1、磁場的磁場的“高斯定理高斯定理” ” 磁矢勢磁矢勢 n磁通量磁通量 n任意磁場，磁通量定義為任意磁場，磁通量定義為 S B SdB n磁感應線的特點：磁感應線的特點： n環(huán)繞電流的無頭無尾的閉合線或伸向無窮環(huán)繞電流的無頭無尾的閉合線或伸向無窮 遠遠 0 S B SdB磁高斯定理磁高斯定理 無源場無源場 磁高斯定理磁高斯定理 n通過磁場中任一閉合曲面通過磁場中任一閉合曲面S S的總磁通量恒等的總磁通量恒等 于零于零 n證明：證明： n單個電流元單個電流元IdlIdl的磁感應線：以的磁感應線：以dldl方向為軸線方向為軸線 的一系列同心圓，圓周上的一系列同心圓，圓周上B B 處處相等；處處相等；

2、2 0 sin 4r Idl dB n考察任一磁感應管考察任一磁感應管( (正截面為正截面為) )， 取任意閉合曲面取任意閉合曲面S S，磁感應管，磁感應管 穿入穿入S S一次，穿出一次。一次，穿出一次。 dSdSdS 2211 coscos dS r Idl dS r Idl SdBdd B 2 0 11 2 0 11 sin 4 cos sin 4 1 dS r Idl dS r Idl SdBdd B 2 0 22 2 0 22 sin 4 cos sin 4 2 0 21 BBB ddd n結論：任一磁感應管經(jīng)閉合曲面結論：任一磁感應管經(jīng)閉合曲面S S的磁通量為零的磁通量為零 推廣到任

3、意載流回路的磁場推廣到任意載流回路的磁場 n一個電流元產(chǎn)生的磁場可看成由許多磁一個電流元產(chǎn)生的磁場可看成由許多磁 感應管組成感應管組成 n有的穿入又穿出，有上述結論有的穿入又穿出，有上述結論 n有的沒穿過有的沒穿過S S，磁通量為零，磁通量為零 n任意載流回路任意載流回路由許多電流元串聯(lián)而由許多電流元串聯(lián)而 成，由疊加原理得成，由疊加原理得 n結論：通過磁場中任一閉合曲面結論：通過磁場中任一閉合曲面S S的總的總 磁通量恒等于零。磁通量恒等于零。 磁高斯定理的微分形式磁高斯定理的微分形式 n利用數(shù)學的高斯定理利用數(shù)學的高斯定理 0 S B SdB 0 V dVB 0 B n說明恒磁場的散度為零

4、說明恒磁場的散度為零無源場無源場 磁矢勢磁矢勢 n然而磁場的主要特征：無源無散）然而磁場的主要特征：無源無散） 磁高斯定理磁高斯定理 n其更根本的意義：使我們可能引入磁矢勢其更根本的意義：使我們可能引入磁矢勢 0 S SdB L L IldB 內(nèi) 0 無源場無源場 有旋場有旋場 非保守場一般非保守場一般 不引入標勢不引入標勢 0 B jB n磁高斯定理表明：對任意閉合面磁高斯定理表明：對任意閉合面 0 21 SSS SdBSdBSdB 21 SS SdBSdB 磁通量僅由磁通量僅由 的共同邊界線所決定的共同邊界線所決定 可能找到一個矢量可能找到一個矢量A，它沿，它沿L 作線積分等于通過作線積分

5、等于通過S的通量的通量 )(add LS SBlA n數(shù)學上可以證明，這樣的矢量數(shù)學上可以證明，這樣的矢量A A的確存在，的確存在， 對于磁感應強度對于磁感應強度B B，A A叫做磁矢勢，叫做磁矢勢，A A在空間在空間 的分布也構成矢量場，簡稱矢勢的分布也構成矢量場，簡稱矢勢 根據(jù)矢量分析根據(jù)矢量分析 n對任意矢量對任意矢量A A有有 0)(AAB n矢勢的特點矢勢的特點 不不唯唯一一的的滿滿足足AAB 其實標勢也不唯其實標勢也不唯 一，零點可選一，零點可選 n如：對于任意標量場如：對于任意標量場的梯度的梯度， 有有 0 BAAA )( 描述同一個磁感應強度描述同一個磁感應強度B AA：規(guī)范變

6、換規(guī)范變換 n類似于電勢零點可以任取，規(guī)范也可任意選取類似于電勢零點可以任取，規(guī)范也可任意選取 n通常選庫侖規(guī)范通常選庫侖規(guī)范: : A=0A=0 找電流產(chǎn)生的磁場中找電流產(chǎn)生的磁場中 磁矢勢的表達式磁矢勢的表達式 n電流元的磁矢勢電流元的磁矢勢 p112p112式式2.55)2.55) n任意閉合回路的磁矢勢任意閉合回路的磁矢勢 式式2.56) 2.56) n例題例題9 9 n例題例題1010 n例題例題1111 得出得出利用對稱性由利用對稱性由 LS ddSBlA n兩種辦法兩種辦法 的的表表達達式式由由AAAB0和 電動力學的做法電動力學的做法 普通物理普通物理 的方法的方法 電流元的磁

7、矢勢電流元的磁矢勢 n設磁矢勢設磁矢勢a a與電流元平行與電流元平行 因為對矢勢變換規(guī)范可因為對矢勢變換規(guī)范可 以任選，選庫侖規(guī)范以任選，選庫侖規(guī)范 A=0 A=0 的結果）的結果）aa 只有只有z z分量分量 以電流元為軸以電流元為軸, ,取柱坐取柱坐 標（標（、z ) z ) 取閉合環(huán)路取閉合環(huán)路L dlpdddddd bdCba LLLLLL )( z alalalalalala dca LLLa,a, 只有這一段只有這一段 積分有貢獻積分有貢獻 SL ddlpdlBala z )( ？ 計算通過計算通過L L的通量的通量 n場點場點P P和回路和回路L L在在0 0 的平面內(nèi)的平面內(nèi)

8、n通過通過L L的磁感應通量為：的磁感應通量為： 00 0z、：P P點點坐坐標標 0 zzd處處的的 2 10 sin 4r Idl dB 0 2 10 sin 4 r ddlIdl d B 2 000 cos/,tan,cos/dzdzzr 0 10 0 0 10 2/ 0 10 4 cos 4 sin 4 0r dlIdl z dlIdl d z dlIdl d B dlpdd LS )( z alalB 消去消去dl 0 10 4 )( r Idl pa z 同同向向 1 ladp 與)( 0 10 4 )( r Id p l a n上式為電流元所產(chǎn)生的磁場中矢勢的上式為電流元所產(chǎn)生的

9、磁場中矢勢的 n 一個表達式一個表達式 矢勢表達式不唯一矢勢表達式不唯一 n任意閉合載流回路任意閉合載流回路L1 L1 在空間某點的矢勢在空間某點的矢勢 )( 10 1 4 )( L r dI p l A 電流在導電流在導 線截面上線截面上 均勻分布均勻分布 電流回路電流回路 n假如電流在載流截面上不均勻分布假如電流在載流截面上不均勻分布 V r d p Vrj A )( 4 )( 0 矢勢公式的應用舉例矢勢公式的應用舉例 n例題例題9 9：一對平行無限長直導線，載：一對平行無限長直導線，載 有等量反向電流有等量反向電流I I n先求一根無限長直導線的磁矢勢如先求一根無限長直導線的磁矢勢如 圖

10、）圖） n設矢勢設矢勢A A只有只有z z分量分量 n無限長無限長AzAz與與z z無關無關 n軸對稱軸對稱AzAz與與無關無關 nAzAz只是只是的函數(shù)：的函數(shù)： AzAz Az(Az() ) 取回路取回路 P Q LLLLLLL IldIl BdllQP ddddddd Q P Q P dbdCba ln 22 )()( 00 zz AA lAlAlAlAlAlAlA 求磁通量求磁通量 P Q I QP ln 2 )()( 0 zz AA 一根無限長導線在空間任一兩點之間的矢勢差一根無限長導線在空間任一兩點之間的矢勢差 n兩根無限長載流直導線的磁矢勢兩根無限長載流直導線的磁矢勢 n矢量疊加

11、如圖）矢量疊加如圖） P Q P Q I QP I QP ln 2 )()( ln 2 )()( 0 0 z z AA AA z z 疊加得疊加得P 點總矢勢點總矢勢 ln 2 ln 2 lnln 2 )()( 000 III QP P P P Q P Q zz AA 取取Q 零點零點 n例題例題1010：無限長圓柱型導體，半徑為：無限長圓柱型導體，半徑為R R，載有，載有 在界面上均勻分布的電流在界面上均勻分布的電流I I，求磁矢勢，求磁矢勢 nrRrR：導線外部同例題：導線外部同例題9，取，取Q點在導體表面，外點在導體表面，外 部任意點部任意點P與與Q點的矢勢差為點的矢勢差為 2 2 0

12、00 2 0 42R lIr rdr R Il Bdrl rr B Rr R Ir rr, 4 )()0()( 2 2 0 zzz AAA Rr R rII R rI Rr, 2 1 ln 24 ln 2 )()( 000 zz AA 4 )( 0I R z AR,r 求矢勢小結求矢勢小結 n依據(jù)公式依據(jù)公式(a)求矢勢的基本步驟求矢勢的基本步驟 n根據(jù)對稱性，假設一個矢勢的方向根據(jù)對稱性，假設一個矢勢的方向 n取閉合回路，注意矢勢零點的選取準繩：或可取閉合回路，注意矢勢零點的選取準繩：或可 提出積分號，或積分好算）提出積分號，或積分好算） n算出通過回路的磁通量算出通過回路的磁通量 n得出得出A 一個表達式一個表達式 n以上幾個例子例題以上幾