1、專練04 空間幾何體的表面積與體積一、基礎強化1. 一個棱柱是正四棱柱的條件是()A底面是正方形,有兩個側(cè)面是矩形B底面是正方形,有兩個側(cè)面垂直于底面C底面是菱形,并有一個頂點處的三條棱兩兩垂直D每個側(cè)面都是全等矩形的四棱柱2.一個正方體內(nèi)有一個內(nèi)切球,作正方體的對角面,所得截面圖形是下圖中的()3.(2019山東泰安階段測試)用斜二測畫法作出一個三角形的直觀圖,則原三角形面積是直觀圖面積的()A倍 B2倍 C2倍 D倍4. 已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1,O2,過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形,則該圓柱的表面積為()A.12 B.12 C.8 D.105. 如圖

2、,將裝有水的長方體水槽固定底面一邊后傾斜一個小角度,則傾斜后水槽中的水形成的幾何體是()A棱柱 B棱臺C棱柱與棱錐的組合體 D不能確定6. 把球的表面積擴大到原來的2倍,那么體積擴大到原來的()A2倍 B2倍 C倍 D倍7. 在ABC中,AB2,BC1.5,ABC120(如圖所示),若將ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周,則形成的旋轉(zhuǎn)體的體積是()A B C D8.(2019山東東營階段模擬)表面積為24的正方體的頂點都在同一個球面上,則該球的表面積是()A12 B8 C D49. 一個球與一個正三棱柱的三個側(cè)面和兩個底面都相切,已知這個球的體積為,那么這個正三棱柱的體積是()A.12 B.2 C.6

3、D.4810. 已知一個圓錐的母線長為2,側(cè)面展開圖是半圓,則該圓錐的體積為.11. 如圖,在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O,該球與圓柱的上、下底面及母線均相切,記圓柱O1O2的體積為V1,球O的體積為V2,則的值是_.12.已知圓錐的頂點為S,母線SA,SB互相垂直,SA與圓錐底面所成角為30.若SAB的面積為8,則該圓錐的體積為_.二能力提升1. 給出下列命題:在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點,則這兩點的連線是圓柱的母線;有一個面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體是棱錐;直角三角形繞其任意一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐;棱臺的上、下底面可以不相似,但側(cè)棱長一定相等;有兩個平面互相

4、平行,其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱.其中正確命題的個數(shù)是.2.下面是關于四棱柱的四個命題：若有一個側(cè)面垂直于底面,則該四棱柱為直四棱柱；若過兩個相對側(cè)棱的截面都垂直于底面,則該四棱柱為直四棱柱；若四個側(cè)面兩兩全等,則該四棱柱為直四棱柱；若四棱柱的四條對角線兩兩相等,則該四棱柱為直四棱柱其中,真命題的編號是_.3. (2019山東濟寧階段檢測)一個棱柱的底面是正六邊形,側(cè)面都是正方形,用至少過該棱柱三個頂點(不在同一側(cè)面或同一底面內(nèi))的平面去截這個棱柱,所得截面的形狀不可能是()A等腰三角形B等腰梯形C五邊形D正六邊形4.已知圓柱的高為1,它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上,

5、則該圓柱的體積為()A B C D5.(2019廣東茂名階段檢測)如圖,在四棱錐PABCD中,PA底面ABCD,底面ABCD為菱形,ABC60,PAAB2,過BD作平面BDE與直線PA平行,交PC于點E.(1)求證：E為PC的中點；(2)求三棱錐EPAB的體積專練04 空間幾何體的表面積與體積一、基礎強化1. 一個棱柱是正四棱柱的條件是()A底面是正方形,有兩個側(cè)面是矩形B底面是正方形,有兩個側(cè)面垂直于底面C底面是菱形,并有一個頂點處的三條棱兩兩垂直D每個側(cè)面都是全等矩形的四棱柱【參考答案】D【解析】A當?shù)酌媸钦叫?有兩個側(cè)面是矩形且相對,另一對不是矩形時,不是正四棱柱；B當?shù)酌媸钦叫?有

6、兩個側(cè)面垂直于底面且相對,另一對不垂直于底面時,不是正四棱柱；C當?shù)酌媸橇庑螘r,不是正四棱柱；故選D2.一個正方體內(nèi)有一個內(nèi)切球,作正方體的對角面,所得截面圖形是下圖中的()【參考答案】B【解析】由組合體的結(jié)構特征知,球只與正方體的上、下底面相切,而與兩側(cè)棱相離. 故選B.3.(2019山東泰安階段測試)用斜二測畫法作出一個三角形的直觀圖,則原三角形面積是直觀圖面積的()A倍 B2倍 C2倍 D倍【參考答案】C【解析】設原三角形的底邊長為a,高為h,則直觀圖中底邊長仍為a,高為sin 45,所以原三角形面積與直觀圖面積的比值為2,即原三角形面積是直觀圖面積的2倍故選C.4. 已知圓柱的上、下底

7、面的中心分別為O1,O2,過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形,則該圓柱的表面積為()A.12 B.12 C.8 D.10【參考答案】B【解析】因為圓柱的軸截面是正方形,且面積為8,所以圓柱的高為2,底面直徑為2,所以圓柱的表面積S=22+2()2=12.故選B.5. 如圖,將裝有水的長方體水槽固定底面一邊后傾斜一個小角度,則傾斜后水槽中的水形成的幾何體是()A棱柱 B棱臺C棱柱與棱錐的組合體 D不能確定【參考答案】A【解析】根據(jù)題圖,因為有水的部分始終有兩個平面平行,而其余各面都易證是平行四邊形,因此是棱柱故選A.6. 把球的表面積擴大到原來的2倍,那么體積擴大到原來的(

8、)A2倍 B2倍 C倍 D倍【參考答案】B【解析】由題意知球的半徑擴大到原來的倍,則體積VR3,知體積擴大到原來的2倍故選B.7. 在ABC中,AB2,BC1.5,ABC120(如圖所示),若將ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周,則形成的旋轉(zhuǎn)體的體積是()A B C D【參考答案】D【解析】依題意可知,旋轉(zhuǎn)體是一個大圓錐去掉一個小圓錐,如圖所示,OAABcos 302,所以旋轉(zhuǎn)體的體積為()2(OCOB).故選D.8.(2019山東東營階段模擬)表面積為24的正方體的頂點都在同一個球面上,則該球的表面積是()A12 B8 C D4【參考答案】A【解析】 設正方體的棱長為a,因為表面積為24,即6a224

9、,得a 2,正方體的體對角線長度為2, 所以正方體的外接球半徑為r, 所以球的表面積為S4r212.故選A.9. 一個球與一個正三棱柱的三個側(cè)面和兩個底面都相切,已知這個球的體積為,那么這個正三棱柱的體積是()A.12 B.2 C.6 D.48【參考答案】C【解析】由R3=,得球的半徑R=1,正三棱柱的高等于球的直徑,即h=2R=2.設三棱柱的底面邊長為a,則a=1,a=2,該正三棱柱的體積V=(2)22=6,故選C.10. 已知一個圓錐的母線長為2,側(cè)面展開圖是半圓,則該圓錐的體積為.【參考答案】【解析】一個圓錐的母線長為2,它的側(cè)面展開圖為半圓,則半圓的弧長為2,即圓錐的底面周長為2.設圓

10、錐的底面半徑是r,則2r=2,解得r=1,所以圓錐的高h=,所以圓錐的體積V=r2h=.11. 如圖,在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O,該球與圓柱的上、下底面及母線均相切,記圓柱O1O2的體積為V1,球O的體積為V2,則的值是_.【參考答案】【解析】設球O的半徑為R,球O與圓柱O1O2的上、下底面及母線均相切,圓柱O1O2的高為2R,底面半徑為R.12.已知圓錐的頂點為S,母線SA,SB互相垂直,SA與圓錐底面所成角為30.若SAB的面積為8,則該圓錐的體積為_.【參考答案】8【解析】在RtSAB中,SASB,SSABSA28,解得SA4.設圓錐的底面圓心為O,底面半徑為r,高為h,在RtSAO中,

11、SAO30,所以r2,h2,所以圓錐的體積為r2h(2)228.二能力提升1. 給出下列命題:在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點,則這兩點的連線是圓柱的母線;有一個面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體是棱錐;直角三角形繞其任意一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐;棱臺的上、下底面可以不相似,但側(cè)棱長一定相等;有兩個平面互相平行,其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱.其中正確命題的個數(shù)是.【參考答案】0【解析】錯誤,只有這兩點的連線平行于旋轉(zhuǎn)軸時才是母線;錯誤,因為“其余各面都是三角形”并不等價于“其余各面都是有一個大眾頂點的三角形”;錯誤,當以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時,其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的

12、面所圍成的幾何體不是圓錐;錯誤,棱臺的上、下底面是相似且對應邊平行的多邊形,各側(cè)棱延長線交于一點,但是側(cè)棱長不一定相等;錯誤,滿足有兩個平面互相平行,其余各面都是平行四邊形,但這個多面體不是棱柱.2.下面是關于四棱柱的四個命題：若有一個側(cè)面垂直于底面,則該四棱柱為直四棱柱；若過兩個相對側(cè)棱的截面都垂直于底面,則該四棱柱為直四棱柱；若四個側(cè)面兩兩全等,則該四棱柱為直四棱柱；若四棱柱的四條對角線兩兩相等,則該四棱柱為直四棱柱其中,真命題的編號是_.【參考答案】【解析】顯然錯；正確,因兩個過相對側(cè)棱的截面都垂直于底面可得到側(cè)棱垂直于底面；錯,可以是斜四棱柱；正確,對角線兩兩相等,則此兩對角線所在的平

13、行四邊形為矩形故填.3. (2019山東濟寧階段檢測)一個棱柱的底面是正六邊形,側(cè)面都是正方形,用至少過該棱柱三個頂點(不在同一側(cè)面或同一底面內(nèi))的平面去截這個棱柱,所得截面的形狀不可能是()A等腰三角形B等腰梯形C五邊形D正六邊形【參考答案】D【解析】如圖1,由圖可知,截面ABC為等腰三角形,選項A可能截面ABEF為等腰梯形,選項B可能如圖2,截面AMDEN為五邊形,選項C可能圖1圖2因為側(cè)面是正方形,只有平行于底面的截面才可能是正六邊形,故過兩底的頂點不可能得到正六邊形選項D不可能4.已知圓柱的高為1,它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上,則該圓柱的體積為()A B C D【參考答案】B【解析】設圓柱的底面半徑為r,球的半徑為R,且R1,由圓柱兩個底面的圓周在同一個球的球面上可知,r,R及圓柱的高的一半組成直角三角形r.圓柱的體積為Vr2h1.5.(2019廣東茂名階段檢測)如圖,在四棱錐PABCD中,PA底面ABCD,底面ABCD為菱形,ABC60,PAAB2,過BD作平面BDE與直線PA平行,交PC于點E.(1)求證：E為PC的中點；(2)求三棱錐