1、八上培優5-半角模型八上培優5 半角模型方法：截長補短圖形中，往往出現90。套45的情況，或者 120套60的情況。還有2套 的情況。求證的結 論一般是線段的和與差。解決的方法是：截長補短 構造全等三角形。旋轉移位造全等，翻折分割構全 等。截長法，補短法。勤學早和新觀察均有專題。勤學早在第49頁，新觀察在第34頁，新觀察培優也有涉及，在第 27頁 2兩個例題，29頁有習題。這些題大同小異，只是 圖形略有變化而已。證明過程一般要證明兩次全下面是新觀察第34頁14題1如圖，四邊形 ABCD 中，Z A= Z C=90，Z D=60 ,AB=BC ,E、F，分別在 AD、CD 上，且 Z EBF=6

2、0 .求證：EF=AE+CF .2. 如圖2,在上題中，若E、F分別在AD、DC的 延長線上，其余條件不變，求證： AE=EF+CFACB=120 形 ABCDE,CA=CB=4, ZAE=3, BF=2,求五邊BBB=90 ，Z ECF=60 ， 的面積.4如圖1 在四邊形ABCD中.AB=AD , Z B+ ZD=180, E、F分別是邊BC、CD上的點，且ZBAD=2 / EAF .(1) 求證：EF=BE+DF ;(2) 在(1)問中，若將 AEF繞點A逆時針旋轉, 當點E、F分別運動到BC、CD延長線上時，如圖 2所示，試探究EF、BE、DF之間的數量關系.E1國23. 如圖3,在四

3、邊形 ABDC中，/ B+ Z C=180, DB=DC , Z BDC=120 ，以 D 為頂點作一個 60 的角，角的兩邊分別交 AB、AC于E、F兩點，連 接EF，探索線段BE、CF、EF之間的數量關系， 并加以證明.勤學早第40頁試題1. (1 )女口圖，已知 AB= AC, ZBAC=90 , Z MAN=45 ,過點 C 作 NC 丄AC 交AN于點N,過點B作BM垂直AB交AM于點M , 當Z MAN在Z BAC內部時，求證：BM+CN =MN;證明:延長MB到點G，使BG=CN,連接AG，證 ABGACN(SAS), AN=AG, Z BAG= ,Z NAC. L I Z GA

4、M= Z GAB + Z BAM= Z CAN+ Z BAM=45 = L Z MAN,證厶 AMN 旦厶 AMG(SAS), MN= MG= BM + BG= BM 十 NC.證明二：(此證明方法見新觀察培優第 27頁例3)如圖，在(1)的條件下，當AM和AN在AB兩側 時，(1)的結論是否成立？請說明理由.My/FNNAC AC解:不成立，結論是:MN=CN 一 BM, 證明略.基本模型二120套602. 如圖， ABC 中,CA=CB, / ACB=120 ,E 為 AB 上一點，/ DCE=60 ,Z DAE= 120 , 求證:DE=BECBF證明:（補短法涎長EB至點F使BF=AD

5、,連接CF,則厶 CBF CAD , CED CEF,.DE- AD=EF- BF= BE.3. 如圖, ABC 中,CA=CB, / ACB=120。，點 E 為 AB 上一點，/ DCE= / DAE= 60 , 求證:AD+DE= BE.CEFEB證明：（截長法）在BE上截取BF=AD,連接CF ,易證 CBFCAD , CED 也 ACEF, DE= EF, AD+DE= BF+EF=BE.比較：新觀察培優版27頁例4如 圖， ABC是邊長為1的等邊三角形， BDC是頂角，/ BDC= 120的等腰三角形，以 D為頂點作一個60角，角的兩邊分別交AB、AC 于M、N,連結MN,試求 A

6、MN的周長.A分析:由于/ MDN=60 ，/ BDC=120。，所以/BDM十/ CDN=60 ，注意到DB=DC，考慮運用“旋轉法”將/ BDM和/ CDN移到一起，尋找全 等三角形。另一方面, AMN 的周長 AM+AN +MN= AB+ AC+MN-BM- CN.猜想 MN= BM+CN,證三角形全等解決.新觀察培優68頁 例5如圖，點A、B(2,0)在x 軸上原點兩側，C在y軸正半軸上，OC平分/ ACB.(1) 求A點坐標；如圖1, AQ在/ CAB內部，P是AQ上一點， 滿足/ ACB= Z AQB, AP=BQ.試判斷 CPQ 的形 狀，并予以證明；如圖2. BD丄BC交y軸負

7、半軸于D. Z BDO=60 , F為線段AC上一動點，E在CB延長 線上，滿足Z CFD+ Z E=180 .當F在AC上移動 時，結論：CE+CF值不變；CE- CF值不變， 其中只有一個正確結論，請選出正確結論并求其值.xG分析:(1)由 Z A0C BOC 得 AO= BO=2, A(- 2,0).(2) 由厶 ACPBCQ 得 CP=CQ.(3) 由BD丄BC, Z BDO=60。，可證得等邊厶 ABC.由角平分線和DB_丄BC的條件，運用對稱性知DA 丄AC,連結DA,加上條件/ CFD+ / E=180,可 證得 ADF BDE,于是 CE+CF=2AC= 2AB= 8.基本模型

8、三 2 。套。4. (1)如圖 1,在四邊形 ABCD 中，AB=AD, Z B+ Z D=180 , E,F 分別是 BC,CD 上的點，且Z EAF=: Z BAD,求證:EF= BE+ DF;如圖2,在 (1)的條件下，若將 AEF繞點A逆時針 旋轉，當點E,F分別運動到BC,CD延長線上時，則EF,BE,DF之間的數量關系是 EF=BE- DFGE解:(1)EF=BE+DF,延長 FD 到點 G，使 DG=BE,連 接AG,證厶 ABE ADG (SAS), . AE = AG,Z BAE= Z DAG , v/ EAF =丄 Z BAD, Z GAF= Z DAG+ Z DAF= Z

9、 BAE+ Z DAF= ZBAD- Z EAF= Z EAF, aZ EAF= Z GAF,證厶 AEF 旦厶 GAF(SAS),. a EF= FG, / FG=DG+ DF=BE+ DF , a EF=BE +DF;(2)EF=BE DF .外地試題：4. 探究：如圖，點 E、F分別在正方形 ABCD 的邊BC、CD上，/ EAF=45 ,連結EF，求證： EF=BE+DF .應用：如圖，在四邊形 ABCD中，點E、F分別在 BC、CD 上，AB=AD，/ B+ / D=90 , Z EAF=； / BAD ，若 EF=3, BE=2，貝V DF=.5. 通過類比聯想、引申拓展研究典型題

10、目，可達 到解一題知一類的目的.下面是一個案例，請補充 完整.原題：如圖1,點E、F分別在正方形ABCD的邊 BC、CD 上，/ EAF=45 ,連接 EF，求證： EF=BE+DF .(1) 思路梳理 AB=AD，二把 ABE繞點A逆時針旋轉90至 ADG，可使 AB與AD重合. / ADG= / B=90 , / FDG= / ADG+ /ADC=180。，則點 F、D、G 共線.根據, 易證 AFG也，從而得EF=BE+DF ;類比引申如圖 2,四邊形 ABCD 中，AB=AD，/ BAD=90 點E、F分別在邊 BC、CD上，/ EAF=45。若 / B、/ D都不是直角，但當/ B與

11、/ D滿足等量 關系時，仍有EF=BE+DF，請給出證明；(3)聯想拓展如圖 3，在厶ABC 中，/ BAC=90 ，AB=AC，點 D、E均在邊BC上，且/ DAE=45 ，猜想BD、 DE、EC應滿足的等量關系，并寫出推理過程.7. (1)如圖1,在四邊形ABCD中，AB=AD，/ B= Z D=90 , E、F分別是邊BC、CD上的點，且 AE=AF，Z EAF= ； Z BAD .現有三種添加輔助線 的方式：延長EB至G,使BG=BE，連接AG ;延長FD至G，使DG=BE，連接AG ;過點A 作AG丄EF，垂足為G;選擇其中一種方法添加輔 助線，求證：EF=BE+FD ;(2) 如圖

12、2,在四邊形 ABCD中，AB=AD，若Z B+ Z D=180 ，Z EAF=-2 Z BAD，證明(1)中結 論是否還成立？(3) 如圖3,在四邊形 ABCD中，AB=AD，Z B+ Z ADC=180 , E、F分別是邊BC、CD延長線上 的點，且Z EAF= 2 Z BAD , (1)中的結論是否仍然 成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之 間的數量關系，并證明.8 (1)如圖1,在四邊形ABCD中，AB=AD ,/ B= / D=90 , E、F分別是邊BC、CD上的點，且 Z EAF= 1 Z BAD .求證：EF=BE+FD .2(2) 如圖2,在四邊形 ABCD中，AB=

13、AD , Z B+Z D=180, E、F分別是邊BC、CD上的點，且 Z EAF=1 Z BAD , (1)中的結論是否仍然成立？若 成立，請證明；若不成立，請寫出線段 EF、BE、 FD它們之間的數量關系，并證明.(3) 如圖3,在四邊形 ABCD中，AB=AD , Z B+ Z ADC=180 , E、F分別是邊BC、CD延長線上 的點，且Z EAF= 2 Z BAD , (1)中的結論是否仍然 成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出線段EF、 BE、FD它們之間的數量關系，并證明.半角模型問題放到平面直角坐標系中是什么樣子？1.如圖1,在平面直角坐標系中， AOB為等腰-20 -(1)

14、 求B點坐標；(2) 如圖2,若C為x正半軸上一動點，以AC為 直角邊作等腰直角 ACD，/ ACD=90 ，連接 OD，求/ AOD的度數；(3) 如圖3,過點A作y軸的垂線交y軸于E，F 為x軸負半軸上一點，G在EF的延長線上，以EG 為直角邊作等腰Rt EGH，過A作x軸垂線交EH 于點M ,連FM ,等式AM=FM+OF是否成立？若 成立，請說明；若不成立，說明理由.解：(1)如圖所示，作 AOB為等腰直角三 角形，且AE丄OB ,二 OE=EB=4, 0B=8, B (8, 0);(2)如圖所示，作AE 丄OB于E, DF丄OB于F, ACD為等腰直角三 角形，AC=DC ,/ACD

15、=90 即/ACF+/DCF=90 ,/FDC+/DCF=90 ,/ ACF= / FDC , 又/ DFC= /AEC=90 , DFC也 CEA(AAS), EC=DF=4 , FC=AE , A (4, 4), AE=OE=4 , FC=OE , 即OF+EF=CE+EF , OF=CE , OF=DF ,/ DOF=45 , AOB為等腰直角三 角形，/ AOB=45 , / AOD= / AOB+ /DOF=90 ;/? 0Eb i0B s(3)AM=FM+OF成立， 理由：如圖所示，在AM上截取AN=OF，連EN .ZAEN+Z A (4, 4)，OEM=45 . AE=OE=4，

16、又/ AEO=90 ，又 I Z EAN= Z Z NEM=45 = ZEOF=90 ，AN=OF，FEM， EAN也 EOF又 EM=EM，(SAS)， NEM 也 FEM Z OEF= Z AEN，(SAS)，EF=EN， MN=MF，又 EGH為等腰直角 三角形，AM-MF=AM-MN=AN ，Z GEH=45。，即Z AM-MF=OF，OEF+ Z OEM=45 , 即 AM=FM+OF ;【點評】本題考查三角形綜合題、全等三角形的判 定、等腰三角形的性質和坐標與圖形性質的綜合應 用，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等I三角形解決問題，屬于中考?？碱}型.2如圖，直線L交x軸、y軸

17、分別于A、B兩點,A (a，0) B (0，b )，且(a-b) 2+|b-4|=0(1) 求A、B兩點坐標；（2）C為線段AB上一點，C點的橫坐標是3, P 是y軸正半軸上一點，且滿足/ OCP=45。，求P 點坐標；（3）在（2）的條件下，過B作BD丄0C,交0C、 0A分別于F、D兩點，E為0A上一點，且/ CEA= Z BDO，試判斷線段0D與AE的數量關系，并說 明理由. A (4, 0)，B (0, 4);(2)-# -3.如圖，已知A (a, b), AB丄y軸于B,且滿足|a-2|+ (b-2) 2=0,(1) 求A點坐標；(2) 如圖1,分別以AB , AO為邊作等邊三角形

18、ABC和厶AOD，試判定線段AC和DC的數量關 系和位置關系，并說明理由；(3) 如圖2,過A作AE丄x軸于E,點F、G分 別為線段OE、AE上兩個動點，滿足/ FBG=45 ,求其2017-2018江漢期中 如圖點P為厶ABC勺外角/BCD的平分線上一點，PA=PB(1) 求證：/ PACK PBC(2) 作 PEI BC于 E, 若 AC=5 BC=11 求 SA PCESA PBE(3) 若M N分別是邊AC BC上的點，且/ MPN=/ APB則線段AM MN BN之間有何數量關系，并/ PAC= / PBC,作PE丄BC于E, PF丄AC 于 F,IAA圍1、 PC平分/ DCB ,

19、解：(1)如圖1,過點P PE=PF,在 Rt PAF 和 Rt PEB 中，PF = PE PE 丄 BC , CP 是/BCD的平分線， PE=PF , / PCF= /PA= PB,PCE , Rt PAF Rt PEB, I PC=PC ,-28 -t PEB,AF=BE ,AF=AC+CF PCFPCE , CFCE ,由(1)知，Rt PAF 也RE=BC-CE , AC+CF=BC-CE , 5+CF=11-CE ,CE=CF=3 , PFCPEC , S PFC厶 pec ,Rt PAF Rt PEB, PAF = Sa PEB , S PCE :S PBE=S PFC :S

20、PFA2CF X PF: 2aC X PFCF : AC=3 : (3+5) =3:8(3)如圖3,在BC上截取BQAM ,在厶PMA和厶PQB中，PA= PBPAM= PBQMA= BQ, PMA BA PQB ,PMPQ ,/MPAQPB, / APM+ / QPA /APQ+ / QPB,即：/ APB / MPQ , / MPN鬥 / APB， / MPN丄 / MPQ ,/ MPN / QPN , 在厶MPN和厶QPC中，PN= PNMPN = QPNMP= QP, MPN BA QPC , MNQN , BNAM+MN .【點評】此題是三角形綜合題，主要考查了全 等三角形的判定和性

21、 質，角平分線定理和角 平分線的定義，解（1） 的關鍵是判斷出PE=PF，解（2）的關鍵是求出CE=CF=3，解（3）的關鍵是構造全等 三角形判斷出/ APB= Z MPQ，是一道中等難 度的中考常考題.2015-2016江岸八上期末已知在 ABC中， AB=AC，射線BM、BN在Z ABC內部，分別交線 段AC于點G、H .I.（1）如圖 1,若Z ABC=60 、Z MBN=30。，作 AE丄BN于點D，分別交BC、BM于點E、F.（2）如圖2,點E為BC上一點，AE交BM于點求證：CE=AG ;若BF=2AF，連寸接 CF，求Z CFE的度數；ABC為等邊三角形，根據等邊三角形的性質得到

22、/ BAC= Z ACB=60 , AB=CA ,求得/ BFD= Z AFG=60 ，推出 Z EAC= Z GBA 證得 GBA EAC ,根據全等三角形的性質即可得到結論；如 圖1,取BF的中點K連接AK，由BF=2AF，推出 FAK是等腰三角形，根據等腰三角形的性質得到 Z FAK= Z FKA ,求得 z akf = ； z bfd = 30,根據全等三 角形的性質得到 AG=CE , BG=AE , Z AGB= Z AEC ,推出 GAK EFC ,根據全等三角形的性 質得到Z CFE= Z AKF即可得到結論；(2)如圖2,在BF上取BK=AF，連接AK ,推出 Z EAC= Z FBA ,根據全等三角形的性質得到 Sabk=S acf, Z AKB= Z AFC，證得 FAK是等腰三角形， 根據等腰三角形的性質得到 AF=FK，即可得到結 論.【解答】解：(1)I AD J-BN ,ZAB=AC ,Z ABC=60 MBN=30 ABC為等邊三角ZBFD=Z形