1、壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-03均衡純保費(fèi)均衡純保費(fèi) 第三章第三章 均衡純保費(fèi)均衡純保費(fèi) 3.1 均衡純保費(fèi)計算的平衡原理均衡純保費(fèi)計算的平衡原理 3.1.1 人壽保險模型的種類人壽保險模型的種類 完全離散凈均衡保費(fèi) 死亡年末給付 離散繳費(fèi) 半連續(xù)凈均衡保費(fèi) 死亡即刻給付 離散繳費(fèi) 完全連續(xù)凈均衡保費(fèi) 死亡即刻給付 連續(xù)繳費(fèi) 人壽保險以生存年金給付的方式 分期繳付的均衡純保費(fèi)。 壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-03均衡純保費(fèi)均衡純保費(fèi) 3.1.1 純保險的計算原理 純保費(fèi)厘定原則平衡原則： 保險人的潛在虧損均值為零。 L=給付金現(xiàn)值-純保費(fèi)現(xiàn)值 E（L）=0 E（給付金現(xiàn)值）=E（已交純保費(fèi)現(xiàn)值） 凈

2、均衡保費(fèi)與躉繳純保費(fèi)的關(guān)系 E（躉繳純保費(fèi)現(xiàn)值）=E（凈均衡保費(fèi)現(xiàn)值） 壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-03均衡純保費(fèi)均衡純保費(fèi) 3.2 全離散式壽險模型的年繳純保費(fèi) 條件：（x）死亡年末給付1單位終身人壽保險，被保險人從保 單生效起按年期初繳費(fèi)。（給付離散，繳費(fèi)也離散） 3.2.1 終身壽險 系按年終身繳費(fèi),死亡受益金在被保險人死亡的年度末支付. 厘定過程： 對于(x) 歲的人,保險金額為1,年繳純保費(fèi)為 即如果在k時死亡,需給付1單位賠費(fèi)，現(xiàn)值為： 已繳保費(fèi)現(xiàn)值為： 22 222 2 1 (2) ( )00 1 () (3)( )(1) () () xxxx xxxx xxxx xxx xx x

3、 AMdAda E LAPaP aNAa PAA Var LAA dda x P 1 1 (1) ,K0,1,2, K x K LvPa 1K v 1 x K Pa 壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-03均衡純保費(fèi)均衡純保費(fèi) 壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-03均衡純保費(fèi)均衡純保費(fèi) 例子例子 例 3.2.1 設(shè) . 其中 i=6% ,試求: 和 Var(L) . 解: 故: 1 | 0 0.4 k xkx k Avq 1 | (0.96),0,1,2, k kx qck 0.04 0.96 c x P 1 x x A a d 0.037736 x x x A P a 22(1) | 0 0.2445 k x

4、kx k Avq 22 2 () ( )0.2347 () xx x AA Var L da 壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-03均衡純保費(fèi)均衡純保費(fèi) （2）限期繳清終身壽險）限期繳清終身壽險 定義：指在規(guī)定的年限內(nèi)，按年繳費(fèi)直至被保險人死亡， 或者繳清期限屆滿時停止。 年繳純保費(fèi) 保險人的損失及年繳純保費(fèi)分別為 hx P ： 1 1 1 : (0 1 21) () K hx K K hx h xx hx xx h x h vPaKh L vPaKh AM aNN P ， ， , 壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-03均衡純保費(fèi)均衡純保費(fèi) 壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-03均衡純保費(fèi)均衡純保費(fèi) 壽險精算數(shù)學(xué)壽險

5、精算數(shù)學(xué)-03均衡純保費(fèi)均衡純保費(fèi) 例例 3.2.4解答解答 例 3.2.4 解: (3) 即 這里 示例生命表 因 且 是k的減函數(shù)，取 h=42,則 x l 1 11 111 1 111 1111 1 11 11 1 1 Pr ()0Pr10000Pr10000 1 Pr(1)10000Pr(1)10000) PrPr(1)lnln() (1)10000)(1)10000) Pr1ln( (1)10000 K KK K KKK K v Lvav v vvvvv vKv vv K v 1 11 )/ln Prln()/ln1 )(1)10000) vKv v 年齡357778 94206.5

6、545281.8145303.60 0.51250.4809/ xkx ll 4235 Pr(42)10.5Kp 1 ()L Pr0.5Kh 1 1 ln 1 , b= ln(1)10000 b h vv 壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-03均衡純保費(fèi)均衡純保費(fèi) 例例 3.2.4解解 解： 43 4343 1 1 10000 10000(1)/(1)50.12 K v vvv a 1 Pr ()00.5L 43 1 43 Pr100000.5va 壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-03均衡純保費(fèi)均衡純保費(fèi) 1 11 K xxxx x PPPP E LE vA dddd 壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-03均衡純保

7、費(fèi)均衡純保費(fèi) （3）躉繳純保費(fèi)終身壽險）躉繳純保費(fèi)終身壽險 躉繳純保費(fèi)終身壽險，是在簽單時一次將保費(fèi)繳清的終 身壽險，為限期繳清的特殊情形 壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-03均衡純保費(fèi)均衡純保費(fèi) 3.2.2 定期壽險定期壽險 x歲的人,簽發(fā)n年定期壽險，保險金額為個單位的年繳純保費(fèi)(均衡 純保險)為，則 或 例3.2.5 設(shè)年齡為25歲的人，購買15年定期壽險，保險金為1000元， 試求其自然純保費(fèi)與年繳純保費(fèi)(即均衡純保費(fèi))。 解 1 : xx n x n xx n MM P NN 1 :x n P 1 1 : : : x n x n x n A P a 1 2540 25:15 2540 10

8、000.85 MM P NN 11 :1 1 : (0 1 21) 0() K x nK x nn vP aKn L P aKn ， ， 壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-03均衡純保費(fèi)均衡純保費(fèi) 3.2.3 定期壽險定期壽險 x歲的人,簽發(fā)保險金額為個單位的n年儲蓄（兩全） 壽險，年繳純保費(fèi)(均衡純保險)為，則其損失為： 例3.2.5 設(shè)20歲限期繳費(fèi)的30年儲蓄壽險，于25歲時，簽發(fā)， 保險金額為1000元，試求其年繳純保費(fèi)。 解： : xx nx n x n xx n MMD P NN :x n P : : : x n x n x n A P a 1 :1 : (K=0,1,2,n-1) (Kn

9、) K x nK n x nn vP a L vP a 25:30255555 25:30 2555 25:30 0.85 A MMD P aNN 壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-03均衡純保費(fèi)均衡純保費(fèi) 常見險種的完全離散凈均衡保費(fèi)總結(jié)常見險種的完全離散凈均衡保費(fèi)總結(jié) 1 : : () xxx mm mx m PaAaa 險種保費(fèi)公式 終身人壽保險 n年定期壽險 n年兩全保險 h年繳費(fèi)終身人壽保險 h年繳費(fèi)n年兩全保險 n年生存保險 m年遞延終身生存保險 xxxxx NMaAP )()( 11 nxxnxx nxnxnx NNMMaAP ： )()( nxxnxnxx nxnxnx NNDMMaA

10、P ： )( hxxx hx xxh NNMaAP ： )( 11 nxxnx nx nxnx NNDaAP ： ： )()( : 1 :mxxmxmx mx mxmxxm NNNDaaAaP )()( hxxnxnxx hxnxnx h NNDMMaAP ： 壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-03均衡純保費(fèi)均衡純保費(fèi) 3.3 全連續(xù)式壽險模型的年繳純保費(fèi) 條件：（x）死亡即刻給付1單位的終身人壽保險，被保險人從 保單生效起按年連續(xù)交付保費(fèi)。（給付連續(xù)，繳費(fèi)也連續(xù)） 厘定過程： 222 22 222 2 (1) ( )() (2) ( )0()0 () (3)( )(1)(1) () () () ()

11、 ( 1 1 ) T x T xx xxxx xx T xx xxxx xx xx xx xx Ll TvP A a AM E LAP A aP A aN PPP Var LVa Aa A r vAA aAAA A a a A a 壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-03均衡純保費(fèi)均衡純保費(fèi) 例子例子 例3.3.2 假設(shè)死力 是常值,利力 .試計算年繳 純保費(fèi) 與保險損失L 的方差Var(L). 解: 故 0.040.06 () x P A 00 exp( 0.04 )exp( 0.06 )10 t x tx avp dttt dt 00 0.04exp( 0.04 )exp( 0.06 )0.4 t

12、x txx t Avpdttt dt 2 2 00 0.04exp( 0.04 )exp( 2 0.06 )0.25 t x txx t Avpdttt dt 0.4 ()0.04 10 x x x A P A a 2 22 22 ()0.250.4 ( )0.25 (1 0.4)(1) xx x AA Var L A 壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-03均衡純保費(fèi)均衡純保費(fèi) 3.3.2 其他壽險模型的年繳純保費(fèi)公式 全連續(xù)保險模型的一般情形.假設(shè)其年繳純保費(fèi)為 ,則保險損 失L可表示為: 其中, 與 分別是給付函數(shù)與現(xiàn)值函數(shù); 利用平衡原理得 按照以上步驟,可導(dǎo)出全連續(xù)保險模型一此常見的年繳純保費(fèi)

13、公 式 ( )()( )0 tt E LE bvPE Y tt LbvPYZPY t v t b () ( ) tt E bv P E Y P 壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-03均衡純保費(fèi)均衡純保費(fèi) 常見險種的完全連續(xù)凈均衡保費(fèi)總結(jié)常見險種的完全連續(xù)凈均衡保費(fèi)總結(jié) 險種保費(fèi)公式 終身人壽保險 n年定期壽險 n年兩全保險 h年繳費(fèi)終身人壽保險 h年繳費(fèi)n年兩全保險 n年生存保險 m年遞延終身生存保險 () xxx P AAa 11 () x nx nx n P AAa ： () x nx nx n P AAa ： () xxh x h P AAa ： 11 : () x nx nx n P AAa

14、： 1 : : () xxx mm mx m PaAaa () h x nx nx h P AAa ： 壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-03均衡純保費(fèi)均衡純保費(fèi) 3.3.3 在死亡均勻分布條件下年繳純保費(fèi)的計算公式 h年繳費(fèi)終身人壽保險下年繳純保費(fèi) 在死亡均勻分布條件下 從而有 : : ( )( )(1) x h hx x h aaE : () x hx x h A P A a x x i AA : () ( )( )(1) (3.3.8) ( )()( )() x hx hx x h x xx hxx h Ai P A aE Mi NNDD 壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-03均衡純保費(fèi)均衡純保費(fèi) 死亡

15、均勻分布條件下年繳純保費(fèi)的計算公式 其中， ， 。 在式3.3.8 中，令 ，則得 類似地，在死亡均勻分布條件下有 : () x hx x h A P A a h : () ( )()( )() (3.3.10) ( )()( )() xx n x n xx nxx n x xx nxx n MMi P A NNDD D NNDD 2 ( )/ id 2 ( )()/ i () (3.3.9) ( )( ) x x xx Mi P A ND 壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-03均衡純保費(fèi)均衡純保費(fèi) : () ( )()( )() (3.3.11) ( )()( )() xx n h x n xx h

16、xx h x xx hxx h MMi P A NNDD D NNDD 壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-03均衡純保費(fèi)均衡純保費(fèi) 3.4 半連續(xù)式壽險模型的年繳純保費(fèi) 3.4.1 終身壽險的年繳純保費(fèi) 條件：（x）死亡即刻給付1單位的終身人壽保險，被保險人從 保單生效起按年交付保費(fèi)。（給付連續(xù)，繳費(fèi)不連續(xù)） 厘定過程： 在UDD 假設(shè)條件下: 1 222 (1) ( )() (2) ( )0()0 () (3)( )(1) () t x k xx xxxx xx xx Ll TvP A a AM E LAP A aP A aN P Var LAA ， x x i AA () x xx x Aii P

17、 AP a 壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-03均衡純保費(fèi)均衡純保費(fèi) 3.4.2 其他其他壽險模式的年繳純保費(fèi)公式壽險模式的年繳純保費(fèi)公式 類似地可推出其他壽險模式的年繳純保費(fèi)公式。常見險種的半 連續(xù)凈均衡保費(fèi)總結(jié) 險種保費(fèi)公式 終身人壽保險 n年定期壽險 n年兩全保險 h年繳費(fèi)終身人壽保險 h年繳費(fèi)n年兩全保險 n年生存保險 m年遞延終身生存保險 () xxx P AAa 11 () x nx nx n P AAa ： () x nx nx n P AAa ： () xxh x h P AAa ： 11 : () x nx nx n P AAa ： )()( : 1 :mxxmxmx mx mxm

18、xxm NNNDaaAaP () h x nx nx h P AAa ： 壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-03均衡純保費(fèi)均衡純保費(fèi) 2其他壽險模式的年繳純保費(fèi)公式其他壽險模式的年繳純保費(fèi)公式 利用平衡原理，可以得到： 在UDD假設(shè)下，則有： 其中， 表示保險金額為1個單位的限期h年繳清的n年期生存保險 的年繳純保費(fèi)。 1 1 : : : : : : ()() ()() x nx n x nx n x nx n xx n hxh x n x hx h AA P AP A aa A A P AP A aa 1 1111 11 ()() ()() x n x nx nx nx nx n x n hxhxh

19、hh x nx nx n i A ii P APP APP a ii P APP APP ： ： ： ： 1 : h xn P 壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-03均衡純保費(fèi)均衡純保費(fèi) 例子例子 例3.4.1 設(shè)年齡為25歲者，購買保險金額為1000元的半連續(xù)式 壽險保單，年利率 i=6% . 試在UDD 假設(shè)條件下，計算下列各 保單的年繳純保費(fèi)。 (1) 普通終身壽險 (2) 35年定期壽險 (3) 35年兩全保險 (4) 35年限期繳費(fèi)終身壽險。 解： 1.0297088 i ln(1)ln(1 0.06)0.0582689i6%i 25 25 25 0.0041026 M P N 1 2560

20、 25:35 2560 0.0017743 MM P NN 25 3525 2560 0.0044655 M P NN 1 60 25:35 2560 0.0076976 D P NN 壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-03均衡純保費(fèi)均衡純保費(fèi) 例例3.4.1解續(xù)解續(xù) 試在UDD 假設(shè)條件下， (1) 普通終身壽險 (2) 35年定期壽險 (3) 35年儲蓄壽險 (4) 35年限期繳費(fèi)終身壽險。 25 25 1000 ()10004.23 i PP AP 1 1 25:35 25:35 1000 ()10001.83 i PP AP 1 1 25:35 25:3525:35 1000 ()1000 1

21、000(1.0297088)(0.0017743)0.00769769.5 3 i PP APP 3525 3525 1000 ()1000 1000(1.0297088)(0.0044655)4.60 i PPAP 壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-03均衡純保費(fèi)均衡純保費(fèi) 3.5 每年分m次繳付的年繳純保費(fèi) 3.5.1 分期繳付的計算方法 條件：如在每個保單內(nèi),保費(fèi)分m次繳付,并且死亡受益不作調(diào)整, 那么其年保費(fèi)稱為真正分?jǐn)?shù)保費(fèi)。對于1單位死亡末賠付的終身 人壽保險,每年m次分期繳付的年保費(fèi)記作 ,稱為真正均衡年 保費(fèi).注意,每次繳付的數(shù)額為 .符號 則是死亡即刻 賠付終身人壽保險的真正凈均衡年保

22、費(fèi). 厘定過程： ()m x P () / m x Pm()( ) m xPA )()1 ()() 3( )( 0)(0)()2( )()(1 222 )( )( )( )()()( )( 1 )( xx m m m x x x mm xx m x m k x mt AA d P LVar a A APaAPALE aAPvTlL ）（ 壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-03均衡純保費(fèi)均衡純保費(fèi) 3.5.2 每年分每年分m次繳付的年繳純保費(fèi)的計算公式次繳付的年繳純保費(fèi)的計算公式 下面每年真實分m次繳付的年繳純保費(fèi)的一般計算公式 壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-03均衡純保費(fèi)均衡純保費(fèi) 3.5.2 每年真實分

23、每年真實分m次繳付的年繳純保費(fèi)的計算公式次繳付的年繳純保費(fèi)的計算公式 年繳m次年純保費(fèi)（限期繳費(fèi)） 壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-03均衡純保費(fèi)均衡純保費(fèi) 例子例子 例3.5.1 年齡為50歲者，購買一張保險金額為10000元的20年普通儲蓄 壽險的保單，每年真實繳付保費(fèi)兩次(即半年期真實繳付)。試?yán)脫Q 算函數(shù)表和年利率i=6%,并在UDD 假設(shè)條件下，計算： (1) 全離散式的年繳純保費(fèi)； (2) 半連續(xù)式的年繳純保費(fèi)。 例3.5.2 現(xiàn)年為40歲者，簽發(fā)一張保險金額為5000元的全離散式的25 年的定期壽險保單，試?yán)脫Q算函數(shù)表,并在UDD 假設(shè)條件下，計算： (1) 普通年繳純保費(fèi)； (2

24、) 季繳純保費(fèi)。 (3) 月繳純保費(fèi)。 例3.5.3 年齡為40歲者，購買一張保險金額為50000元的壽險保單，試 利用換算函數(shù)表的數(shù)值,以及年利率i=6%,并在UDD 假設(shè)條件下，計 算下列保單的月繳純保費(fèi)： (1) 全離散式普通終身壽險； (2) 半連續(xù)式的65歲繳清的終身壽險； (3)全離散式的65歲滿期的普通兩全保險。 例3.5.4 設(shè) ，且 ，試計算 。 1 (m) :20 1 :20 1.032 x x P P :20 0.040 x P (m) :20 x P 壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-03均衡純保費(fèi)均衡純保費(fèi) 例子解答例子解答 例3.5.1解 0.056603774 1 i d

25、 i ln(1)0.0582689i 1 2 (2) 2(1)10.059126028ii 1 2 (2) 21 (1)0.05742875 di (2)(2) (2)1.00021218 id id (2) (2)(2) (2)0.2573908 ii id 5070 50:20 50 11.458 NN a D 70 2050 50 0.242211 D E D 1 5070 50:20 50 0.109218 MM A D 507070 50:20 50 0.351429 MMD A D (2) 50:2050:20 (2)(2)11.203135aa 壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-03均衡

26、純保費(fèi)均衡純保費(fèi) 例子解答例子解答 例3.5.1解續(xù) 故全離散式真實分兩次繳付的年繳純保費(fèi)為 半連續(xù)真實分兩次繳付的年繳純保費(fèi)為 (2) 50:20 (2)50:20 50:20 1000010000313.69 A P a 1 (2)(2) 50:2050:20 2050 50:20 10000()10000()/ i PAAEa 壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-03均衡純保費(fèi)均衡純保費(fèi) 例子解答例子解答 例3.5.2解 (1) 普通年繳純保費(fèi)為 (2) 故季繳繳純保費(fèi)為 (3) 故月繳繳純保費(fèi)為 1 4065 40:25 4065 500022.93 MM P NN 1 1(4) 40:25 (

27、4)40:25 40:25 5000500023.47 A P a 1(4) 40:25 5000 5.87 4 P P 1 1(12) 40:25 (12)40:25 40:25 5000500023.47 A P a 1(12) 40:25 5000 1.97 12 P P 壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-03均衡純保費(fèi)均衡純保費(fèi) 例子解答例子解答 例3.5.3解 (1) 故普通終身壽險的月繳純保費(fèi)為 (2) 故半連續(xù)式的65歲繳清的終身壽險月繳純保費(fèi)為 (3) 65歲滿期的兩全壽險的月繳純保費(fèi)為 20 (12) 20 5000 13.73 12 A P a 20 20 20 0.0535558

28、 M A D (12) 4520 20:4520:45 (12)(12)(1)15.66694aaE (12) 20 4520 (12) 20:45 0.003419 A P a (12) 20 500014.67 12 i PP 20:45 (12) 20:45 23.55 12 A P a 壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-03均衡純保費(fèi)均衡純保費(fèi) 例子解答例子解答 例3.5.4解 因 故 且有 所以 1() :20:20 ()1 :20:20 1.032 m xx m xx aP aP 1 1(m) :20 ():20 :20 x mx x A P a 1 1 :20 :20 :20 x x x

29、 A P a ()() :20:20:20:20 () :20:20:20:20 / 1.032 / mm xxxx m xxxx PAaa PAaa () :20 ():20:20 :20 (0.040)(1.032)0.04128 m x mxx x a PP a 壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-03均衡純保費(fèi)均衡純保費(fèi) 補(bǔ)充例子補(bǔ)充例子 補(bǔ)充例1 30 歲的人購買完全離散的10 年定期保險，若死亡在10 年 內(nèi)發(fā)生，則在死亡年末給付額為1 個單位；若被保險人在10 年末仍 生 存 ， 則 所 有 的 保 費(fèi) 都 將 退 還 （ 不 含 利 息 ） ， 已 知 , ，d = 0.05 ，計算該保

30、險的均衡純保費(fèi)為 （ ）。 (A) 0.031 (B) 0.035 (C) 0.039 (D) 0.041 (E) 0.045 解: 設(shè)該保險的均衡純保費(fèi)為P , 則 故 應(yīng)選擇 ( C ) 30:10 0.6 A 1 30:10 0.47 A 1 1 30:1030:1030:10 10 P aAAP 11 30:1030:1030:10 (10) PaAA 11 30:10 30:1030:10 1 (10) A PAA d 1 0.6 (10 0.43)0.13 0.5 P 0.13 =0.039 3.3 P 壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-03均衡純保費(fèi)均衡純保費(fèi) 補(bǔ)充例子補(bǔ)充例子 補(bǔ)充例2

31、 關(guān)于(x) 的完全連續(xù)終身壽險保單， 保險人的損失 變量記為 ，剩余壽命T(x) 的概率密度函數(shù)為 ，利率力 = 0.05，那么保險人面臨正 損失的概率為（ ）。 (A) 0.47 (B) 0.48 C) 0.49 D) 0.50 E) 0.51 解:保險人面臨正損失的概率即 故 應(yīng)選擇 ( E ) 100010 T TLva 2 ( ), 0t50 2500 T t ft Pr(0)Pr(1000100) 11 Pr(1000100)Pr(1000100) 0.05 1 Pr(510)Pr() 6 1ln6 Pr( lnln( )Pr() 6 T T TT TT TTT Lva vv vv

32、 vvv TvT 35.8352 ( ) 0 35.8352 2 35.8352 0 0 Pr(0)Pr(35.8352) 2 0.51 25002500 T t LTfdt tt dt 壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-03均衡純保費(fèi)均衡純保費(fèi) 3.6 比例保費(fèi) 比例純保費(fèi) 年繳m次的比例純保費(fèi)指被保險人在保單年度中途發(fā)生死亡 事故，保險人將返還被保險人每次繳納保費(fèi)的一定比例。這些 年繳m次的的凈均衡年保費(fèi)符號與半連續(xù)式的真實分期保費(fèi)符 號相似，不過把上標(biāo)m放在花括號內(nèi)，如 。 以h年繳費(fèi)n年期兩全保費(fèi)為例。 厘定過程： 由 可得: ( ) m x PA ( ) m x PA : : : () (3

33、.6.1) m x n h mx n x h A PA a : (): m x h mx h aa d () : : () : ()=() (3.6.2) ( /) m m x n h h x nx n m x h A d PAP A da 壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-03均衡純保費(fèi)均衡純保費(fèi) 比例保費(fèi) 變形得： 特別是，當(dāng)m=1 時，有 式(3.6.3) 與(3.6.4)表明：比例保費(fèi)等價于按利息貼現(xiàn) 至每一繳費(fèi)周期之初的完全連續(xù)式壽險保費(fèi)。對其他 種類保費(fèi)也有類似的公式。例如，令 ,式 (3.6.4)成為 一般而言， 是退款受益的每年分 m次繳費(fèi)的年均衡純保費(fèi)。 1/ 1/ : 11 ()(

34、)() (3.6.3) m m hhm h x nx nx n v PAP AP Aa m 1 1 : ()() (3.6.4)h h x nx n PAP Aa ,h n 1 1()() (3.6.5) xx PAP A a () ( )() m m xx PAPA 壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-03均衡純保費(fèi)均衡純保費(fèi) 3.7 累積增額受益 本節(jié)研究受益金額的累積增額問題 (受益金是死亡年度末支付) 假設(shè)(x) 的n年人壽保險,其受益保險金額當(dāng)死亡發(fā)生時,在第 k+1年時為 ,這個受益保單在保單簽發(fā)時的現(xiàn)值隨機(jī)變 量為 其中,保險人的現(xiàn)值按利率 i, 是與利率j等價的(銀行)貼現(xiàn)率, 根據(jù)平衡

35、原理,躉繳純保費(fèi)為 其中, 按利率 計算. 因為 1111 1 j ( ) 1 (1) (0Kn) 0 (Kn) KKKK K j vsvjv d W 1 kj s 11 : ( ) (3.7.1) x nx n j AA E W d : (): m x h mx h aa d 1111 11 1 11 (1)() 1(1)/(1) 11 11 KKKK KK ij j j vj iij i 1 : x n A ()/(1) iijj ( ) j d 壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-03均衡純保費(fèi)均衡純保費(fèi) 累積增額受益 如 i = j , 則 ,則躉繳純保費(fèi)化為 公式(3.7.2)表明,當(dāng)j=i

36、時,除非(x) 生存滿 n 年,上述特殊定 期保險等價于一個n年期初生存年金. 例3.7.1 考慮(x) 的保險金額為5000元的20年定期保險,當(dāng) (x) 在20 內(nèi)死亡時,除保險金5000元外,同時還加上退還年 繳純保費(fèi)積累值(注:書中有誤),受益在死亡年末支付,按 以下兩種情況分別導(dǎo)出年繳純保費(fèi)公式: (1) 退還的年繳純保費(fèi)不計利息; (2) 退還的年繳純保費(fèi)按計算保費(fèi)時相同的利息累積. 1 : : : 1 =- =- (3.7.2) n nxnxnx x nx n nx x nn nx x nn qApAvp ap a dd aE s 0 i 壽險精算數(shù)學(xué)壽險精算數(shù)學(xué)-03均衡純保費(fèi)均衡純保費(fèi) 例例3.7.1解答解答: 解:(1) 損失函數(shù)為: 根