1、系統辨識與參數估計課程習題選擇題： 答案唯一，在（ ）內填入正確答案的編號。1. 對于批量最小二乘格式YLLEL ，其最小二乘無偏估計的必要條件是（ ）。T 1 TA輸入序列3訃為“持續激勵”信號B. El與（l l） l正交152.3.4.5.C. El為非白噪聲向量對象模型為ykD.EEL0ek 時，采用遞推最小二乘估計后的殘差序列的計算式為A.C.）。kykkykT?k1 kkT ?kB.D.在上題的條件下，遞推最小二乘算法中的增益矩陣A.Pk 1 k 1C. Pk 1 kB.D.kykk ykKk可以寫成Pk k 1Pk k可以同時得到對象參數和干擾噪聲模型參數的估計算法是（ A. 輔

2、助變量法C. 最小二乘限定記憶法增廣最小二乘估計的關鍵是（A.將控制項增廣進k 中，B.）。B.將輸出項增廣進k 中，C.將噪聲項增廣進k 中，D.并用殘差項取代進行估計并用殘差項取代進行估計并用殘差項取代進行估計D.將噪聲項增廣進k 中，并用輸出項取代進行估計T?k k 1T?k 1 k 1）。）。廣義最小二乘法相關最小二乘兩步法答案： 1. B 2. C 3. D 4. B 5. C判斷題：以O表示正確或x表示錯誤。1估計殘差平方和最小是確定辨識過程對象結構的唯一標準。（ ）2最小二乘估計的批量算法和遞推算法在數學上是等價的。（ ）3廣義最小二乘法就是輔助變量法和增廣最小二乘法交替試用。（

3、 ）4在遞推最小二乘算法中，若置PkP PT 0 ，則該算法也能克服“數據飽和”現象，進而可適用于時變系統。 （ ）5用神經網絡對 SISO 非線性系統辨識，采用的是輸入層和輸出層均為一個神經元的 三層前饋神經元網絡結構。 （ ）答案：1.X 2. O 3. X 4. O 5. X三、設y和X-X2, Xn之間滿足關系y exp（a!x! a?X2anXn），試圖利用y和X1,X2, Xn的觀測值來估計參數 ai,a2, an ,請將該模型化成最小二乘格式。答案：z ln(y) aiXia2X 2TanXn其中，ai,a2, ,anTXi,X2, ,Xn四、對于多輸入單輸出（MISO系統可由下

4、面的模型描述A(z i)yk B(z i)uk i ek其中， uk 為系統的 mX i 維輸入向量； yk 為系統的標量輸出； ek 為標量 i.i.d 隨機噪iiii聲；Z為延遲算子，即z ykyk 1 ； A（Z ）為標量參數多項式，B（z ）為i x m的參數多項式向量：A（z1） 1 a1z1 . anaznaB（z 1） B0 B1z 1 .Bnb z nb請寫出：最小二乘遞推算法公式和計算步驟或流程。答案：根據題意，可寫出最小二乘格式為：ykkek其中，Tkyk 1, yk 2,T T Tyk na;uk 1,uk 2,uk nb 1a1,a2,L ,ana ;B0,B1 ,L

5、,Bnb因此，采用批量最小二乘法估計時，設采集數據時刻為k=1,2,丄，則有批量最小二乘格式為：YlEl其中,yiT1e1Yly2T2Ele2，LyLTLeL從而，批量最小.乘估計公式為：?(T l)1 Tyl遞推最小二乘估計公式為：?k 1 Kk (ykT ? k k1)KkPk 1 kPkPk 1Fk 1 k k Pk 1丄T r，T1k Pk 1 k1k Pk 1 k初始估計：?0，Po2|，2曰是-個充分大的正數。計算流程為:(0)給定？R,k 0；(1)量測yk 1，組成T 1 ；(2)計算Kk 1 ；(3)計算？ 1 ；(4)輸出估計結果，并由誤差限或數據長度 則停止估計；否則，繼

6、續進行。L來確定是否停止估計。若條件滿足,(5)計算Pk 1 ；(6)kk 1，返回到(1 )。五、對于SISO系統的數學模型A(z JykB(z 1)Uk i Vk其中，Uk和yk分別為系統的輸入輸出量，Vk為干擾噪聲，A(z 1)和B(z 1)為參數多項式:A(z1)1n1a1zan z aB(z1)boRz1bnbz nb且nanb，z 1為延遲算子，即z 1yk yk 1。1 對于量測Uk、yk，k 1,2, N，寫出估計系統參數的最小二乘批量算法詳細公 式。2 給出最小二乘法無偏估計的條件并加以證明。答案：3 簡述辨識動態系統數學模型的一般步驟。1由題意可知，采用 L 次測量的批量最

7、小二乘格式可寫為：YNNVN其中，T kyk 1, yk 2,Lyk na;uk1,uk 2,L uk nb 1Ta1,a2,L ,ana;b0,b1 ,L,bnby1T1v1YNy2 ，T2VNv2，NTyNkvN因此，最小二乘批量算法公式為：?(T ) 1NNTNYN2證明：E(?)E ( TNN)1NYNE ( TN N ) 1 TN ( NVN)E( ) E( TNN)1TNVN)vk當( TN N) 1和 TNVN 不相關時，上式第二項為零，最小二乘估計為無偏估計，為零均值獨立隨機序列時，此條件自然滿足。此時，E( ?) E( ) 。3辨識動態系統數學模型的一般步驟為：Step1:

8、確定建模目的，并由工藝和物理 / 化學過程初步確定模型形式和結構；Step2: 試驗設計：包括試驗信號設計、采樣周期選擇、實驗數據長度選定、試驗方式 (離線 / 在線)等；Step3: 實際系統試驗，采集輸入輸出數據，并進行數據的預處理；Step4: 模型結構假設，選定階次范圍；Step5: 選供適用算法進行參數估計，得到一組數學模型；Step6: 模型結構的確定，得到一個數學模型；Step7: 模型檢驗；根據檢驗結果，可能要從 Step2 到 Step6 中的任何一步重新做起。Step8: 若模型檢驗合格， 則得到最終模型。 六、某系統的動態模型為ykayk 1 bu kek，假設：系統是穩

9、定的，且ek和uk都為零均值廣義平穩隨機序列。采用輔助變量法進行參數估計，進行L次量測，且L充分大,試證明:UoUiM MZl Uk 1 UkM MUl i Ul是一個合適的輔助變量矩陣。答案：證明：輔助變量法的計算公式為?v(ZT l)1zTYl(1zT l)z【yl根據題義有TU0LUk 1LUl 1Zl lU1LUkLUlTx,U0LUk 1LUl 1ZlYlU1LukLULY0U0LLMMYi 1ui 1Ui 1Ui 1i 1i 1Yk 1uk 1LLMMYi 1UiUiUi 1i 1i 1Yl 1UL 1Y1LMYiUi 1i 1YkLMYlYiUii 1因Vk、Uk和yk均為是零均

10、值廣義平穩噪聲序列，所以,lim -ZT LL LRyu (0)Ruu (0)RyU( 1)Ruu1Lim :zLylRyu(1)Ryu(0)lim p ?vlimLRyu (0)Ruu(0)1Ryu(1)1Ruu(1)Ruu(0)Ryu(1)Ryu(1)Ruu(1)Ryu(0)Ryu( 1)Ryu(0)Ryu(0)1 Ruu(1)Ryu(1) Ruu(O)Ryu(O)-Ryu(1)Ryu( 1)Ryu(O)式中，Ryu(O) Ruu(1) Ryu( 1)Ruu(。)又相關函數Ryu(1)E 丫從1aRyu (0) bRu (0)Ryu (0)EykukaRyu( 1) bFU1)可得Nim

11、pa? i?1Ruu(1) aRyu(O) bFU(O)Ryu( 1) aRyu(O) bFUO)Ru(O) aRyu( 1) bRuu(1)yu(O) aRyu(1)bFU1)由此可知，Zn矩陣是一個合適的輔助變量矩陣。七、在遞推最小二乘估計中，新息的表達式為yk,k 1 ykT ? k k 1 1.請寫出殘差的表達式 k,k2.證明:k,kk,k 1 /(1k Pk 1 k)答案:1.k,kyk?k2.證明:yk,kykyk,k 1丫心（1yk,k 1 /(1?kk K k yk,k 1k Pk 1k Pk 1yk(?k八、請證明：在遞推最小二乘估計中k/(1k)Kkyk,kk Pk 11

12、(1Kk(ykK)k)PkT?J)證明：在遞推最小二乘估計中Kk% k1 k Pk 1 k，PkPkPk 1k k R 1 k Pk 1 kPk kPk 1 kPk 1RkAkPk 1 k(1RkPk 1 kT Pk 1Kk九、考慮一個SISO閉環系統如圖所示，其中uk和yk分別為前向通道過程輸入和輸出量，6為白噪聲擾動序列，過程參數多項式A(z、B(z 1) C(z 1)和已知的調節器參數多項式P(z 1)、Q(z 1)分別表示為：A(z1)1qz 1.nanaz aB(z1)b。bZ 1.bn z b , na 斑C(z1)11G|ZncACnc zc ,nc1P(z1)11p憶npPnp

13、zQ(z1)q。1qznqqnqZ試證明：過程參數多項式可辨識的條件是使調節器參數多項式的階次滿足np門匕1或nq na 1 d證明：由題義可知過程對象的數學模型為A(z1)yk zdB(z1)Uk C(z1)ek由Wk到y k的閉環系統方程為A(z 1)P(z 1) z dB(z 1)Q(z1)yk z d P(z 1)B(z 1)Wk令snsznsT(z 1) A(z 1)P(z 1) z dB(z 1)Q(z 1) 1 t1z 1tntz nt(8-1)1 d 1 1S(z 1) z dP(z 1)B(z 1) s0 s1z顯然有， nt maxna np, nb nq d ， nt n

14、b nq 則閉環系統方程可以寫為T(z 1 )yk S(z 1)wk d亦可進一步寫成最小二乘格式Tyk k其中，yk 1yk nt ; wk dwk d nst1tnt ; s0sns采用相應的最小二乘類型參數估計算法，可以估計得到。應估計的主要的過程參數多項式 A(z 1)、B(z 1) 的參數個數為 l na nb 1，需要根據已知的調節器參數多項式 P(z 1)、Q(z 1 ) ，用估計得到的 ?，從方程( 3-1 )中解出。方程(3-1 )兩邊 z 1同次冪系數比較即可得到線性方程組，從而解出過程參數的估計 值 A?(z 1)和 B?(z 1 ) ，有唯一解的必要條件為：ntmax

15、na np , nb nq dnanb 1其等價條件為 np nb 1 或 nq na 1 d ，命題得證。十、考慮一個SISO閉環系統如圖所示，其中uk和yk分別為前向通道被控對象的輸入和輸 出量， ek 為白噪聲擾動序列。試討論以下兩種情況的被控對象模型參數的可辨識性 和辨識結果。1控制器為： F(z 1) f0 f1z 1, f0 0, f1 0112控制器為：F(z ) f。和F(z )fi兩個控制器切換，fo fi 0ek0答案:fo yk fiYk-i，nqi,npi ,Ukiii - F(z )fo fiz 時,nq該閉環系統可以辨識。閉環系統方程為:ykai yk ia2yk2bo foYk 2bo fi Yk 3eTCiekkek其中,根據題意,?rYk i,Yk 2,3,4yk 3, q i，iai,2 8 f0a2,3b0 fi,4Ci采用增廣最小二乘法對閉環系統參數進行估計，可得:? , ?2, ?3, ?4從而可以解出前向通道被控系統參數的估計值為:ai?2 b?fo ?2?fo/fi,l?/fi,(?42.由于是兩個不同的控制器切換，故存在閉環系統可辨識性。(I)UkfoYk 時，閉環系統方程為：YkaiYkia2Yk2 bo foYk 2ekTGSkek其中，TkYki, Yk 2 Jek iTi ,2,3,iai,2bo foa2,3