1、8.1數項級數的概念與基本性質教學目的理解級數的概念和基本性質教學重點級數的基本性質，收斂的必要條件，幾何級數教學難點有窮項相加與無窮項相加的差異教學過程1.導入以前我們學習的加法是將有限個數相加，這種加法易于計算但無法滿足應用的需要在許多技術問題中常要求我們將無窮多個數相加，這種加法叫做無窮級數無窮級數是表示函數、研究函數性質以及進行數值計算的一種工具無窮級數分為常數項級數和函數項級數，常數項級數是函數項級數的特殊情況，是函數項級數的基礎2.講授新課2.1常數項級數的概念定義8.1 設給定數列，我們把形如 （8.1.1）的式子稱為一個無窮級數，簡稱級數其中第項稱為級數的通項（或一般項）如果級

2、數中的每一項都是常數，我們稱此級數為數項級數.例如， 等差數列各項的和 稱為算術級數等比數列各項的和 稱為等比級數，也稱為幾何級數級數 =稱為調和級數 級數（8.1.1）的前項和為：，稱為級數的前項部分和，簡稱部分和2.2常數項級數收斂與發散定義8.2 若級數(8.1.1)的部分和數列的極限存在， 即 (常數) 則稱極限為無窮級數的和記作此時稱級數收斂；如果數列沒有極限，則稱級數發散，這時級數沒有和顯然，當級數收斂時，其部分和是級數和的近似值，它們之間的差叫做級數的余項用近似值代替所產生的誤差是這個余項的絕對值，即誤差為例 討論幾何級數的斂散性，其中，是公比結論：幾何級數，當時收斂，且；時發散

3、例2 判別無窮級數的斂散性例3證明級數發散2.3收斂級數的基本性質性質8.1若, ，則級數性質8.2 若收斂，為非零常數，則級數也收斂，且有性質8.3 若級數收斂，則.性質8.3表明，是級數收斂的必要條件因此，如果級數的通項不趨于，則該級數一定發散；若該級數的通項趨于，則該級數可能收斂，也可能發散例4 已知級數為，討論其斂散性注意：性質8.3只是級數收斂的必要條件，并非充分條件例如調和級數，但它是發散的.3.小結3.1無窮級數其中叫通項3.2部分和，當存在時級數收斂，否則發散3.3四條基本性質：性質1-43.4收斂的必要條件4.布置習題(略)8.2正項級數及其審斂法教學目的理解正項級數的概念和

4、性質教學重點正項級數的各種審斂法，幾何級數與p-級數教學難點比較判別法教學過程1.復習1.1問題級數就是無窮多項相加嗎?級數收斂的必要條件?算術級數、等比級數、調和級數的斂散性1.2講解作業2.講授新課級數的問題，首先是斂散性問題.一般來說，根據級數收斂與發散的定義、性質只能判別出少數級數的斂散性，因此還必須建立其他的判別法.下面將分別給出正項級數、任意項級數的斂散性判別法.首先，來研究正項級數及其斂散性的判別法.2.1正項級數的定義定義8.3 若數項級數的一般項（），則稱數項級數為正項級數正項級數是很重要的一類數項級數，下面我們給出兩種常用的判定正項級數收斂或發散的法則，這些法則都給出了級數

5、收斂的充分條件2.2比較判別法定理8.1（比較判別法） 設和是兩個正項級數，若（為大于零的常數）則（1）當收斂時，也收斂；（2）當發散時，也發散注意：定理8.1告訴我們：只需與已知斂散性的正項級數作比較，便可判定正項級數的斂散性通常我們選用幾何級數和下面的級數作為判定正項級數斂散性的比較對象級數（常數）稱為級數，級數當時發散，當時收斂（證明從略）調和級數即為時的情形例5 判定下列級數的斂散性：(1) ；(2) 2.3比值判別法比較審斂法是通過與某個已知斂散性的級數比較對應項的大小，來判斷給定級數的斂散性，但有時不易找到作為比較對象的已知級數，這就提出了一個問題，能否從級數本身直接判別級數的收斂

6、性呢？達朗貝爾找到了比值審斂法定理8.2（比值判別法，又稱達朗貝爾判別法）若正項級數（）的后項與前項之比值的極限等于，即，則（1）時，級數收斂；（2）（或）時，級數發散；（3）時，不能判斷級數的斂散性例6 判別下列級數的斂散性：(1) ； (2).課堂練習 利用比較判別法，判斷下列級數的斂散性： ； 利用比值判別法，判斷下列級數的斂散性： ；3.小結正項級數的概念；比較審斂法、比值審斂法4.布置習題(略)8.3任意項級數及其審斂法教學目的理解變號級數的概念和性質教學重點交錯級數的審斂法，絕對收斂與條件收斂教學難點絕對收斂與條件收斂教學過程1.復習復習正項級數比較審斂法、比值審斂法2.講授新課2

7、.1絕對收斂級數與條件收斂級數設為任意實數，則級數稱為任意項級數為了判定任意項級數的收斂性，通常先考察其各項的絕對值組成的正項級數的收斂性定理8.3 若絕對值級數收斂，則級數必定收斂注：由于總是正項級數，因此定理8.3 使得一大類級數的收斂性問題轉化為正項級數的收斂性問題定義8.4 若級數收斂，則稱原級數絕對收斂若級數發散，而級數收斂，則稱級數為條件收斂例7判斷級數（為任意常數）的斂散性注意：定理8.3的逆定理并不成立即絕對收斂的級數一定收斂，但收斂級數卻不一定絕對收斂2.2交錯級數及其審斂法定義8.5 若級數的各項符號正負相間，即，或 ，則稱此級數為交錯級數，其中（） 由于級數，所以下面只討

8、論的斂散性定理8.4（萊布尼茲判別法） 若交錯級數，滿足條件：（1），；（2），則級數收斂，且其和例8判斷級數的斂散性解此交錯級數，滿足（1）（）（2）由萊布尼茲判別法知，級數收斂又由于，而調和級數發散，故原級數是條件收斂此例也說明，定理8.3的逆定理不成立3.小結任意項級數的m判別法絕對收斂與條件收斂交錯級數與萊布尼茨判別法 (另提行)4.布置習題(略)第6章7份 第7章3份 第8章6份 第9章4份8.4冪級數及其收斂性教學目的理解冪級數的概念；求簡單冪級數的收斂半徑及收斂區間教學重點冪級數的收斂性教學難點冪級數的收斂性教學過程1.導入 上一節學習了常數項級數的概念及斂散性的判別方法，常數項

9、級數是函數項級數的特例，那么什么是函數項級數呢？2.講授新課2.1函數項級數的概念若給定一個定義在區間上的函數列，則由此函數列構成的表達式（8.2.1）稱為定義在上的函數項級數，稱為一般項或通項對每一確定的點，都對應一個數項級數（8.2.2）若數項級數（8.2.2）收斂，則稱為函數項級數（8.2.1）的收斂點若數項級數（8.2.2）發散，則稱為函數項級數（8.2.1）的發散點函數項級數（8.2.1）的收斂點的全體稱為它的收斂域，發散點的全體稱為它的發散域對于收斂域內的任意一個數，函數項級數成為一個收斂域內的數項級數，因此，有一個確定的和這樣，在收斂域上，函數項級數的和是關于的函數，通常稱為函數

10、項級數的和函數，記作其中是收斂域內的任意一點將函數項級數的前項和記作，則在收斂域上有函數項級數中最簡單、最重要的一類，就是我們下面要討論的冪級數2.2冪級數及其收斂性定義8.6 形如（8.2.3）的級數稱為冪級數，其中，稱為冪級數的系數對冪級數，我們首先要考慮的也是它的收斂性問題，首先介紹如下定理定理8.5若，其中，是冪級數相鄰兩項的系數，則(1)當時，冪級數在任何處收斂；(2)當時，冪級數僅在收斂；(3)當為不等于的常數時，冪級數在內收斂，在內發散時，令，并規定：時，；，稱為冪級數的收斂半徑；區間稱為冪級數的收斂區間 為正常數時，冪級數在收斂區間的端點處可能收斂，也可能發散；時，冪級數發散如

11、果收斂半徑為正數，那么在求冪級數收斂域時，要注意考察端點處的斂散性，所得收斂域有四種：、，它們通常都稱為冪級數的收斂區間.例1求冪級數的收斂半徑與收斂區間例2 求冪級數的收斂區間例3 求冪級數的收斂區間練一練求下列冪級數的收斂區間：(1)； (2)3.小結冪級數的概念；收斂半徑，收斂區間注意討論端點；4.布置習題(略)8.5冪級數的性質教學目的理解冪級數的性質，會冪級數的主要運算.教學重點冪級數的4條性質(包括在收斂區間內可逐項求導和逐項積分).教學難點收斂區間內可逐項求導和逐項積分.教學過程1.復習1.1冪級數的概念.1.2收斂半徑，收斂區間討論端點.2.講授新課2.1冪級數的性質性質8.4

12、 若冪級數與的收斂半徑分別為和，則的收斂半徑等于和中的較小的一個性質8.5 設冪級數的收斂半徑為（），則其和函數在區間內連續性質8.6 設冪級數的收斂半徑為（），則其和函數在內可導，且有逐項求導公式：，其中，且逐項求導后所得的冪級數和原級數有相同的收斂半徑性質8.7 設冪級數的收斂半徑為（），則其和函數在區間內可積，且有逐項積分公式：，其中，且逐項積分后所得的冪級數與原級數有相同的收斂半徑2.2利用性質求冪級數的收斂區間和和函數例4 求冪級數的收斂區間及和函數解，收斂半徑，又時，所得的級數發散，因此收斂區間為設和函數，由性質8.7，兩邊對求導得，課堂練習：求冪級數的和函數解設和函數為，即兩端求

13、導，并注意到可得上式兩端從0到x積分，得 ， .由于又當時，收斂，所以 =求冪級數的和函數，并求級數的和 解略3.小結冪級數的性質，特別是逐項微分和逐項積分性質.4.布置習題(略)8.6函數展開成冪級數教學目的函數能展開為冪級數的條件；泰勒級數的概念5個重要的初等函數的冪級數展開式及它們的收斂區間；將簡單的初等函數展開為的冪級數教學重點函數展開成泰勒級數；間接展開法.教學難點函數展開成泰勒級數.教學過程1.導入前面討論了冪級數的收斂域及其和函數的求法，但在實際問題中往往會提出相反的問題：對于已知函數，能否用冪級數來表示? 下面將討論這個問題2.講授新課2.1泰勒級數泰勒展開式若函數在點的某一鄰

14、域內具有直到階的導數，則對此鄰域內任意有 . （8.3.1）稱(8.3.1)為的泰勒展開式或泰勒公式，其中在，之間，且稱為的階泰勒余項 (8.3.2) 在泰勒展開式中，當時，記，公式（8.3.1）成為 (8.3.3)稱(8.3.3)為的麥克勞林展開式泰勒級數 若在點的某鄰域內具有各階導數，此時我們可讓多項式（8.3.1）的項數趨于無窮而構成冪級數 （8.3.4）冪級數（8.3.4）稱為函數的泰勒級數定理8.設函數在點的某一鄰域內具有各階導數，則在該鄰域內能展開成泰勒級數的充分必要條件是的泰勒公式中的余項當時的極限為零.即（）在（8.3.4）式中，若，可得（8.3.5）級數（8.3.5）稱為函數的麥克勞林級數函數的麥克勞林級數是的冪級數，若能展開成的冪級數，則展開式是唯一的，就是的麥克勞林級數2.2函數展開成冪級數直接展開法利用麥克勞林公式將展開成的冪級數，其步驟如下：求出的各階導數，如果在處的某階導數不存在，則不能展開成冪級數；求出函數及其各階導數在處的值：，；寫出函數的冪級數并求出收斂半徑；考察時，余項的極限（在與之間）是否為零.如果為零，則級數（8.3.6）收斂，且和函數就是即如果極限