1、 欄目導航 課前預習課前預習 課堂探究課堂探究 點擊進入課后作業 主要內容 3.3.4兩條平行直線間的距離 3.3直線的交點坐標與距離公式直線的交點坐標與距離公式 一般地，若直線l1:A1x+B1y+C1=0和 l2:A2x+B2y+C2=0相交，如何求其交點坐標？ 用代數方法求兩條直線的交點坐標，只 需寫出這兩條直線的方程，然后聯立求解. 3.3.1 兩條直線的交點坐標兩條直線的交點坐標 幾何概念與代數表示幾何概念與代數表示 幾何元素及關系幾何元素及關系 代數表示代數表示 點點A A 直線直線l 點點A A在直線在直線l上上 直線直線l1 1與與l2 2的交點是的交點是A A ( , )A

2、a b :0lAxByC :0lAaBbC A A的坐標滿足方程的坐標滿足方程 A A的坐標是方程組的解的坐標是方程組的解 111 222 0 0 A xB yC A xB yC 對于兩條直線 和 , 若方程組 0: 1111 CyBxAl 0: 2222 CyBxAl 0 0 222 111 CyBxA CyBxA 有唯一解，有無數組解，無解，則兩直線的有唯一解，有無數組解，無解，則兩直線的 位置關系如何？位置關系如何？ 兩直線有一個交點， 重合、平行 1 : 3420lxy 2 : 220lxy 例1. 求下列兩條直線的交點坐標 當當 變化時，方程變化時，方程 342(22) 0 xyx

3、y 表示什么圖形？圖形有何特點？ 表示的直線包括過交點表示的直線包括過交點M M（-2-2，2 2）的一族直線）的一族直線 例例2 2 判斷下列各對直線的位置關系，如果相判斷下列各對直線的位置關系，如果相 交，求出其交點的坐標交，求出其交點的坐標. 1 0,lx y ： 2 33 10 0;l xy ： 1 340,lxy： 2 6210;lxy ： 1 3450,lxy ： 2 68100.lxy： （1 1） （2 2） （3 3） 例例3 3 求經過兩直線求經過兩直線3x+2y+1=0 3x+2y+1=0 和和 2x-3y+5=02x-3y+5=0的交的交 點，且斜率為點，且斜率為3 3

4、的直線方程的直線方程. . 例4.設直線y=k(x+3)-2和x+4y-4=0相交，且交點 C在第一象限，求k的取值范圍. x x y y o o B B A A P P C C 小結小結 1.求兩條直線的交點坐標 2.任意兩條直線可能只有一個公共點，也可能 沒有公共點（平行） 3.任意給兩個直線方程，其對應的方程組得解 有三種可能可能： 1）有惟一解 2）無解 3）無數多解 4.直線族方程的應用 作業作業 P109 習題3.3A組：1，3，5. P110 習題3.3B組：1. 3.3.2 兩點間的距離兩點間的距離 已知平面上兩點已知平面上兩點P P1 1(x(x1 1，y y1 1) )和和

5、P P2 2(x(x2 2，y y2 2) )，如何，如何 點點P P1 1和和P P2 2的距離的距離|P|P1 1P P2 2| |？ x y P1(x1,y1) P2(x2,y2) O 兩點間距離公式推導兩點間距離公式推導 x y P1(x1,y1) P2(x2, y2) Q(x2,y1) O 221 | |PQyy 121 | |PQxx x2 y2 x1 y1 兩點間距離公式兩點間距離公式 22 122121 |()()PPxxyy 22 |OPxy 特別地，點P（x，y）到原點（0，0）的距離為 一般地，已知平面上兩點P1(x1， )和P2(x2，y2)， 利用上述方法求點P1和P

6、2的距離為 1 y 例例1 1 已知點已知點 和和 , , 在在x x軸上軸上 求一點求一點P P，使，使|PA|=|PB|PA|=|PB|，并求，并求|PA|PA|的值的值. . ( 1,2)A )72,(B 例例2 2 證明平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對證明平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對 角線的平方和角線的平方和. . x y A(0,0)A(0,0)B(a,0)B(a,0) C (a+b,c)C (a+b,c) D (b,c)D (b,c) 證明：以A為原點，AB為x軸建立直角坐標系. 則四個頂點坐標為A(0,0),B(a,0),D(b,c),C(a+b,c) 建立坐標系， 用坐

7、標表示有 關的量。 x y AB CD (0,0) (a,0) (b,c)(a+b,c) 22 |ABa 22 |CDa 222 |()ACabc 222 |ADbc 222 |BCbc 222 |()BDbac 2222222 |2()ABCDADBCabc 22222 |2()ACBDabc 222222 |ABCDADBCACBD 因此，平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對角因此，平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對角 線的平方和線的平方和. . 例2題解 用用“坐標法坐標法”解決有關幾何問題的基本步驟：解決有關幾何問題的基本步驟： 第一步；建立坐標系， 用坐標系表示有關的量 第二步：進行

8、有關代數運算 第三步：把代數運算結果 “翻譯”成幾何關系 小結小結 1.兩點間距離公式 2.坐標法 第一步:建立坐標系，用坐標表示有關的量 第二步:進行有關代數運算 第三步:把代數運算結果翻譯成幾何關系 22 122121 |()()PPxxyy 拓展拓展 )( 1212 xxkyy 已知平面上兩點P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，直線 P1P2的斜率為k，則 y2-y1可怎樣表示？從而點P1和P2 的距離公式可作怎樣的變形？ 2 12 2 1221 1 1| 1| k yy kxxPP 例3 設直線2x-y+1=0與拋物線 相交于A、B兩點，求|AB|的值. 2 34yxx P106練

9、習：1，2. P110習題3.3 A組：6，7，8. 作業作業 3.3.3 點到直線的距離 已知點已知點P P0 0(x(x0 0，y y0 0) )和直線和直線l：Ax +By +C=0Ax +By +C=0，如，如 何求點何求點P P到直線到直線 l 的距離？的距離？ x xo o P P0 0 Q Q l y y 點點P P到直線到直線 l 的距離，是指從點的距離，是指從點P P0 0到直線到直線 l 的的 垂線段垂線段P P0 0Q Q的長度，其中的長度，其中Q Q是垂足是垂足 分析思路一：直接法分析思路一：直接法 直線直線 的方程的方程 l 直線直線 的斜率的斜率 l QPl 0 直

10、線直線 的方程的方程l直線直線 的方程的方程QP0 QP 0 點點 之間的距離之間的距離 （點（點 到到 的距離）的距離） QP、 0 0 Pl 點點 的坐標的坐標 0 P 直線直線 的斜率的斜率 QP 0 點點 的坐標的坐標 0 P點點 的坐標的坐標Q x x y y O O 0 Pl Q x y O 0 P l Q 面積法求出面積法求出P0Q 求出點求出點R 的坐標的坐標求出點求出點S 的坐標的坐標 利用勾股定理求出利用勾股定理求出SR 分析思路二：用直角三角形的面積間接求法 R S d 求出求出P0R 求出求出P0S SR RPSP QP 00 0 x y P0 (x0,y0) O x0

11、 y0 :0lAxByC S 0 0, AxC x B R 0 0 , ByC y A 00 1 | 2 PSP R Q d 1 | 2 d SR 點到直線的距離公式 00 22 |AxByC d AB | | | 0 0 B C y B CBy d 點點P(xP(x0 0，y y0 0) )到直線到直線 l ：Ax +By +C=0Ax +By +C=0的距離為：的距離為： 特別地，當A=0，B0時， 直線By+C=0 | | | 0 0 A C x A CAx d 特別地，當B=0，A0時， 直線Ax+C=0 x y P0 (x0,y0) O |x1-x0| |y1-y0| x0 y0 1

12、 yy y1 1 xx x1 點到坐標軸的距離點到坐標軸的距離 x y P0 (x0,y0) O |y0| |x0| x0 y0 例例1.1.求點求點 到直線到直線 的距離的距離21 0 ，P23:xl 解：解： 3 5 03 213 22 d 思考：還有其他解法嗎？ 例例2 2 已知點已知點 ，求，求 的面積的面積 011331，CBAABC 分析：如圖，設 邊上的高為 ，則ABh . 2 1 hABS ABC y 1 2 3 4 xO-1123 A B C h .223113 22 AB 邊上的高邊上的高 就是點就是點 到到 的距離的距離 hCABAB y 1 2 3 4 xO-1123

13、A B C h 即：即：.04 yx 點點 到到 的距離的距離 04 yx01，C . 2 5 11 401 22 h 因此因此.5 2 5 22 2 1 ABC S 解：解： 邊所在直線的方程為：邊所在直線的方程為： AB， 13 1 31 3 xy 例2 已知點 ，求 的面積 011331，CBAABC 小結小結 點到直線的距離公式的推導及其應用 00 22 |AxByC d AB 點P(x0，y0)到直線l：Ax +By +C=0的距離為： 作業 P110習題3.3A組：8,9. 3.3B組：2,4 3.3.4 兩條平行直線間的距離兩條平行直線間的距離 兩條平行直線間的距離是指夾在兩兩條

14、平行直線間的距離是指夾在兩 條平行線間公垂線段的長條平行線間公垂線段的長 兩平行線間的距離處處相等兩平行線間的距離處處相等 怎樣判斷兩條直線是否平行？怎樣判斷兩條直線是否平行？ 2.2.設設l1 1/l2 2，如何求，如何求l1 1和和l2 2間的距離？間的距離？ 1 1）能否將平行直線間的距離轉化為點到直線）能否將平行直線間的距離轉化為點到直線 的距離？的距離？ 2) 2) 如何取點，可使計算簡單？如何取點，可使計算簡單？ 例例1 1 已知直線已知直線 和和 l1 1 與 與l2 2 是否平行？若平行 是否平行？若平行, ,求求 l1 1與與 l2 2的距離的距離. . 0872: 1 yx

15、l01216: 2 yxl 例例2 2 求平行線求平行線2x-7y+8=0與與2x-7y-6=0的距離的距離. . 兩平行線間的兩平行線間的 距離處處相等距離處處相等 在在l2 2上任取一點，如上任取一點，如P(3,0)P(3,0) P P到到l1 1的距離等于的距離等于l1 1與與l2 2的距離的距離 53 5314 53 14 )7(2 80732 22 d 直線到直線的距離轉化為點到直線的距離直線到直線的距離轉化為點到直線的距離 解：解： 例例3. 3. 求證：兩條平行直線求證：兩條平行直線Ax+By+C1=0和和 Ax+By+C2=0間的距離為間的距離為 22 21 | BA cc d

16、 )0 , 37 171 ()0 , 1( 或或 22 )5(12 400512 x 22 )3(1 703 x 37 171 1 xx或或 解：設P(x,0), 根據P到l1、 l2距離相等，列式為 所以P點坐標為： 例例4 4 已知已知P P在在x 軸上軸上, P, P到直線到直線l1: x- y +7=0 與直線與直線 l2:12x-5y+40=0 的距離相等的距離相等, , 求求P P點坐標。點坐標。 3 小結小結 1. 兩條平行直線間距離的求法 轉化為點到直線的距離轉化為點到直線的距離 2. 2. 兩條平行直線間距離公式 作業 P110習題3.3A組： 10. 習題3.3B組：3，6

17、，9 3.33.3 直線的交點坐標與直線的交點坐標與 距離公式距離公式 朱里街道 河東于 主要內容 3.3.4兩條平行直線間的距離 3.3.13.3.1 兩條直線的交點坐標兩條直線的交點坐標 一般地，若直線l1:A1x+B1y+C1=0和 l2:A2x+B2y+C2=0相交，如何求其交點坐標？ 用代數方法求兩條直線的交點坐標，只需寫 出這兩條直線的方程，然后聯立求解. 幾何概念與代數表示 幾何元素及關系幾何元素及關系 代數表示代數表示 點點A A 直線直線l 點點A A在直線在直線l上上 直線直線l1 1與與l2 2的交點是的交點是A A ( , )A a b :0lAxByC :0lAaBb

18、C A A的坐標滿足方程的坐標滿足方程 A A的坐標是方程組的解的坐標是方程組的解 111 222 0 0 AxB yC A xB yC 對于兩條直線 和 , 若方程組 0: 1111 CyBxAl 0: 2222 CyBxAl 0 0 222 111 CyBxA CyBxA 有唯一解，有無數組解，無解，則兩直線的有唯一解，有無數組解，無解，則兩直線的 位置關系如何？位置關系如何？ 兩直線有一個交點， 重合、平行 1 : 3420lxy 2 :220lxy 例1. 求下列兩條直線的交點坐標 當當 變化時，方程變化時，方程 342(22) 0 xyx y 表示什么圖形？圖形有何特點？表示什么圖形

19、？圖形有何特點？ 表示的直線包括過交點表示的直線包括過交點M M（-2-2，2 2）的一族直線）的一族直線 例例2 2 判斷下列各對直線的位置關系，如果相交，判斷下列各對直線的位置關系，如果相交， 求出其交點的坐標求出其交點的坐標. 1 0,lx y ： 2 33 10 0;lxy ： 1 340,lxy： 2 6210;lxy ： 1 3450,lxy ： 2 68100.lxy： （1 1） （2 2） （3 3） 例例3 3 求經過兩直線求經過兩直線3x+2y+1=0 3x+2y+1=0 和和 2x-3y+5=02x-3y+5=0的交的交 點，且斜率為點，且斜率為3 3的直線方程的直線方

20、程. . 例4.設直線y=k(x+3)-2和x+4y-4=0相交，且交點 P在第一象限，求k的取值范圍. x x y y o o B B A A P P 小結 1.求兩條直線的交點坐標 2.任意兩條直線可能只有一個公共點，也可能 沒有公共點（平行） 3.任意給兩個直線方程，其對應的方程組得解 有三種可能可能： 1）有惟一解 2）無解 3）無數多解 4.直線族方程的應用 作業 P109 習題3.3A組：1，3，5. P110 習題3.3B組：1. 3.3.23.3.2 兩點間的距離兩點間的距離 已知平面上兩點已知平面上兩點P P1 1(x(x1 1，y y1 1) )和和P P2 2(x(x2

21、2，y y2 2) )，如何，如何 點點P P1 1和和P P2 2的距離的距離|P|P1 1P P2 2| |？ x y P1(x1,y1) P2(x2,y2) O 兩點間距離公式推導 x y P1(x1,y1) P2(x2, y2) Q(x2,y1) O 221 | |PQyy 121 | |PQxx x2 y2 x1 y1 兩點間距離公式 22 122121 |()()PPxxyy 22 |OPxy 特別地，點P（x，y）到原點（0，0）的距離為 一般地，已知平面上兩點P1(x1， )和P2(x2，y2)， 利用上述方法求點P1和P2的距離為 1 y 例例1 1 已知點已知點 和和 ,

22、, 在在x x軸上軸上 求一點求一點P P，使，使|PA|=|PB|PA|=|PB|，并求，并求|PA|PA|的值的值. . ( 1,2)A )72,(B 例例2 2 證明平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對證明平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對 角線的平方和角線的平方和. . x y A(0,0)A(0,0)B(a,0)B(a,0) C (a+b,c)C (a+b,c) D (b,c)D (b,c) 證明：以A為原點，AB為x軸建立直角坐標系. 則四個頂點坐標為A(0,0),B(a,0),D(b,c),C(a+b,c) 建立坐標系， 用坐標表示有 關的量。 x y AB CD (0,0)(a,

23、0) (b,c)(a+b,c) 22 |ABa 22 |CDa 222 |()ACabc 222 |ADbc 222 |BCbc 222 |()BDbac 2222222 |2()ABCDADBCabc 22222 |2()ACBDabc 222222 |ABCDADBCACBD 因此，平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對角因此，平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對角 線的平方和線的平方和. . 例2題解 用用“坐標法坐標法”解決有關幾何問題的基本步驟：解決有關幾何問題的基本步驟： 第一步；建立坐標系， 用坐標系表示有關的量 第二步：進行 有關代數運算 第三步：把代數運算結果 “翻譯”成幾何關系

24、小結 1.兩點間距離公式 2.坐標法 第一步:建立坐標系，用坐標表示有關的量 第二步:進行有關代數運算 第三步:把代數運算結果翻譯成幾何關系 22 122121 |()()PPxxyy 拓展 )( 1212 xxkyy 已知平面上兩點P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，直線 P1P2的斜率為k，則 y2-y1可怎樣表示？從而點P1和P2 的距離公式可作怎樣的變形？ 2 12 2 1221 1 1| 1| k yy kxxPP 例3 設直線2x-y+1=0與拋物線 相交于A、B兩點，求|AB|的值. 2 34y xx P106練習：1，2. P110習題3.3 A組：6，7，8. 作業作業

25、3.3.3 點到直線的距離點到直線的距離 已知點已知點P P0 0(x(x0 0，y y0 0) )和直線和直線l：Ax +By +C=0Ax +By +C=0，如，如 何求點何求點P P到直線到直線 l 的距離？的距離？ x xo o P P0 0 Q Q l y y 點點P P到直線到直線 l 的距離，是指從點的距離，是指從點P P0 0到直線到直線 l 的的 垂線段垂線段P P0 0Q Q的長度，其中的長度，其中Q Q是垂足是垂足 分析思路一：直接法分析思路一：直接法 直線直線 的方程的方程 l 直線直線 的斜率的斜率 l QPl 0 直線直線 的方程的方程 l 直線直線 的方程的方程

26、QP 0 QP 0 點點 之間的距離之間的距離 （點（點 到到 的距離）的距離） QP、 0 0 P l 點點 的坐標的坐標 0 P 直線直線 的斜率的斜率 QP 0 點點 的坐標的坐標 0 P點點 的坐標的坐標Q x x y y O O 0 Pl Q x y O 0 P l Q 面積法求出面積法求出P0Q 求出點求出點R 的坐標的坐標求出點求出點S 的坐標的坐標 利用勾股定理求出利用勾股定理求出SR 分析思路二：用直角三角形的面積間接求法 R S d 求出求出P0R 求出求出P0S SR RPSP QP 00 0 x y P0 (x0,y0) O x0 y0 :0lAxByC S 0 0,

27、AxC x B R 0 0 , ByC y A 00 1 | 2 PSP R Q d 1 | 2 d SR 點到直線的距離公式點到直線的距離公式 00 22 |AxByC d AB | | | 0 0 B C y B CBy d 點點P(xP(x0 0，y y0 0) )到直線到直線 l ：Ax +By +C=0Ax +By +C=0的距離為：的距離為： 特別地，當A=0，B0時， 直線By+C=0 | | | 0 0 A C x A CAx d 特別地，當B=0，A0時， 直線Ax+C=0 x y P0 (x0,y0) O |x1-x0| |y1-y0| x0 y0 1 yy y1 1 xx

28、 x1 點到坐標軸的距離 x y P0 (x0,y0) O |y0| |x0| x0 y0 例例1.1.求點求點 到直線到直線 的距離的距離21 0 ，P23:xl 解：解： 3 5 03 213 22 d 思考：還有其他解法嗎？ 例例2 2 已知點已知點 ，求，求 的面積的面積 011331，CBAABC 分析：如圖，設 邊上的高為 ，則ABh . 2 1 hABS ABC y 1 2 3 4 xO-1123 A B C h .223113 22 AB 邊上的高邊上的高 就是點就是點 到到 的距離的距離 hCABAB y 1 2 3 4 xO-1123 A B C h 即：即：.04 yx 點點 到到 的距離的距離 04 yx01，C . 2 5 11 401 22 h 因此因此.5 2 5 22 2 1 ABC S 解：解： 邊所在直線的方程為：邊所在直線的方程為： AB， 13 1 31 3 xy 小結 點到直線的距離公式的推導及其應用 00 22 |AxByC d AB 點P(x0，y0)到直線l：Ax +By +C=0的距離為： 作業作業 P110習題3.3A組：8,9. 3.3B組：2,4 3.3.4 兩條平行直線間的兩條平行直線間的