1、2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 選修4-5 不等式選講 第二節(jié) 不等式的證明學(xué)案2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 選修4-5 不等式選講 第二節(jié) 不等式的證明學(xué)案年級：姓名：第二節(jié)不等式的證明【知識重溫】一、必記2個知識點1比較法比較法是證明不等式最基本的方法，可分為作差比較法和作商比較法兩種名稱作差比較法作商比較法理論依據(jù)abab0abab0，1abb1ab適用類型適用于具有多項式特征的不等式證明主要適用于積、商、冪、對數(shù)、根式形式的不等式證明證明步驟作差變形判斷符號得出結(jié)論作商變形判斷與1的大小關(guān)系得出結(jié)論2綜合法和分析法(1)綜合法一般地，從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過一系列的

2、推理，論證而得出命題成立，這種證明方法叫做綜合法綜合法又叫順推證法或由因?qū)Ч?2)分析法證明命題時，從要證的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實(定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等)，從而得出要證的命題成立，這種證明方法叫做分析法，這是一種執(zhí)果索因的思考和證明方法二、必明2個易誤點1用分析法證明不等式一定要注意格式規(guī)范2運用放縮法證明不等式的關(guān)鍵是放大(或縮小)要適當用綜合法、分析法證明不等式互動講練型例12020全國卷設(shè)a，b，cr，abc0，abc1.(1)證明：abbcca0；(2)用maxa，b，c表示a，b，c的最大值，證明：maxa，b，

3、c .悟技法用綜合法證明不等式是“由因?qū)Ч保梅治龇ㄗC明不等式是“執(zhí)果索因”，它們是兩種思路截然相反的證明方法綜合法往往是分析法的逆過程，表述簡單、 條理清楚，所以在實際應(yīng)用時，往往用分析法找思路，用綜合法寫步驟，由此可見，分析法與綜合法相互轉(zhuǎn)化，互相滲透，互為前提，充分利用這一辯證關(guān)系，可以增加解題思路，開闊視野.變式練(著眼于舉一反三)1設(shè)不等式|x1|x1|2的解集為a.(1)求集合a；(2)若a，b，ca，求證：1.考點二反證法證明不等式互動講練型例2若x，y都是正實數(shù)，且xy2，求證：2和2中至少有一個成立悟技法利用反證法證明問題的一般步驟(1)否定原結(jié)論；(2)從假設(shè)出發(fā)，導(dǎo)出矛

4、盾；(3)證明原命題正確.變式練(著眼于舉一反三)2已知abc0，abbcca0，abc0，求證：a，b，c0.考點三放縮法證明不等式互動講練型例3若a，br，求證：.悟技法在不等式的證明中，“放”和“縮”是常用的推證技巧，常見的放縮變換有：(1)變換分式的分子和分母，如，.上面不等式中kn*，k1.(2)利用函數(shù)的單調(diào)性(3)真分數(shù)性質(zhì)“若0ab，m0，則”注意：在用放縮法證明不等式時，“放”和“縮”均需把握一個度.變式練(著眼于舉一反三)3設(shè)n是正整數(shù)，求證：1.第二節(jié)不等式的證明課堂考點突破考點一例1解析：(1)由題設(shè)可知，a，b，c均不為零，所以abbcca(abc)2(a2b2c2)

5、(a2b2c2)0.(2)不妨設(shè)maxa，b，ca，因為abc1，a(bc)，所以a0，b0，c0.由bc，可得abc，故a ，所以maxa，b，c .變式練1解析：(1)由已知，令f(x)|x1|x1|由|f(x)|2得1x1，即ax|1x1(2)要證1，只需證|1abc|abc|，只需證1a2b2c2a2b2c2，只需證1a2b2c2(1a2b2)，只需證(1a2b2)(1c2)0，由a，b，ca，得1ab1，c21，所以(1a2b2)(1c2)0恒成立，綜上，1.考點二例2證明：假設(shè)2和2都不成立，則有2和2同時成立因為x0且y0，所以1x2y，且1y2x.兩式相加，得2xy2x2y，所以xy2.這與已知條件xy2矛盾，因此2和2中至少有一個成立變式練2證明：(1)設(shè)a0，因為abc0，所以bc0.又由abc0，則bca0，所以abbccaa(bc)bc0，與題設(shè)矛盾(2)若a0，則與abc0矛盾，所以必有a0.同理可證：b0，c0.綜上可證a，b，c0.考點三例3證明：當|