián)系，注意均值不等式求最值的條件。練習(xí) 1.已知.ABC 中，角 A, B, C 對邊分別是 a, b, c ,2-2 sin13(2) S absinCab = 2 2 A - si n2C = a-b sinB，且 ABC

30、的外接圓半徑為2.(1)求角C的大小;(2)求lABC面積的最大值.【答案】(1)C =60 ； ( 2) Smax3.32【解析】(1)由 2 . 2 sin 2As in 2C = ab si nB 得222 、 c4R2 4R2 Eab ，2R又R = 2，二 a2 _c2 =ab _b2 ,2 2 2小 a +b c 1 二 cosC2ab 2又 0 : C : 180，二 C =60 .2、3sinAsinB=2XsinAsin 120 - Asin2A 32練習(xí)(I )2A =120，即 A = 60 時(shí)，Smiax2.在 ABC中，a,b,c分別是角A, B,C 的對邊，且 2c

31、osAcosC tanAtanC -1 = 1.求B的大小;=2 3sinA sin120 cosA-cos120sinA 二 3sinAcosA .3sin2A cos2A 乜二 Gsin 2A -302 2 2(II )若D為AC的中點(diǎn)，且BD =1，求 ABC面積最大值c2K-2 1 bcos ADB22在 ABD中，由余弦定理得 a2=1-2 -1 bcos CDB ,2二式相加得a2 c2 b 222 2a c -2accosB【答案】(I) ; (II)仝.3 3【解析】試題分析：（I）首先正切化弦然后利用兩角和的余弦公式可得COS（7f + C）=-l,從而可得 co辺=丄，進(jìn)而

32、可得結(jié)果；（II）由余弦定理可得c+c2 =-ac ,禾用基本不等式可得24,結(jié)合三角形面積公式可得結(jié)果.試題解析：(I )由 2cosAcosC tan Ata nC -1，得 2cosAcosC sinAsinC _1 =1 ,I cosAcosC 丿2 sinAsinC-cosAcosC =1,D 1.cosB 二2小n又 0 ： B ：二，B3(II )在 ABD中，由余弦定理得整理得 a2 c2 = 4 - ac ， 歸 J” “3，1 1所以ABC的面積S-丄acsinB空1 2”成立當(dāng)且僅當(dāng)ABC的面積的最大值為練習(xí)3.在 ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且滿足4c

33、osC cos2C = 4cosCcos2C .2（1）求角C的大小;（2）若CA辛=2，求 ABC面積的最大值.【答案】（1）C （2）2、.33c【解折】（1由 4cosC+cos2C =4cosCcos*得24cosC + 2cos2C1 = 2cosC（l + cosC）7T由0C;r,所以c=3（2）取三C中點(diǎn)D，則在*DC 中，.-.DAC2 CD2 2ZC CDcosC（注：也可將-Cb兩邊平方）ab即 42222a2b2 ab _ ab422，所以ab 8，當(dāng)且僅當(dāng)a =4，b=2時(shí)取等號1此時(shí) S v_CabsinCab，其最大值為2巧8.正余弦的混合及靈活應(yīng)用 例9. ABC的內(nèi)角A, B,C所對的邊分別為a,b,c，已知asinB i3cbcosA =3c.（1 ）求 B ；（2 ）若ABC的面積為求 a,c.4a 7【答案】（1） B（ 2） 3 c=1【解析】