1、中考幾何中“線段和的最值”問題的教學(xué)策略的研究、問題產(chǎn)生的背景在初四總復(fù)習(xí)中，我們在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)有一類求線段和差極值的題目，學(xué)生常常找不到解題的突破口，教學(xué)難度及學(xué)生掌握難度較大。口：(中考數(shù)學(xué)選)如圖，已知直線y=1x21 2+ 1與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)D，拋物線y=丄x + bx+ c與直線交于A、E兩點(diǎn)，與2x軸交于B、C兩點(diǎn)，且B點(diǎn)坐標(biāo)為(1, 0).(1)求該拋物線的解析式；(3)在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)M ,問題的第三問常令許多同學(xué)甚至是優(yōu)等生的同學(xué)都瞠目結(jié)舌。綜觀近幾年的數(shù)學(xué)中考 題，此類題頻頻出現(xiàn)在選擇、填空、綜合題中。通過平日測試來看，此類題的失分很高，應(yīng) 該引起我們的重

2、視。二、造成學(xué)生對問題困惑的原因我們一起研究分析后， 發(fā)現(xiàn)幾何極值問題在教課書雖然沒有專題講解，但卻給出了它的模型。學(xué)生對幾何極值模型的陌生，及教師在復(fù)習(xí)時(shí)對教材例習(xí)題的拓展延伸程度不夠，是導(dǎo)致學(xué)生對這類問題困惑的根本原因。課本中的例題與習(xí)題，都是通過篩選的題目的精華，在解題的思路和方法上具有典型性 和代表性，在由知識轉(zhuǎn)化為能力的過程中具有示范性和啟發(fā)性.它們的解題方法和結(jié)論本身都具有廣泛遷移的可能.現(xiàn)實(shí)教學(xué)過程中，教師對教材例題、習(xí)題開發(fā)的意識不強(qiáng)，在備課中不能對例題、習(xí)題進(jìn)行深層次的挖掘、拓展、再創(chuàng)造，在授課時(shí)也往往出現(xiàn)一筆帶過、草草了事的教學(xué)現(xiàn)狀，根本沒有很好的利用例題、習(xí)題的所潛在的價(jià)

3、值，而教材例題、習(xí)題的開發(fā)能促使學(xué)生的學(xué)習(xí)方式由 重結(jié)論輕過程”向 過程與結(jié)果”并重的方向發(fā)展，使學(xué)生挖掘隱含問題的本質(zhì)屬性，從而達(dá)到 做一題，通一類，會一片 ”的解題境界正如數(shù)學(xué)教育家波利亞指出的：“個(gè)有責(zé)任性的教師窮于應(yīng)付繁瑣的數(shù)學(xué)內(nèi)容和過量的題目，還不如適當(dāng)選擇某些有意義但有不太復(fù)雜的題目去幫助學(xué)生發(fā)掘題目的各個(gè)方面，在指導(dǎo)學(xué)生的解題過程中， 提高他們的才智和解題能力.三、問題前后知識的聯(lián)系：課本題目再現(xiàn):魯教版七年級教材第一冊第一章第三節(jié)第軸對稱的性質(zhì)15頁試一試:如圖所示，要在公路帝修建一個(gè)蔬菜收購站，由蔬菜基地 應(yīng)建在什么地方，才能使從 A,B到它的距離之各最短?A , B向收購站

4、運(yùn)送蔬菜，收購站本題涉及的知識不是一個(gè)簡單的軸對稱變換，其變化過程實(shí)際是求一類幾何極值的過程，此題模式是求幾何幾何的典型模式。本題的解答是：作出點(diǎn)A的軸對稱點(diǎn)A1，連接A1B交直線I于點(diǎn)E，則點(diǎn)E為所求 的奶站位置。利用這一題例的結(jié)論，可以解決一些同根異形關(guān)聯(lián)題。此題的結(jié)論廣泛應(yīng)用于三角形、四邊形及函數(shù)中幾何極值的求解。 復(fù)習(xí)時(shí)遇到這類題目，可以引起我們很多的聯(lián)想，比如：這個(gè)模型成立的條件和依據(jù)是什么？涉及到哪些知識點(diǎn)？應(yīng)用了怎樣的數(shù)學(xué)思想和方法？求和的最大值這樣求，那么差的極值是什么情況？求幾何極值都有那幾類問題？初中涉及到求解幾何極值都有那些依據(jù)？有那些常見的圖形？有那些 常見的方法？用函

5、數(shù)知識能否解答？進(jìn)而思考在初中數(shù)學(xué)中極值情況有哪些方法？幾何有極值問題又會讓我們想起幾何定值問題，那么定值問題又如何去研究？有無規(guī)律？此問題有那些變式？都可以怎樣變？ 一個(gè)一個(gè)的數(shù)學(xué)問題可以引領(lǐng)我們進(jìn)入一個(gè)讓我們極為興奮的數(shù) 學(xué)王國中去，把所學(xué)的知識連成線，連成串，讓我們?nèi)ジ惺軘?shù)學(xué)的精彩繽紛的魅力。四、解決本問題的設(shè)想：引領(lǐng)學(xué)生建立模型，通過對模型的熟練應(yīng)用，適當(dāng)?shù)膶υ?型進(jìn)行拓展的延伸，建立更完整的知識體系，達(dá)到解決問題的目的。三、解決問題的策略（一）引領(lǐng)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并”解決”實(shí)際問題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)手

6、段。用模型分析實(shí)際事物，鍛煉我們的創(chuàng)新能力,建立的模型是分析事物的很好的方法，在教學(xué)中我們可以選擇適當(dāng)?shù)慕ｎ}，引導(dǎo)學(xué)生通過討論、分析和研究，熟悉并理解數(shù)學(xué)模型。1、模型一A、理論依據(jù)：兩點(diǎn)之間，線段最短B、用途：求兩條線段和的最小值當(dāng)P運(yùn)動到E時(shí)，PA + PB最小課本原型：如圖所示，要在街道旁修建一個(gè)奶站，向居民區(qū)A、B提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，才能使從 A、B到它的距離之和最短?本題的解答是：作出點(diǎn)A的軸對稱點(diǎn)A1 ,連接A1B交直線I于點(diǎn)E,則點(diǎn)E為所求的奶站位置。 利用這一題例的結(jié)論，可以解決一些同根異形關(guān)聯(lián)題。把模型一時(shí)行拓展延伸，不難會得到如下新模型：2、模型A、理論依據(jù)：

7、三角形兩邊之差小于第三邊B、用途：求兩條線段差的最大值當(dāng)Q運(yùn)動到F時(shí)，（QD QC ）最大、引領(lǐng)學(xué)生應(yīng)用模型1、引領(lǐng)解題例：在對拋物線的稱軸上存在一點(diǎn)P, PBC的周長最小，請求出點(diǎn) P的坐標(biāo).使得V-A要求 PBC的周長最小，只要 PB+ PC最小就好了!AC=j22 +32 =713第二步：轉(zhuǎn)化圖形，進(jìn)行計(jì)算把PB+ PC轉(zhuǎn)化為PA+ PC !當(dāng)P運(yùn)動到H時(shí)，PA+ PC最小2、反思解題方法：此類試題往往以角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圓、 坐標(biāo)軸、拋物線等為背景，但都有一個(gè)“軸對稱性”的圖形共同點(diǎn)，解題時(shí)只有從變化的背 景中提取出“建奶站問題”的數(shù)學(xué)模型 ，再通過找定直線的對稱點(diǎn)

8、把同側(cè)線段和轉(zhuǎn)換為異 側(cè)線段和或差，實(shí)現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直”即可解決。有時(shí)問題是求三角形周長或四邊形周長的最 小值，一般此時(shí)會含有定長的線段，依然可以轉(zhuǎn)化為“建奶站問題”。3、變換模型應(yīng)用的場景：【關(guān)聯(lián)題1】應(yīng)用于三角形中（2011湖北黃石市中考題）如圖4，在等腰ABC 中，/ ABC=120 ，點(diǎn)P是底邊AC上一個(gè)動點(diǎn)，M、N分別是AB、BC的中點(diǎn)，若PM+PN 的最小值為2，則ABC的周長是（）rn+i析解：把等腰ABC沿AC翻折可得一菱形，由上面【關(guān)聯(lián)題1】的解答可知，PM+PN 的最小值就是菱形的邊 AB的長，故 AB=2，由AB=BC=2 ，/ ABC=120 易求得，因 此ABC的周長是

9、（）。【關(guān)聯(lián)題2】應(yīng)用于四邊形中（2009湖北荊門市中考題）如圖2，菱形ABCD的兩條對角線分別長 6和8，點(diǎn)P是對角線 AC上的一個(gè)動點(diǎn)，點(diǎn) M、N分別是邊AB、BC的 中點(diǎn)，貝U PM+PN 的最小值是 .【關(guān)聯(lián)題3】應(yīng)用于圓中（2010 樂山市中考題）如圖3 ,MN 是O O的直徑，MN=2 , 點(diǎn) A在O 0 上，/ AMN=30 , B 為弧 AN 的中點(diǎn)，P是直徑 MN上一動點(diǎn)，則 PA+PB 的最小值為（）1【J. 2析解：連結(jié) 0A，由/ AMN=30 得/ AON=60 ，取點(diǎn)B關(guān)于 MN 的對稱點(diǎn) B /,中國教育文(1)求反比例函數(shù)的解析式;,AB /交MN于庫:www.

10、china-連結(jié) OB /、AB /AB /的長為PA+PB 的最小值，且易知/AOB / =90 ,即為等腰Rt，故聯(lián)題4】應(yīng)用于函數(shù)中的圖象與反比例函數(shù)如圖，正比例函數(shù)過點(diǎn)作.軸的垂線，垂足為國，已知_的面積為1.(2)如果-為反比例函數(shù)在第一象限圖象上的點(diǎn)(點(diǎn) J與點(diǎn)不重合)，且 J點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,在.軸上求一點(diǎn)，使-上，最小.(威海市2009 年中考題) 如圖5，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A, B , C的坐標(biāo)分別為(-1 , 0 ),( 3 , 0 ),( 0 , 3 )，過A, B, C三點(diǎn)的拋物線的對稱軸為直線 I, D為對稱軸上 l 一動點(diǎn)，(1)求拋物線的解析式；(2)求當(dāng)AD+CD

11、 最小時(shí)點(diǎn) D的坐標(biāo)；(3)以點(diǎn)A為圓心，以AD為半徑作O A，證明：當(dāng)AD+CD 最小時(shí)，直線BD與 OA相切。寫出直線BD與O A相切時(shí)，D點(diǎn)的另一個(gè)坐標(biāo)。析解：(1)可設(shè)y=a(x+1)(x-3)，再代入點(diǎn) C坐標(biāo)，即可求得 y=-x2+2x+3。(2)利用點(diǎn)A、B關(guān)于直線I: x=1 對稱，連結(jié)BC交I于D，則此時(shí)AD+CD 取 得最小值；設(shè)I與x軸交點(diǎn)為 E,由BED s BOC可求得DE=2 , BD=2 姨2 =AD，所以D的坐標(biāo)為(1 , 2)。(3)如圖6,連結(jié)AD，由點(diǎn)A、B、D、E的坐標(biāo)易知ADE 和BDE 均為等腰 Rt，故/ ADE= / BDE=45 所以由對稱性知

12、點(diǎn) D 的另一個(gè)坐標(biāo)是/ ADB=90 ，所以直線BD與O A相切。(1-2 )。【關(guān)聯(lián)題5】應(yīng)用于實(shí)際問題（2011濟(jì)寧市）去冬今春，濟(jì)寧市遭遇了200年不遇的大旱，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為了解決抗旱問題，要在某河道建一座水泵站，分別向河的同一側(cè)張村 A和李村B送水。經(jīng)實(shí)地勘查后，工程人員設(shè)計(jì)圖紙時(shí)，以河道上的大橋0為坐標(biāo)原點(diǎn)，以河道所在的直線為 x軸建立直角坐標(biāo) 系（如圖）。兩村的坐標(biāo)分別為 A（ 2，3），B（ 12，7）。（1）、若從節(jié)約經(jīng)費(fèi)考慮，水泵站建在距離大橋0多遠(yuǎn)的地方可使所用輸水管道最短？在x軸、y軸上是否分別存在點(diǎn)M、N,使得四邊形 MNFE的周長最小？如果存在，求出周長的最小值；如果不存在，請說明理由八、平行性練習(xí)題：1、（ 2010年濱州市）如圖，等邊 ABC的邊長為6，AD 是邊BC上的中線，M是AD上的動點(diǎn)，E是邊AC上的一茅2題圖點(diǎn)，若AE=2 EM+CM勺最小值為 。2、如圖，菱形ABCD中, / BAD=60, M是AB的中點(diǎn)，P是對角線 AC上的一個(gè)動點(diǎn)，若PM+PB 的最小值是3，貝U AB長為.第1題圖3、如圖，O 0的半徑為2,點(diǎn)A, B, C在O O上，OAL OB,/ AOC=60, P是0B上一動點(diǎn)，PA+PC 的最小值為。第2題圖4在正方形 ABCD中，點(diǎn)E是