1、五年級數(shù)學思維訓練 五年級數(shù)學思維訓練第一講：分解質因數(shù) 每個合數(shù)都可以由幾個質數(shù)相乘得到，例如：15=35、4=22、24=2223像這樣把一個合數(shù)寫成幾個質數(shù)相乘的形式，叫做分解質因數(shù)。其中3和5就被稱為是15的質因數(shù)。怎樣快速的找出一個合數(shù)的質因數(shù)呢？【例題】28可以寫成哪幾個質數(shù)相乘的形式？【解題策略】方法一：用圓圈來表示分解的過程： 師：為什么第一次分出的4沒有畫圈呢？方法二：用短除法師：為了簡便，通常用短除法來分解質因數(shù)。2介紹步驟：第一步：先用一個能整除這個合數(shù)的質數(shù)(通常從最小的開始)去除；第二步：看上一步除得的商，如果商是合數(shù)，就照上面的方法繼續(xù)除下去，直到得出的商是質數(shù)為止

2、；第三步：把各個除數(shù)和最后的商寫成連乘形式。【練一練】1、用短除法將18、21、60進行分解質因數(shù)。2、期末考試后，小明問小紅的數(shù)學考了多少分。小紅說：我這次的數(shù)學成績考了班級前三名，而且我的成績分數(shù)、名次數(shù)和我的年齡數(shù)三者的成績?yōu)?940。你能正確推算出小紅數(shù)學成績嗎？第二講：組合圖形求表面積 生活中有許多物體都是由規(guī)則的長方體、正方體等立體圖形拼組而成的，這種拼組的物品，可衍生出許多的數(shù)學問題。如一個正方體或長方體每切開一次，就會增加兩個切面。所以解決類似問題時，要注意增加或減少的是哪兩個面，問題就會變得簡單【例題】一個棱長為9厘米的正方體，如果把它鋸成棱長為3厘米的小正方體，表面積增加了

3、多少？【解題策略】把棱長為9厘米的正方體鋸成棱長為3厘米的小正方體，可以按上圖的線鋸6次，每鋸一次就增加99=81（平方厘米）的大面，鋸6次共增加了81 26=972（平方厘米），所以鋸后增加的面積為972平方厘米。【練一練】1、一個棱長為16厘米的正方體，如果把它鋸成棱長為4厘米的小正方體，表面積增加了多少？2、把一個棱長為1分米的正方體木塊，如果把它鋸成體積相等的8個小正方體，表面積增加多少平方分米？3、小紅把8塊棱長為1分米的小正方體堆成一個大正方體，這個大正方體的表面積比所有的小正方體表面積之和少多少平方厘米？第三講：“曹沖稱象”的應用 同學們，大家一定還記得“曹沖稱象”的故事，一定很

4、佩服故事中曹沖的聰明能干，其實我們生活中有很多類似這樣的問題，如要求一個不規(guī)則物體的體積就可以運用“曹聰稱象”的原理來解決，不信你試試看！【例題】在一個長8分米，寬4分米的長方體金魚缸里裝有5分米深的水。如果將一個棱長為2分米的正方體鐵塊沉浸在水中（水沒有溢出），這時魚缸里的水深多少分米？【解題策略】若把鐵塊沉浸在水中后，它在水中占了8立方分米的空間。因此，金魚缸里的水上升的體積也是8立方分米，用這個體積除以魚缸的底面積（84）就能得到水上升的高度，從而也就得出后來魚缸中水的深度。 222=8（立方分米） 8（84）=0.25（分米） 5+0.25=5.25（分米）答：魚缸中的水深5.25分米

5、。【練一練】1、一個長方體容器，從厘米量長8分米，寬6分米，高9分米。現(xiàn)在里面注有5分米深的水，如果將一個棱長為3分米的正方體零件沉浸在水中，水面上升了多少分米？2、小紅家有個小魚缸，長5分米，寬4分米，水深2分米。她把一小塊假山石沉浸水中后，水面上升了0.4分米。這塊假山石的體積是多少立方分米？3、小明從棱長為4分米的容器水底，取出一個長2分米，寬1分米，高2分米鐵塊，這時水面下降了多少分米？第四講 分數(shù)的意義和性質(一)【例題】 分子、分母的乘積是420的最簡真分數(shù)有多少個？【解題策略】把420分解因數(shù)，得到42014202210314041055846707601042123515282

6、0213014。其中，兩個因數(shù)互質的有1420，3140，4105，584，760，1235，1528，2021。用這些因數(shù)作分子和分母，可以組成8個最簡真分數(shù)，分別是、。 【例題】 學校體操隊有 20 名同學, 其中女生占 , 男生有多少人?【解題策略】女生占 , 是把全隊 20 人看作單位“1”, 平均分成 5 份, 女生占了其中的 3 份, 剩下的 2 份是男生, 所以, 男生的人數(shù)是 205(53)8 (人)【練一練】 (1) 一個帶分數(shù), 分數(shù)部分是真分數(shù)，分子是 4, 把它化成假分數(shù)后, 分子是 19, 這個帶分數(shù)是()。 (2) 一個分數(shù), 添上一個分數(shù)單位等于 1, 去掉一個分

7、數(shù)單位等于, 這個分數(shù)是( )。(3)從3、5、7、9、11、15這六個自然數(shù)中取出兩個數(shù)，分別作分子和分母，可以組成( )個最簡真分數(shù)。3. 五一班有 45 人, 喜歡美術的占 , 喜歡音樂的占 , 喜歡體育的占 。那么：(1)喜歡美術的有多少人？第五講 最小公倍數(shù)與最大公因數(shù)【例題】 傳說古時候有一位將軍, 統(tǒng)帥了一支五千多人的隊伍。隊伍操練時遇到了一個讓將軍頭疼的問題：無論 2 人一排，還是 3人、4人以至10 人一排, 最后一排總是少 1 人。你知道這支隊伍有多少人嗎?【解題策略】不妨和將軍開個玩笑, 讓他也站到隊伍里, 這樣一來, 因為增加了 1個人, 所以按上面的排法每次都能排成整

8、排。可見增加1人以后的人數(shù)是 2、3、4、10的公倍數(shù)。怎樣求這個的公倍數(shù)呢? 因為 6、9、8、10 分別是2、3、4、5的倍數(shù), 問題簡化為求 6、7、8、9、10 的公倍數(shù)；又因為 7、8、9 的最小公倍數(shù)是 789504, 問題簡化為求 6、10、504 的公倍數(shù)；又因為 504 是 6 的倍數(shù), 問題最后簡化為求 504 與 10 的公倍數(shù)。504 與 10 的公倍數(shù)有：2520、5040、7560根據(jù)已知條件, 取 5040, 504015039, 就是要求的數(shù)。所以這支隊伍有 5039人。答：這支隊伍有 5039人。 【例題】 有 336 個蘋果、252 個橘子、210 個梨,

9、用這些果品最多可以分成多少份同樣的禮物? 每份禮物中三種水果各多少個? 【解題策略】首先從“同樣的禮物”想到, 三種水果必需分成相同的份數(shù)；其次, 從“最多可以分成多少份”想到, 所分的份數(shù)要盡可能多。把二者聯(lián)系起來,要求的“最多的份數(shù)”就是 336、252、210 這三個數(shù)的最大公因數(shù)。因為幾個數(shù)的最大公因數(shù)一定是這幾個數(shù)的差的因數(shù)(為什么?) 所以, 這三個數(shù)的最大公因數(shù), 可以從比較接近的兩個數(shù) 252 與 210 的差 42 中求得。42 不是這三個數(shù)的公因數(shù), 42 的一半 21 是這三個數(shù)的公因數(shù), 也就是最大公因數(shù)。所以最多可以分成 21 份同樣的禮物。每份禮物中有蘋果 3362

10、116(個), 橘子 2522112(個)，梨 2102110(個)。答：用這些果品最多可以分成 21 份同樣的禮物。每份禮物中有 16個蘋果, 12 個橘子，10 個梨。【練一練】1. 一籃雞蛋大約 200 多個。2 個 2 個地數(shù), 3 個 3 個地數(shù), 4 個 4個地數(shù), 5 個 5個地數(shù), 總是多 1 個, 這籃雞蛋有多少個？ 2. 有一堆蘋果, 3 個 3 個地數(shù), 剩 2 個；5 個 5 個地數(shù), 剩 4 個；7 個 7 個地數(shù), 剩 6 個。這堆蘋果至少有多少個？第六講分數(shù)加減法 分數(shù)加減法有許多趣味題, 這些趣味題既引人入勝又發(fā)人深思。 【例題】 在 9 的里分別填入 1、2、

11、3、4、5、6、7、8 八個數(shù)字, 組成兩個帶分數(shù), 并且使等式成立。 【解題策略】帶分數(shù)是由整數(shù)和分數(shù)兩部分組成的，題中兩個帶分數(shù)的差是整數(shù)，說明這兩個帶分數(shù)的分數(shù)部分相等，而整數(shù)部分相差9。用上面 8 個數(shù)字中的 4 個數(shù)字組成兩個相等的分數(shù), 有 、取 ，再用剩下的數(shù)字4、5、7、8組成兩個差是 9 的兩位數(shù), 于是得到 57489，完全滿足題目的要求。 你還能想到其它的解嗎? 【例題】 計算 1。 【解題策略】按照常規(guī)要先通分, 可是, 觀察發(fā)現(xiàn), 算式中的前一個數(shù)總是后一個加數(shù)的2倍, 也就是說, 算式的含意實際上是每次去掉前一個數(shù)的一半，所以，最后去掉的和剩下的同樣多。最后去掉的數(shù)

12、是，所以，算式的得數(shù)就是。由此得到的經驗是：做題要針對題目特點采取靈活方法, 不要墨守成規(guī)。練 習 十 三1把1、2、3、4、5、6六個數(shù)分別填入下式的里，使等式成立。102. 在、中，哪幾個分數(shù)的和等于 1？3. 在、這幾個分數(shù)中，最大的分數(shù)減去最小的分數(shù), 差是多少?第七講分數(shù)的意義和性質(二) 【例題】 比較下面各組分數(shù)的大小。 (1) 與 (2) 與 (3) 與 【解題策略】(1) 與。因為通分時的分子、分母要乘 19, 的分子、分母要乘 7, 再比較分子的大小, 因此只需讓兩分數(shù)的分子和分母交叉相乘, 對所得的積進行比較。 因為 31987, 所以 。 (2) 與。這兩個分數(shù)都與 1

13、 很接近, 可以比較它們與 1 的差, 差越小分數(shù)越大。 1, 1, 因為 , 所以 。 (3) 與。這兩個分數(shù)都在 左右,可以間接比較它們的大小。 因為 , , 所以 。 【練一練】1. 填空。 (1) 1, 方框中能填的自然數(shù)有( )。(2) ，方框中能填的自然數(shù)有( )。 2. 在里填上“”、“”、“”。 (1) (2) (3) (4) 3. 用 1、2、3、4、5、6、7、8、9 這九個數(shù)中的任意兩個數(shù)作分子和分母的真分數(shù)中： (1) 最大的是多少？(2) 最小的是多少？(3) 相等的有哪些？第八講 長方體和正方體的體積 【例題】 一個長方體, 如果長減少 1cm 就變成正方體, 同時

14、表面積減少 24 cm2, 這個長方體的體積是多少立方厘米?【解題策略】從已知條件可以想到：這個長方體的長比寬多 1cm, 高和寬相等；表面積所減少的 24cm2, 包括 4 個同樣大的長方形, 每個長方形寬 1cm, 長就是長方體的寬。所以, 長方體的寬是 24416(cm)，體積是 (61)66252(cm3)。答：這個長方體的體積是 252cm。 例 2 一個長方體, 前面的面積是 12cm2, 上面的面積是 8cm2, 左面的面積是 6cm2, 它的體積是多少立方厘米? 解法一：因為已知的三個面的面積, 分別等于長高、長寬、寬高, 并且這三個積都是整數(shù), 不妨假設這個長方體的長、寬、高

15、都是整厘米數(shù)。很容易想到 1234, 842，623。觀察這三個積的因數(shù), 發(fā)現(xiàn) 3、4、2 恰好各出現(xiàn)兩次, 于是可以斷定, 這個長方體的長是 4cm, 寬是3cm, 高是 2cm。所以, 體積是 43224(cm3)。 解法二：因為, 已知的三個面的面積分別是長高、長寬、寬高的結果, 所以, 如果把已知的三個積乘起來, 就會得到：(長高)(長寬)(寬高)(長寬高)(長寬高)體積體積，因為 12862424，所以長方體的體積是 24cm3。答：它的體積是24 cm3。【練一練】1. 一個長方體木塊, 從上面截去一個高 5cm 的長方體后, 變成了一個正方體, 同時表面積減少了 120cm2,

16、 原來長方體的體積是多少立方厘米？2 一個正方體被切成 24 個小長方體如圖，這些小長方體的表面積的總和是 162cm2。這個正方體原來的表面積是多少平方厘米？第九講 長方體和正方體的表面積 【例題】 一個長方體形狀的鐵皮無蓋水桶, 底面是邊長 0.25m的正方形, 高 0.4m。做一對這樣的水桶, 至少要用鐵皮多少平方米? 【解題策略】水桶的表面積由側面和一個底面組成, 所以, 做一對這樣的水桶至少要用鐵皮 (0.2540.40.25)20.925(m2)。 答：做一對這樣的水桶至少要用 0.925 m2鐵皮【例題】有個模型，是用一個棱長 4cm 的正方體，在它的一個面上挖去一個棱長 1 厘米的正方體而做成的，這個模型的表面積是多少平方厘米？【解題策略】原來正方體的表面積是 44696(cm)，挖去一個小正方體后，表面積增加了 4cm，所以，這個模型的表面積是 964100(cm)。答：這個模型的表面積是 120cm。【練一練】