1、立體幾何證明題考點匯編-2020 版28、空間平行證明：注意判定定理和性質定理的應用區別按證明思路歸納如下:線線平行判定定理V性質定理直線與平面平行的判定定理：平面線面平行判定定理面面平行性質定理判定定理：外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直 線與此平面平行。簡記為：線線平行，則線面平 行。符號表示：ailb（線線平疔二線面平行）/（線面平行 面面平行）判定定理：一個平面內的兩條相交直線分別平行于另一個 平面，這兩個平面平行。符號為:allb推論：若一個平面內的兩條相交直線分別平行 與另一個平面內的兩條相交直線，則這兩個平面互相平行。abmn/a b Am n Ballmb/nllbb

2、11 （線面平行 線線平行）性質定理：若兩個平面互相平行，則其中 一個平面內的任何一條直線必平行于另一個 平面。符號記為：性質定理：如果一條直線和一個平面平行,經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行。符號記為allaallc（線面平行線線平行）c其余推論:（1）、如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。（2）、垂直于同一平面的兩直線平行。1、使用判定定理-構造平行四邊形模型1、（荊門市2017屆高三元月調考） 如圖，在正三棱柱 ABC- ABC中，AB 2 ,AA 3 , D, E分別為AG和BB的中點.（I）求證：DE平面ABC2. （2018百校聯考）如

3、圖，在幾何體ABCDEF中，四邊形ABCD為直角梯形， DAB ABC 90o,四邊形EBCF為矩形，且BC 2BE 2AD 2a a 0 , BCD 45, H為BE的中點.I）求證：AH /平面 ECD ;3. 【2017課標II，理19】如圖，四棱錐 P-ABCD中，側面PAD為等比三角形且垂直于底面 ABCD ,1 AB BC AD, BAD ABC 90o, E 是 PD 的中點。（1）證明：直線 CE/ 平面 FAB; 24. 【2017浙江，19】如圖，已知四棱錐 P-BCD , APAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，BC / AD ,CD 丄 AD , PC=AD=2DC=2

4、CB , E 為 PD 的中點.(I)證明：CE/平面PAB;5. (2019 全國 I 理 18)如圖，直四棱柱 ABCD-A iBiCiDi 的底面是菱形，AAi=4, AB=2 ,Z BAD =60 E,M , N分別是BC , BBi , AiD的中點.(1)證明：MN /平面 CiD E ;2、使用判定定理-構造三角形中位線模型1、 如圖，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，AB BB1 , AC1 平面A1BD ,D為的AC中點( 1)求證：EC /平面A BD ;2. 【2014全國2,文18】(本小題滿分12 分)如圖，四棱錐P ABCD中，底面 ABCD為矩形，PA 平面AB

5、CD , E是PD的中點(I)證明：PB 平面AEC ；3. （ 2018廣州二模）如圖，在直三棱柱 ABC ABiG中，M , N分別是ABi和BC的中點.（1）證明：MN /平面 AAiCiC ；4. （ 2018河南省一模）如圖，在三棱臺 ABC - AiBiCi中，D, E分別是AB , ABiC 是等邊三角形， AB=2A iBi, AC=2BC，/ ACB=90 .(1) 證明：BiC /平面 AiDE;(2) 求二面角A - BBi- C的正弦值.5、如圖，四棱錐 P ABCD中，ABCD為矩形， PAD為等腰直角三角形，/ APD=90 ，面PAD丄面ABCD，且AB=i ,

6、AD=2 , E、F分別為 PC和BD的中點.(i)證明：EF/ 面 PAD;6、（荊、荊、襄、宜四地七?？荚嚶撁耸钦叫?，SA底面ABCD , SA20i7屆高三2月聯考）如圖，在四棱錐 S ABCD中，底面ABCDAB 2,點M是SD的中點， AN SC，且交SC于點N .(I )求證：SB/ /平面ACM ;7. 【河北省唐山市2016-2017學年度高三年級摸底考試19】如圖,在直三棱柱 ABC Ai Bi Ci中，點D是BC的中點.（1）求證：AiB /平面 ADCi；8. 【河南許昌平頂山新鄉三市2017屆10月高三第一次調研考試，理 19】（本題滿分12分） 如圖，在四棱錐S A

7、BCD中，底面ABCD是平行四邊形，側面SBC 底面ABCD，已知 DAB 135，BC 2 2，SB SC AB 2，F為線段SB的中點（I）求證：SD/平面CFA ;若 AA AB, A1AAC-且 AB 2A34AA -uuvuiuv(I) 若 CD 2DAuuv ,AEuuv2EB，證明:10. （2019佛山一模文）如圖，在矩形ABCD中， 分別沿AF、BE折起到 ADF、DE /平面AB= 3, AD = 1, E、F分別是 CD邊上的三等分點將 ADF , BCEBCE的位置，且使平面ADF丄底面AB CD,平面BCE丄底面ABCD ,連結DC.（I）證明:DC /平面 ABEF

8、 ;9. （2019湖南百校沖刺聯考）如圖，三棱臺ABC A1B1C1中，側面ABjBA與側面AGCA是全等的梯形，11. （2019江蘇16）如圖，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，D, E分別為BC, AC的中點，AB=BC.求證：(1) A1B1 /平面 DEG ;(2) BE丄 GE.12. （2019天津文17）如圖，在四棱錐P ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，VPCD為等邊三角形,平面 PAC 平面 PCD， PA CD，CD 2， AD 3,（I）設G , H分別為PB , AC的中點，求證:PAD ；（n）求證：PA 平面PCD ；GH /平面13. （2019江西一模

9、）如圖，四棱錐P ABCD中，PA丄底面ABCD，底面ABCD為梯形，AB/DC ,ABC CAD 90 ，且 PA AB BC，點 E 是棱 PB 上的動點（丄）當PD丄平面EAC時，確定點E在棱PB上的位置；3、使用性質定理-先證明面面平行模型1.（2011年高考江蘇卷）如圖，在四棱錐PE、F分別是AP、AD的中點.,CD / BF求證：（1）直線BE /平面PCDOABCD中，底面2. （ 2019深圳一模）如圖，在四棱錐為1的菱形，BAD 45 , PDE為AM的中點，點F在線段PB上,(1)求證：EF/ 平面 ABCD ;M為PD的中點,且 PF 3FB.C3. (2019廣州期末考

10、試)如圖，多面體ABCDEF中，四邊形ABCD為矩形，二面角A CD F為60 ,DE/CF ，CD DE，AD 2，DE DC 3，CF 6 .(1)求證：BF /平面ADE ;A4. ( 2018 天津理) 如圖，AD/ BC 且 AD=2BC, AD CD, EG/ AD 且 EG=AD , CD/ FG 且 CD=2FG, DG 平面ABCD , DA = DC=DG=2.(I)若M為CF的中點，N為EG的中點，求證：MN /平面CDE ;BAC 90 .點D, E, N分別為棱PA, PC, BC的中點，M是線段 AD的中點，PA=AC=4 , AB=2.(I)求證：MN /平面BD

11、E ;6.【2012高考遼寧文18】如圖，直三棱柱ABC A/B/C/ , BAC90o,5. 【2017天津，理17】如圖，在三棱錐 P-ABC中，PA丄底面ABC,AB AC . 2, AA =1,點M N分別為A/B和B/C/的中點。(I )證明：MN /平面 A/ACC/;7.【2014湖北卷19】如圖，在正方體 ABCD ABiGD中，E , F , P , Q , M , N分別是棱AB ,AD , DDi , BB , ABi, AiD 的中點求證:(1) 直線 BCi / 平面 EFPQ ;(2) 直線ACi丄平面PQMN 8(2019天津理17)如圖，AE 平面ABCD ,C

12、F / AE, AD / BC , AD AB, AB AD 1, AE(I)求證：BF /平面ADE ;立體幾何證明題專題分類講解-垂直專題按證明思路歸納如下：判定定理_1_線面垂直性質定理線線垂直判定定理V如果一直線和平面內的兩相交直線垂直，這判定定理：條直線就垂直于這個平面。符號記為:性質定理1aCb-0 l e a二U丄tr （線線垂宜=統面垂直l Lal丄ba面面垂直atzana丄0 （線畫垂直=面團垂直判定定理：一個平面經過另一個平面的垂線，這兩個平面互相垂直。符號記為：性質定理：兩個平面垂直，則一個平面內垂 直于交線的直線與另一個平面垂直。a丄0a D = AB1（面面室宜n線面

13、重直）4丄占E性質定理： 若直線垂直于平面，則它垂直于平 面內任意一條直線。推論1:垂直于同一個平面的兩條直線互相平行。I丄guaal丄口（線面垂直n線線垂直）推論2:條直線同時垂直于兩個平面，則這兩個平面互相平行。重要推論及其證明思想-三垂線定理（1）三垂線定理： 在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。/ U（2） 三垂線定理逆定理：在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它和這條斜線的射影垂直。三垂線定理和逆定理在教材中是作為例題存在，因此在證明題中不能直接用，只能根據其思想，可以通過 線面垂直來推導線線垂直的方法來證明。由于該定理涉

14、及到投影的知識對空間識別能力很重要，尤其在選 擇、填空題、甚至理科證明題中有很大的作用。因此是同學們必須掌握的一個重要拓廣知識。1、三線合一輔助線型，常見幾何特征有等腰（等邊）三角形，一個銳角為60的菱形，直角梯形等作輔助線的特征方法112017課標3，文19】如圖，四面體ABCD中，ABC是正三角形，AD=CD .（1）證明：AC丄BD ;2 （2019河南省一模）在四棱錐P ABCD中， PAB為等邊三角形，四邊形ABCD為菱形，平面PAB 平面ABCD , AB 2 , ABC .(1)3求證:AB PC ;3. (2018廣州二模）如圖，已知三棱柱 ABC AB1C1的底面是邊長為A1

15、ACC1底面ABC，直線A1B與平面AACG所成角為60 .（1）證明：A1AAC ；4. （2014課標全國I,文 19）如圖，三棱柱AO 丄平面 BB1C1C. (1)證明：B1C丄 AB;5. （ 2019江門一模理）如下左圖，平面五邊形 ？?？ / ?= 折起，得到如右圖的四棱錐？? ?（I）證明：？?丄?1的正三角形，AA AC，側面B1C的中點為 O,且/ ?=? / 2? / ?=?90 , ?*= ?= ?將厶？ ？?C6. （2019北京文18）如圖，在四棱錐P ABCD中，PA 平面ABCD, 底部ABCD為菱形，E為CD的中點.（I）求證： BD丄平面PAC;（H）若/

16、ABC=60，求證：平面 PAB丄平面PAE（川）棱PB上是否存在點F,使得CF/平面PAE?說明理由.7. （ 2019浙江19）如圖，已知三棱柱ABC A B1C1，平面 A ACC1平面 ABC , ABC 90BAC 30 ,AA AC AC,E,F 分別是 AC, A1B1 的中點.(1)證明：EF BC ;8. （2019江蘇16）如圖，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，D, E分別為BC, AC的中點，AB=BC.求證：（1） A1B1 / 平面 DEC1；（2） BE 丄 C1E.Ci2、滲透相似、全等圖形的識別判定，構造全等條件。注意性質定理與判定定理的區別應用1. （ 2

17、018 深圳二模） 如圖，已知四棱錐 P- ABCD 中，AB / CD , AB 丄AD, AB=3, CD =4, AD=AP=4, / PAB= / FAD=60 .（1）證明：頂點 P在底面ABCD的射影在/ BAD的平分線上；2 , BC /AD , AB AD , PBDABC中， PAB是等邊三角形2.【2014遼寧文19】（本小題滿分12分）如圖，ABC和 BCD所在平面互相垂直，且AB BC BD 2 ,ABC DBC 1200 , E、F、G 分別為 AC、DC、AD 的中點.（I）求證：EF 平面BCG ;3. （ 2019湖北八市一模） 如圖，四棱錐P 一 ABCD中，

18、AB AD 2BC 為正三角形.且 PA 2 3 .（1）證明：平面 PAB 平面PBC ;4、（廣州市2017屆高三12月模擬）在三棱錐P/ APC / BPC 60 .（I）求證：AB丄PC ;5. （ 2018全國1卷大聯考）在四棱柱 ABCD - A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，且-_： ,/A1AB= / A1AD=60 . (1)求證：BD 丄 CC1 ;6. （ 2019深圳一模文） 已知四棱錐P ABCD的底面ABCD為平行四邊形，PD DC , AD PC .(1)求證：AC AP ;P7. （2019廣州一模）如圖，在三棱錐 A BCD中，丄ABC是等邊三角形,

19、BAD = BCD=90 點 P 是 AC 的中點，連接 BP , DP。（1）證明：平面ACD 平面BDP ;&（ 2018天津文）如圖，在四面體 ABCD中， ABC是等邊三角形，平面 ABC丄平面ABD，點M為棱AB 的中點，AB=2, AD=2 3，/ BAD=90 (I )求證：AD丄BC;9. （2019梅州一模）如圖，已知矩形 ABCD中，AD 的中點，將 DEC沿CE折起到 D EC的位置，使. 二面角.（1）證明：BE CD ；10.【2017課標3，理19】如圖，四面體 ABCD中， ABC是正三角形， ACD是直角三角形,/ ABD=Z CBD , AB=BD .（1）證

20、明：平面 ACD丄平面ABC ；B3、動點處理型-構造線面垂直1、已知正方體ABCD- ABiGDi中，E為棱CC1上的動點,(1)求證：A1E 丄 BD ；AiB2、【廣東省惠州市 2012屆高三一模(四調)考試】已知四棱錐P ABCD的三視圖如下圖所示，E是側棱(1)是否不論點E在何位置，都有BD丄AE ?證明你的結論;3、【廣東省江門市2012屆高三調研測試】如圖，長方體ABCDAB1C1D1中，底面ABCD是正方形,AA 2AB 2 , E是DD1上的一點求證： AC B1D ；4、(韶關市2017屆高三1月調研)如圖，在四棱錐P ABCD中，平面PAD 平面ABCD , AB/CD

21、,PAD是等邊三角形，已知 BD 2AD 8, AB 2DC 4,5 P(I)設M是線段PC上的一點，證明：平面 BDM 平面PAD ;5. ( 2018全國新課標川文)如圖，矩形abcd所在平面與半圓弧 Cd所在平面垂直，m是Cd上異于C , D的點.(1) 證明：平面AMD丄平面BMC ；(2) 在線段AM上是否存在點P , 使得MC /平面PBD ?說明理由.存在點P為AM中點(III )取 中點F，連結 F，則 F/，根據線面平行定理則/平面C F.4、面面垂直-基礎型：在一個面內找一條線垂直另一個平面1. ( 2018全國新課標I文) 如圖，在平行四邊形 ABCM中，AB AC 3

22、, / ACM 90，以AC為折痕 將厶ACM折起，使點M到達點D的位置，且 AB丄DA .(1)證明：平面 ACD丄平面ABC ;ABCD為正方形，E,F分別為AD,BC的中點，以DF為折痕 且 PF BF .2. ( 2018全國新課標I理) 如圖，四邊形 把厶DFC折起，使點C到達點P的位置，BE,點C在AB上,(1)證明：平面PEF 平面ABFD3. (2019揭陽一模) 如圖，在四邊形 ABED中，AB/DE，AB 且AB CD , AC=BC=CD=2，現將 丄ACD沿CD折起，使點 A 到達點P的位置，且PE與平面PBC所成的角為45 .(1)求證：平面PBC 平面DEBC ;4

23、. ( 2019北京理16)如圖，在四棱錐 P ABCD中，PA 平面 ABCD , AD CD , AD P BC ,PA AD CD 2, BC 3 . E為PD的中點，點F在PF 1PC上，且 一.PC 3(1)求證：CD 平面PAD ;5、(2019全國川文理19)圖1是由矩形 ADEB、RtABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形，其中AB=1 ,BE=BF=2 , Z FBC=60 ,將其沿AB, BC折起使得BE與BF重合，連結 DG,如圖2.(1 )證明：圖2中的A, C, G, D四點共面，且平面 ABC丄平面BCGE ；ABCD -iBiCiDi的底面 ABCD是正方形，點

24、E在棱AAi上，BE丄5、面面垂直-反復迂回型，反復用線面垂直推線線垂直i.【20I4福建，文I9】(本小題滿分 I2分)如圖，三棱錐A BCD 中，AB 平面 BCD,CD BD (i)求證：CD 平面ABD ；I76. (2019全國n文理17)如圖，長方體ECi.(1)證明：BE丄平面EBiCi；7. 【20I7全國i文I9】(本小題滿分I2分)如圖，在四棱錐P-ABCD中,AB/CD，且 BAP CDP 90證明：平面 PAB丄平面FAD;8 （ 20I8 江蘇）在平行六面體 ABCD Ai BiCi Di 中，AA） AB , ABi BiCi .求證：AB/平面AiBiC ; (2

25、)平面ABBA 平面AiBC .2.【2015高考新課標1，文18】（本小題滿分12分）如圖四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD交點，BE 平面ABCD ,（I）證明：平面 AEC 平面BED ；3. （ 2019郴州一模）如圖，在三棱錐PABC中，底面是邊長為4的正三角形,PA 底面 ABC，點 E . F ,G分別為AC，PC，PB的中點，且異面直線AG和PC所成的角的大小為3 .（I）求證：平面 BEF 平面PAC ;4. （ 2018河南開封一模） 如圖1,在矩形 ABCD中，AD=2AB=4 , E是AD的中點.將 ABE沿BE折起使A到點P的位置，平面 PEB丄平面BCDE，如圖2

26、.（丄）求證：平面 PBC丄平面PEC;Si5. （ 2019河南開封一模） 如圖所示,ABCD是邊長為2的正方形,AE 平面 BCE，且 AE 1 .（I）求證：平面 ABCD 平面ABE376. (2019湖南省懷化一模文 18)如圖，在四棱錐P ABCD中，ABCD為菱形，PA 平面ABCD ,連接AC、BD交于點O, AC 6， BD 8， E是棱PC上的動點，連接 DE .(I)求證：平面 BDE 平面PAC ;7. (2019湖南省郴州一模文18)如圖，在三棱錐PABC中，底面是邊長為4的正三角形，PA 底面ABC ,點E . F , G分別為AC , PC , PB的中點，且異面

27、直線 AG和PC所成的角的大小為.3(I)求證：平面 BEF 平面PAC ;6、用數據證明型-通過勾股定理，射影定理，余弦定理等數據特征來說明垂直1. (2018武漢一模)如圖，在棱長為F分別在棱AB , CD上，且AE3的正方體ABCDCF 1.D1M 1,求證：(1)已知M為棱DD1 上一點，且2.（2019廣東省一模）在五面體 ABCDEF中，四邊形CDEF為矩形，CD 2DE 2AD 2AB 4 , AC 2j5 ,EAD 30 .(1)證明：AB 平面ADE ;3.（2018深圳二模）在四棱錐P ABCD中，側棱PA 底面ABCD，AB/CD， BAD 90，M是PC的中點，N在線段AB上，且AB 3AN，已知