1、第二節(jié) 定積分在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用Application of Definite Integral教學(xué)目的 : 熟練掌握求解平面圖形的面積方法 ,并能靈活、恰當(dāng)?shù)剡x擇積分變量 ; 會(huì)求平行截容 教學(xué)重點(diǎn) 教學(xué)難點(diǎn) 教學(xué)方法 教學(xué)容 :面面積已知的立體的體積 ,并能求解旋轉(zhuǎn)體的體積 ; 能夠解決物理應(yīng)用中變力作 功、液體壓力方面的問(wèn)題 .定積分幾何應(yīng)用 ; 定積分在物理中的應(yīng)用 . 求解平面圖形的面積 ; 求旋轉(zhuǎn)體的體積 . 運(yùn)用定積分求平面圖形的面積和旋轉(zhuǎn)體的體積 精講 :定積分的幾何應(yīng)用 ;多練 :用定積分求平面圖形的面積和立體的體積、定積分的幾何應(yīng)用1. 平面圖形的面積設(shè)函數(shù) y f1(x)

2、,y f2(x)均在區(qū)間 a,b上連續(xù) ,且 f1(x) f2(x),x a,b ,現(xiàn)計(jì)算 由 y f1(x),y f2(x),x a,x b所圍成的平面圖形的面積 .分析求解如下 :(1) 如圖 6-3 所示,該圖形對(duì)應(yīng)變量 x的變化區(qū)間為 a,b ,且所求平面圖形的面積 S對(duì) 區(qū)間 a,b 具有可加性 .(2) 在區(qū)間 a,b 任取一小區(qū)間 x,x dx ,其所對(duì)應(yīng)的小曲邊梯形的面積 ,可用以 dx為 底, f1(x) f2 ( x)為高的小矩形的面積 (圖6-3) 中陰影部分的面積 )近似代替 .即面積微元為 dS f1(x) f2(x)dx(3) 所求圖形的面積bS a f2(x) f

3、2(x)dx圖 6-3【例 1】求曲線 y ex，直線 x 0,x 1及 y 0所圍成的平面圖形的面積 . 解 對(duì)應(yīng)變量 x的變化區(qū)間為 0,1 ,在0,1任取一小區(qū)間 x,x dx ,其所對(duì)應(yīng)小窄條 的面積用以 dx為底 ,以 f(x) g(x) ex 0 ex為高的矩形的面積近似代替 ,即面積 微元dS exdx 于是所求面積例2】解由求曲線 y2x積微元于是所求面積1Sexdx ex0x2及 y 2 x2 所圍成的平面圖形的面積 .10 e 12 求出交點(diǎn)坐標(biāo)為 xdSdS( 1,1)和 (1,1),積分變量 x的變化區(qū)間為 1,1,面 f (x) g(x)dx(22(12x2xx2)d

4、x)dx112(11(10x2)dxx2 )dx12x3若平面圖形是由連續(xù)曲線面積應(yīng)如何表達(dá)呢 ?分析求解如下 :(1) 對(duì)應(yīng)變量 y的變化區(qū)間為 c,d ,且所求面積(2) 在 y的變化區(qū)間 c, d 任取一小區(qū)間 y,y(y) 為長(zhǎng) , 以 dy 為寬的矩形面積近似代替x (y),x(y),(y) (y),y c,y d所圍成的 ,其用以 (y)S對(duì)區(qū)間 c,d 具有可加性 . dy ,其所對(duì)應(yīng)的小曲邊梯形的面積可,即面積微元為于是所求面積例3】解由此時(shí) (y)于是所求面積dS2y 2,直線 y (y) (y)dyd (y) (y)dy求曲線 x2y解得交點(diǎn)坐標(biāo)為 (x222, (y) y

5、2 ,則面積微元 dS 2 所圍成的平面圖形的面積1,1)和(4,2) ,則對(duì)應(yīng)變量 y的變化區(qū)間為 1,2 ,(y) (y)dy (y 2 y2 )dy2S dS121(y 2y2)dy122y2132y 13 y3922【例 4】 求由 y x2及 y x所圍成的平面圖形的面積 解 為了確定積分變量的變化圍 , 首先求交點(diǎn)的坐標(biāo) 2yx由 得交點(diǎn) (0,0),(1,1) .yx方法一選 x 為積分變量 ,則對(duì)應(yīng) x的變化區(qū)間為 0,1 ,此時(shí)(xdS f(x)g(x)dxf (x) x, g(x) 2xx2 面積微元1S 0(xx2 )dx)dx12x213x3方法二選 y 為積分變量 ,

6、 對(duì)應(yīng) y 的變化區(qū)間為(y)dS (y) (y)dy ( y y)dy0,1 ,此時(shí)y, (y)y 則面積微元S 0( y23y2y)dy1212y22132 注 :由此例可知 ,積分變量的選取不是唯一的 解問(wèn)題的難易程度也會(huì)不同 .16,但在有些問(wèn)題中 , 積分變量選擇的不同,求2y2 1 的面積 . b2解 橢圓關(guān)于 x軸, y軸均對(duì)稱 ,故所求面積為第一象限部分的面積的4 倍,即2 x 例 5】 求橢圓 2 aS 4S1a4 ydx利用橢圓的參數(shù)方程acostbsint應(yīng)用定積分的換元法 ,dxasintdt,且當(dāng) x0時(shí),t 2,x a時(shí),t 0,于0S 4 bsint( acost

7、)dt24ab 2sin2 tdt04ab 21 cos2t dt02t14ab sin2t2 ab2402. 空間立體的體積(1) 平行截面面積為已知的立體的體積設(shè)某空間立體垂直于一定軸的各個(gè)截面面積已知,則這個(gè)立體的體積可用微元法求解.不失一般性 ,不妨取定軸為 x軸,垂直于 x 軸的各個(gè)截面面積為關(guān)于x的連續(xù)函數(shù)S(x), x的變化區(qū)間為 a,b.該立體體積 V 對(duì)區(qū)間 a,b具有可加性 .取 x為積分變量 ,在a,b 任取一小區(qū)間 x,x dx ,其所對(duì)應(yīng)的小薄片的體積用底面積為S(x) ,高為 dx的柱體的體積近似代替 ,即體積微元為dV S( x) dx 于是所求立體的體積bV S

8、(x)a【例 6】 一平面經(jīng)過(guò)半徑為 R的圓柱體的底圓中心 ,并與底面交成角,計(jì)算這個(gè)平面截圓柱體所得契形體的體積 .2 2 2 解 取該平面與底面圓的交線為 x 軸建立直角坐標(biāo)系 ,則底面圓的方程為 x2 y2 R2 , 半圓的方程即為 yR2 x2 .在 x 軸的變化區(qū)間 R,R 任取一點(diǎn) x,過(guò) x 作垂直于 x 軸的截面 ,截得一直角三角形 , 其 底長(zhǎng)為 y,高度為 ytan ,故其面積1S(x) y y tan212y tan21 2 2(R2 x2 )tan2于是體積R S( x)dxR1 tanR21tan21 tan2(R2(R2xx2)dxx2)dx3x)2R3tan3(2

9、) 旋轉(zhuǎn)體的體積 類型 1: 求由連續(xù)曲線 一周而成立體的體積 .過(guò)任意一點(diǎn) x a,b 作 垂直于 S(x)f 2 ( x) ,于是所求旋轉(zhuǎn)體的體積f(x),直線 x a,x b及 x軸所圍成的曲邊梯形繞 x軸旋轉(zhuǎn)軸的平面,截面是半徑為 f(x) 的圓,其面積為ba S(x)dxb2f 2(x)dxa2【例 7】 求由 y x2及 x 1,y 積.解 積分變量 x 軸的變化區(qū)間為 0,1 ,此處 f (x)1 1 4 x dx 00 所圍成的平面圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周而成立體的體V 0 (x2)2dxx2 ,則體積15 0 5 【例8 】連接坐標(biāo)原點(diǎn) O及點(diǎn) P(h,r)的直線 ,直線 x

10、h及 x軸圍成一個(gè)直角三角形 求將它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周而成的圓錐體的體積 .解 積分變量 x 的變化區(qū)間為 0,h , 此處 yrf(x)為直線 OP的方程 y hr x,于是體2dx類型 2: 求由連續(xù)曲線 x2 r h22 r h2x2dx0302rh3(y),直線 y c,yd 及 y 軸所圍成的曲邊梯形繞 y 軸旋轉(zhuǎn)(y) 的圓 , 其面積為一周而成的立體的體積 (c d).過(guò)任意一點(diǎn) y c,d , 作垂直于 y 軸的平面 , 截面是半徑為2S(y) 2( y) ,于是所求旋轉(zhuǎn)體的體積dd 2V c S(y)dyc 2(y)dycc例9】求由 y x3,y 8及 y軸所圍成的曲邊梯形

11、繞 y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體的體積.解 積分變量 y的變化區(qū)間為 0,8 ,此處 x(y) 3 y .于是體積8 0 (3 y)dy8 960582 y3dy 0 3 y5353y32x例 10 】求橢圓 2a22 y b2 解 若橢圓繞 x 軸旋轉(zhuǎn) , 積分變量 y f(x) b a2 a1分別繞 x軸、 y 軸旋轉(zhuǎn)而成橢球體的體積x 的變化區(qū)間為 a,a ,此處x2 , 于是體積b2aa2x2 dxb22 a b2 a2aa(a22x )dxa2xa 4 ab2a3若橢圓繞 y軸旋轉(zhuǎn) ,積分變量的變化區(qū)間為 b,b ,此處 x (y) a b2 y2 ,于 b是體積2 ab b2 y2 dy

12、2 a b22 a b2b2bb(b2b2yy2)dy133y3a2b二、定積分在物理中的應(yīng)用1. 變力所做的功如果一個(gè)物體在恒力 F 的作用下 ,沿力 F 的方向移動(dòng)距離 s,則力 F 對(duì)物體所做的功是 W F S.如果一個(gè)物體在變力 F ( x)的作用下作直線運(yùn)動(dòng) ,不妨設(shè)其沿 Ox軸運(yùn)動(dòng) ,那么當(dāng)物體由 Ox軸上的點(diǎn) a 移動(dòng)到點(diǎn) b時(shí),變力 F ( x)對(duì)物體所做的功是多少 ?我們?nèi)圆捎梦⒃?,所做的功 W對(duì)區(qū)間 a,b 具有可加性 .設(shè)變力 F ( x)是連續(xù)變化的 ,分 割區(qū)間 a,b ,任取一小區(qū)間 x,x dx ,由F ( x)的連續(xù)性 ,物體在 dx這一小段路徑上移動(dòng)時(shí)F(

13、 x)的變化很小 ,可近似看作不變的 ,則變力 F(x) 在小段路徑上所做的功可近似看作恒力 做功問(wèn)題 ,于是得到功的微元為dW F(x)dx將微元從 a到b積分 ,得到整個(gè)區(qū)間上力所做的功bW F(x)dxa【例 11 】將彈簧一段固定 ,令一段連一個(gè)小球 ,放在光滑面上 ,點(diǎn)O為小球的平衡位置 . 若將小球從點(diǎn) O拉到點(diǎn) M(OM s) ,求克服彈性力所做的功 .,方向指向平衡位置解 由物理學(xué)知道 , 彈性力的大小和彈簧伸長(zhǎng)或壓縮的長(zhǎng)度成正比 O,即F kx其中 k 是比例常數(shù) .dx ,則力 f 所做的功的微元 kxdx若把小球從點(diǎn) O(x 0)拉到點(diǎn) M(x s) ,克服彈性力 F ,

14、所用力 f 的大小與 F相等, 但方向相反 ,即 f kx ,它隨小球位置 x 的變化而變化 .在 x 的變化區(qū)間 0,s 上任取一小段 x,xdW于是功k2skW kxdx s02【例12 】某空氣壓縮機(jī) ,其活塞的面積為 S ,在等溫壓縮的過(guò)程中 ,活塞由 x1處壓縮到 x2 處 ,求壓縮機(jī)在這段壓縮過(guò)程中所消耗的功.解 由物理學(xué)知道 ,一定量的氣體在等溫條件下 , 壓強(qiáng) p 與體積 V 的乘積為常數(shù) k , 即 pV k由已知 ,體積V 是活塞面積S與任一點(diǎn)位置 x的乘積 ,即V Sx,因此kkpV Sx于是氣體作用于活塞上的力pS Skx S kxSx x活塞作用力 fk , 則力xf

15、 所做的功的微元dWkdxx于是所求功x2x1k dxxxx12 kln x12x25 米,底圓半徑為 3 米,桶盛滿了水 .試問(wèn)要把桶的水全kln x【 例 13 】一圓柱形的貯水桶高為 部吸出需做多少功 .解 取深度 x為積分變量 ,則所求功 W對(duì)區(qū)間 0,5 具有可加性 .應(yīng)用微元法 ,在0,5 上 任取一小區(qū)間 x,x dx ,則所對(duì)應(yīng)的小薄層的質(zhì)量32 dx 9 dx.將這一薄層水吸出桶外時(shí) ,需提升的距離近似為 x ,因此需做功的近似值 ,即功的微元為dW x 9 dx 9 xdx于是所求功5W90xdx92 x5225202將339.8 103N /m3 ,得W225980063

16、.46 106 J22. 液體壓力現(xiàn)有面積為 S的平板 ,水平置于密度為,深度為 h 的液體中 ,則平板一側(cè)所受的壓力F pS h S( p為水深為 h 處的壓強(qiáng)值 )若將平板垂直放于該液體中 ,對(duì)應(yīng)不同的液體深度 ,壓強(qiáng)值也不同 , 那么平板所受壓力應(yīng) 如何求解呢 ?設(shè)平板邊緣曲線方程為 y f(x),(a x b) ,則所求壓力 F 對(duì)區(qū)間具有可加性 ,現(xiàn)用 微元法來(lái)求解 .在a,b 上任取一小區(qū)間 x,x dx ,其對(duì)應(yīng)的小橫條上各點(diǎn)液面深度均近似看成x,且液體對(duì)它的壓力近似看成長(zhǎng)為f(x)、寬為 dx的小矩形所受的壓力 ,即壓力微元為dFx f(x)dx于是所求壓力Fbx f (x)d

17、x a【 例 14 】有一底面半徑為1 米 ,高為2 米的圓柱形貯水桶 , 里面盛滿水 . 求水對(duì)桶壁的壓力.解 積分變量 x的變化區(qū)間為 0,2 ,在其上任取一小區(qū)間 x,x dx,高為 dx的小圓柱面所受壓力的近似值,即壓力微元為dFx21dx 2xdx于是所求壓力為22 x2F2xdx24020將 9.8 103 N /m3 代入F49.8103 3.92104N【例15 】有一半徑 R 3米的圓形溢水洞 ,試求水位為 3 米時(shí)作用在閘板上的壓力 .解 如果水位為 3 米,積分變量 x的變化區(qū)間為 0, R ,在其上任取一小區(qū)間 x,x dx , 所對(duì)應(yīng)的小窄條上所受壓力近似值 ,即壓力微元dW x 2ydxx 2 R2 x2 dx2 x R2 x2dx于是所求壓力RF 0 2 x R2 x2dx2 2