1、【基礎知識鞏固】一、平方根、算數平方根和立方根1、平方根（ 1）平方根的定義：如果 一個數 x 的平方 等于 a，那么這個數x 就叫做 a 的平方根 即：如果x2a ，那么x 叫做a 的平方根（ 2）開平方的定義：求一個數的平方根 的運算 ，叫做開平方開平方運算的 被開方數必須是 非負數 才有意義。（ 3）平方與 開平方互為逆運算：3 的平方等于9， 9 的平方根是3（ 4）一個正數 有兩個平方根， 即正數 進行開平方 運算有 兩個 結果；一個負數沒有平方根， 即負數不能 進行開平方 運算（ 5）符號： 正數 a 的正的平方根 可用a 表示，a 也是 a 的算術平方根；正數 a 的負的平方根

2、可用 -a 表示 （ 6） x 2axaa 是 x 的平方x 的平方是 ax 是 a 的平方根a 的平方根是 x2、算術平方根（1）算術平方根的定義： 一般地，如果 一個正數 x 的平方 等于 a，即 x2a ，那么這個正數 x 叫做 a 的算術平方根 a 的算術平方根記為a ，讀作 “根號a”，a 叫做 被開方數規定： 0 的算術平方根是0.也就是，在等式x 2a(x0)xa。 中，規定（ 2） a 的結果有 兩種情況： 當 a 是完全平方數 時， a 是一個 有限數；當 a 不是一個完全平方數 時， a 是一個 無限不循環小數。（ 3）當被開方數擴大 時，它的 算術平方根 也擴大；當被開方

3、數縮小時與它的算術平方根也縮小 。一般來說，被開放數擴大（或縮小）a 倍，算術平方根擴大（或縮小）a 倍，例如 錯誤 ! 未找到引用源。 =5，錯誤 !未找到引用源。 =50。（ 4）夾值法 及估計一個（無理）數的大小（ 5） x2a (x 0) xaa 是 x 的平方x 的平方是 ax 是 a 的算術平方根a 的算術平方根是 x（ 6）正數和零的算術平方根都只有一個，零的算術平方根是零。a （ a 0）a 0a2a；注意a 的雙重非負性：- a （a 0 ）a0（ 7）平方根 和算術平方根 兩者既有區別又有聯系：區別在于 正數的平方根有兩個，而它的 算術平方根只有一個；聯系在于 正數 的正平

4、方根 就是它的 算術平方根 ，而正數的負平方根是它的 算術平方根的相反數。3、立方根（1）立方根的定義：如果一個數 x 的立方等于 a，這個數叫做 a 的立方根 （也叫做 三次方根 ），即如果x3a ，那么x 叫做a 的立方根（ 2）一個數a 的立方根， 記作3a ，讀作： “三次根號a ”，其中 a 叫被開方數， 3 叫根指數， 不能省略 ，若省略表示平方。（ 3） 一個 正數 有一個 正的立方根；0 有一個立方根，是它本身；一個負數有一個負的立方根 ；任何數 都有 唯一 的立方根 。（ 4）利用 開立方 和立方互為逆運算 關系，求一個數的立方根，就可以利用這種互逆關系，檢驗其正確性，求負數

5、的立方根，可以先求出這個負數的絕對值的立方根，再取其相反數，即3 a3 a a0 。（ 5） x3ax3 aa 是 x 的立方x 的立方是 ax 是 a 的立方根a 的立方根是 x（6） 3a3 a ，這說明三次根號內的負號可以移到根號外面。【典型例題分析】知識點一：有關概念的識別1、下列說法中正確的是（）A、的平方根是 3B 、1 的立方根是1C、=1D、是 5 的平方根的相反數2、下列語句中，正確的是（）A 一個實數的平方根有兩個，它們互為相反數B負數沒有立方根C一個實數的立方根不是正數就是負數D立方根是這個數本身的數共有三個3、 下列說法中：3 都是 27 的立方根，3 y3y ，64

6、的立方根是2 ， 38 24 。其中正確的有（）A、1個 B、2個C、3個 D、 4 個4、0.72 的平方根是（）A 0.7B 0.7C 0.7D 0.495、下列各組數中，互為相反數的組是（）A、2與 ( 2)2B、2和38C、 12與 2D、 2和 2知識點二：計算類題型1、25 的算術平方根是 _；平方根是 _. -27立方根是 _._，_，_.2、 ( 4)2； 3( 6)3； ( 196)2= .38 =.3、 2 +325 27(1-7 )7|32|+|32|-|21|38(2)214、（ 1）327( 3)231（2）43270130.1253 163464（ 3）知識點三：利

7、用平方根和立方根解方程2（ 2） 4 x2121（ 3）1、（ 1）（ 2x-1 ） -169=0 ；( x 2) 3125知識點四：關于有意義的題a 本身為非負數，有非負性，即a 0；a 有意義的條件是a 0。要使1有意義，必須滿足a0.a1、若a 的算術平方根有意義，則a 的取值范圍是（）A 、一切數B 、正數C、非負數D、非零數2、要使2x 6 有意義， x 應滿足的條件是x13、當 x _ 時，式子 x2 有意義。知識點五：有關平方根的解答題1、一個正數 a 的平方根是 3x4 與 2x，則 a 是多少？2、若 5a1 和 a 19 是數 m 的平方根，求m 的值。3、已知 x、y 都

8、是實數，且 yx33x4 ，求 y x 的平方根。知識點六：非負性的應用1、已知實數 x， y 滿足x2 +(y+1) 2=0，則 x-y 等于解答：根據題意得，x-2=0 ， y+1=0，解得 x=2， y=-1 ，所以， x-y=2- （-1 ） =2+1=32、已知 a、b 滿足2a8b30 ，解關于 x 的方程 a2 xb 2a1。3、若x1(3xy1) 20 ，求5xy2 的值。4、若 a、b、 c 滿足a3(5 )2c1 0b c的值。，求代數式ba5、已知13a 和 8b 3互為相反數，求(ab) 227 的值。【重點知識鞏固】考點、平方根、算術平方根、立方根1、概念、定義（ 1

9、）如果一個正數x 的平方等于a，即，那么這個正數x 叫做 a 的算術平方根。（ 2）如果一個數的平方等于a，那么這個數就叫做a 的平方根 （或二次方跟） 。如果，那么 x 叫做 a 的平方根。（ 3）如果一個數的立方等于a，那么這個數就叫做a 的立方根（或a 的三次方根） 。如果，那么 x 叫做 a 的立方根。2、運算名稱（ 1）求一個正數 a 的平方根的運算，叫做開平方。平方與開平方互為逆運算。（ 2）求一個數的立方根的運算，叫做開立方。開立方和立方互為逆運算。3、運算符號（ 1）正數 a 的算術平方根，記作“a”。（ 2） a(a 0)的平方根的符號表達為。（ 3）一個數 a 的立方根，用表示，其中a 是被開方數， 3 是根指數。4、運算公式4、開方規律小結（ 1）若 a 0，則 a 的平方根是a ，a 的算術平方根a ；正數的平方根有兩個，它們互為相反數，其中正的那個叫它的算術平方根；0 的平方根和算術平方根都是0；負數沒有平方根。實