1、第九章 整式第1節(jié) 整式的概念【知識(shí)要點(diǎn)】1字母表示數(shù):字母表示數(shù)具有簡明、普遍的優(yōu)越性。從具體的數(shù)過渡到用字母表示數(shù)，滲透了從特殊到一般的抽象概括的思維方式。2列代數(shù)式:即用字母把數(shù)字和數(shù)量關(guān)系簡明地表示出來。3代數(shù)式的值:列代數(shù)式解決問題時(shí)，往往要根據(jù)代數(shù)式里的字母的取值來確定代數(shù)式的值，因此求代數(shù)式的值是運(yùn)用列代數(shù)式解決問題的一個(gè)重要方面。4整式: 最簡單、最基本的代數(shù)式（1）單項(xiàng)式:由數(shù)與字母的積或字母與字母的積組成的代數(shù)式叫單項(xiàng)式。單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式。（2）多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和組成的代數(shù)式叫做多項(xiàng)式。把一個(gè)多項(xiàng)式按某一個(gè)字母的指數(shù)從大到小的順序排列起來，叫做把這個(gè)多項(xiàng)

2、式按這個(gè)字母降冪排列，反之按某一個(gè)字母的指數(shù)從小到大的順序排列起來，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式按這個(gè)字母升冪排列。如：多項(xiàng)式按的降冪排列為，按的升冪排列為。【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1正確理解單項(xiàng)式、單項(xiàng)式系數(shù)、單項(xiàng)式的次數(shù)、多項(xiàng)式、多項(xiàng)式系數(shù)、多項(xiàng)式的次數(shù)、整式等含義；2會(huì)用抽象的數(shù)學(xué)語言描述實(shí)際問題；【典型例題】1 用字母表示數(shù)【例1】 黑板的長為2.5米，寬為米，則他的面積和周長分別是多少？【分析】本題是根據(jù)長方形的性質(zhì)求解的，要熟記長方形的面積公式，周長公式。【解答】面積 周長【點(diǎn)評(píng)】數(shù)字與字母或數(shù)字與括號(hào)相乘時(shí)，通常省略乘號(hào)，但要把數(shù)字寫在字母或括號(hào)前面。【例2】 請(qǐng)用字母表示已學(xué)過的四則運(yùn)算律，如加法結(jié)合

3、律等。【解答】加法交換律：加法結(jié)合律： 乘法交換律： 乘法結(jié)合律： 乘法分配律： 【點(diǎn)評(píng)】這里的“”號(hào)，只是為了使表達(dá)清晰，實(shí)際做題時(shí)要注意書寫規(guī)范。【例3】 設(shè)某數(shù)為米，用表示下列各數(shù)：（1）某數(shù)的平方的相反數(shù)；（2）比某數(shù)的三倍大7；（3）7加上某數(shù)的和的三倍（4）某數(shù)與5的和除以某數(shù)；（5）某數(shù)的倍減去2的差【分析】解本題的關(guān)鍵是審清題意，審題時(shí)要抓住關(guān)鍵字，如和、差、積、商、多、少、幾倍、幾分之幾等；要注意書寫的規(guī)范；按“先讀先寫”的規(guī)則表示。【解答】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）；【點(diǎn)評(píng)】書寫規(guī)范的通常約定（1） 式中出現(xiàn)的乘號(hào)，通常乘號(hào)寫作“”或省略不寫。如常寫成或

4、（2） 數(shù)字與字母相乘，將數(shù)字寫在字母前面（1省略不寫），如不寫成（3） 數(shù)字與數(shù)字相乘，一般仍用“”號(hào)。（4） 式中出現(xiàn)的除法運(yùn)算，一般按照分?jǐn)?shù)的寫法書寫，如通常寫成（5） 表示字母與分?jǐn)?shù)的積時(shí)，分?jǐn)?shù)是帶分?jǐn)?shù)要化成假分?jǐn)?shù)。如：要寫成，免得產(chǎn)生的誤解。另外的一些約定在以后逐步了解。【例4】 觀察下列格式：第一式：；第二式：；第三式：；第四式：；用含字母的式子表示第個(gè)式子【分析】歸納一般性的規(guī)律，應(yīng)從最基本、最簡單的情形入手思考，本題觀察前四個(gè)式子的特點(diǎn)，從變化中發(fā)現(xiàn)一般性的特點(diǎn)，這樣便于發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，也是一個(gè)從特殊到一般的過程，這也是常用的解題方法和策略。【解答】第個(gè)式子是【例5】 如圖9-

5、1，邊長為m的正方形卡片，四個(gè)角上分別剪去一個(gè)邊長為的正方形，然后折成一個(gè)無蓋的長方體盒子，如圖9-1，試寫出計(jì)算這個(gè)無蓋長方形的體積和表面積的公式圖 9-1【分析】 長方體體積等于它的長、寬、高三者之積，也等于它的底面積乘以高。由本題的條件可知：長方體盒子的高為，而底面是一個(gè)正方形，關(guān)鍵是求出它的邊長。要求這個(gè)無蓋長方體的表面積，它既可以看成由底面正方形與四塊側(cè)面拼成，也可以看成一個(gè)大正方形剪去四個(gè)小正方形所得。【解答】解法一：由圖9-1可知，無蓋長方體的底面為有陰影的正方形，它的邊長為，所以長方體的底面積為，該長方形的高為，故長方體的體積公式為： 無蓋長方體的表面由一個(gè)正方形底面和四個(gè)矩形

6、側(cè)面所組成。每個(gè)矩形的長、寬分別為和面積為，而底面積為，所以其表面積的公式為：解法二：同一解法得，無蓋長方體的表面的實(shí)質(zhì)可看成一個(gè)大正方形剪去四個(gè)小正方形，所以表面積等于大正方形的面積與四個(gè)小正方形的面積之差，即。【例6】 下列用字母表示的式子都有其特定的意義，請(qǐng)結(jié)合已學(xué)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)對(duì)他們作出說明：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）； 【解答】（1）表示互為相反數(shù)（2）表示異號(hào)（3）表示中至少一個(gè)為0（4）表示均不為0（5）表示互為倒數(shù)（6）表示互為負(fù)倒數(shù)【點(diǎn)評(píng)】本題中的字母是正整數(shù)，要注意字母的取值必須使實(shí)際問題中提煉出的數(shù)量有意義。2 代數(shù)式【例1】 下列各式，那些是代數(shù)式？ 0

7、 【分析】、是典型的用運(yùn)算符號(hào)將數(shù)或表示數(shù)的字母聯(lián)結(jié)而成。、屬于單獨(dú)一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母。是一個(gè)等式，、是不等式。【解答】 、是代數(shù)式【點(diǎn)評(píng)】 用等號(hào)或不等號(hào)聯(lián)結(jié)的不是代數(shù)式！【例2】 用代數(shù)式表示：（1）汽車每小時(shí)行駛60千米，t小時(shí)行駛 千米；（2）哥哥今年歲，比妹妹大歲，妹妹今年 歲；（3）n行樹一共有m棵，平均每行數(shù)有 棵；（4）某件商品原價(jià)元，春節(jié)期間以8折出售，則打折后售價(jià)為 元；（5）與和的平方的倍；（6）如圖正方形的邊長為，求陰影部分的面積； 圖9-2【分析】本題考查用代數(shù)式表示幾個(gè)比較簡單的數(shù)量關(guān)系。題（1）關(guān)鍵掌握行程問題中三量的關(guān)系，即路程=時(shí)間速度。題（2）關(guān)鍵在于分清大數(shù)

8、、小數(shù)的和差關(guān)系。題（3）在于區(qū)分份數(shù)。題（4）弄清打折的意義。題（5）注意平方和與和平方的區(qū)別。此類題解題關(guān)鍵之一是抓住語句中的關(guān)鍵性詞語，如：“和、差、倍、份、倒數(shù)、積、商、平方”等，第二分清運(yùn)算的順序。題（6）陰影部分面積可以看作兩個(gè)以為直徑的圓的面積減去正方形的面積【解答】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）【例3】 請(qǐng)展開聯(lián)想，結(jié)合你的實(shí)際生活，設(shè)計(jì)具體情境，解釋代數(shù)式可表示什么實(shí)際意義？代數(shù)式又可代表什么實(shí)際意義？【解答】本題答案不唯一，這里只給一個(gè)范例（1）若a表示某工廠第一年的產(chǎn)值，第二年產(chǎn)值增加20%，則表示此工廠第二年的產(chǎn)值（2）若x表示正方形的邊長，則表示正方形

9、的體積，則表示2個(gè)邊長為正方形的體積；【例4】 一個(gè)三位數(shù)，他的百位上的數(shù)字式x，十位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字的2倍多3，個(gè)位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字的少2，則這個(gè)三位數(shù)可表示多少？【分析】先確定十位數(shù)字是，再確定個(gè)位數(shù)字是，從而這個(gè)三位數(shù)可以表達(dá)為【點(diǎn)評(píng)】設(shè)百位上數(shù)字為a，十位上數(shù)字為b，個(gè)位上數(shù)字為c，用代數(shù)式表示這個(gè)三位數(shù)不能表示為abc（因?yàn)閍bc表示），而應(yīng)表示為。【例5】 如圖，一個(gè)長方形恰好被分成六個(gè)正方形，其中最小的正方形a的變長為1，求這個(gè)長方形的長和寬。【分析】仔細(xì)觀察這個(gè)圖形的結(jié)構(gòu)可以看出c的邊長是b的邊長減去a的邊長1；d的邊長等于c的邊長減去1；e和f的邊長等于d的邊長減

10、去1，所以只要求出b的邊長，問題就迎刃而解了。圖圖9-3【解答】設(shè)正方形b的邊長x，則正方形c、d、e、f的邊長分別為、由長方形對(duì)邊長相等，可得解得：所以，長方形的長為，寬為答：所求長方形的長為13，寬為11。【例6】 我國政府為解決人民群眾看病難，決定下調(diào)藥品價(jià)格。某種藥品在1999年漲價(jià)30%后，2001年降價(jià)70%至a元，則這種藥品在1999年漲價(jià)前的價(jià)格為 元。【解答】因?yàn)樵撍幤方?jīng)過兩次調(diào)價(jià)后的價(jià)格是a元，而所求的問題是第一次調(diào)價(jià)前的價(jià)格，可以用逆向思維的方法來解：因?yàn)?001年降價(jià)70%至a元，所以降價(jià)前的價(jià)格應(yīng)為，用同樣的方法可列出第一次調(diào)價(jià)前的價(jià)格為，整理得【點(diǎn)評(píng)】逆向思維是一種

11、常用數(shù)學(xué)思想。3 代數(shù)式的值【例1】 求代數(shù)式的值【分析】求代數(shù)式的值分兩步進(jìn)行：（1）代入；（2）計(jì)算【解答】（1）29 （2） （3）當(dāng)時(shí)， 【點(diǎn)評(píng)】（1）代入數(shù)值時(shí)，原來的運(yùn)算符號(hào)和數(shù)字不能改變；數(shù)字間相乘，原來省略的乘號(hào)要重新填上；如果數(shù)值是負(fù)數(shù)或分?jǐn)?shù)時(shí)，應(yīng)該主動(dòng)添括號(hào)。（2）計(jì)算中遇到小數(shù)的乘法，通常將小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)的形式再計(jì)算。結(jié)果是分?jǐn)?shù)的話應(yīng)是最簡分?jǐn)?shù)。【例2】 當(dāng)時(shí)，求下列各代數(shù)式的值（1）；（2）；（3）【解答】當(dāng)時(shí) （1）（2） （3）【例3】 挖一條長為x的水渠，渠道的截?cái)嗝媸堑妊菪危鐖D9-4，梯形的底分別為，水渠深h，若。求挖這條水渠的土方量【分析】求水渠的土方量，

12、即求體積，體積=底面積高。這里即是等腰梯形的面積水渠的長度。圖9-4【解答】水渠的土方量 當(dāng)時(shí)， 答：求挖這條水渠的土方量為1500 m3【例4】 某企業(yè)去年的年產(chǎn)值是億元，今年比去年增長了10%，如果明年還能按照這個(gè)速度增長，請(qǐng)你預(yù)測一下，該企業(yè)明年的年產(chǎn)值將能達(dá)到多少億元？如果去年的年產(chǎn)值是2億元，那么明年的年產(chǎn)值是多少億元？【分析】這是一道應(yīng)用題，首先應(yīng)該搞清楚其中的數(shù)據(jù)的數(shù)量關(guān)系。【解答】由題意可得，今年的年產(chǎn)值為億元，于是明年的年產(chǎn)值為(億元).若去年的年產(chǎn)值為2億元，即億元時(shí)，則明年的年產(chǎn)值為(億元) 答：該企業(yè)明年的年產(chǎn)值能達(dá)到億元，由去年的年產(chǎn)值是2億元，可以預(yù)計(jì)明年的年產(chǎn)值是

13、2.42億元【點(diǎn)評(píng)】(1)代數(shù)式的值是由代數(shù)式里字母所取值的確定而確定的；(2)代數(shù)式在取值時(shí)，應(yīng)當(dāng)使代數(shù)式所表示的實(shí)際數(shù)量有意義。【例5】 已知，求代數(shù)式的值【分析】本題由于無法知道的值是多少，所以只能用整體代入，與互為倒數(shù)，所以，再將它們一起代入就可以求出代數(shù)式的值。【解答】【點(diǎn)評(píng)】遇到已知條件中沒有告訴每個(gè)字母的值，就可以考慮整體代入求值，這是求代數(shù)式值的常見方法。【例6】 當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值是2001，則當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值為 ( )a.1999b.2000c.2001d.1999【分析】當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，兩者互為相反數(shù)當(dāng)時(shí)，代數(shù)式，所以，當(dāng)時(shí)，代數(shù)式【解答】選a。【點(diǎn)評(píng)】要靈活運(yùn)用整體代入的方法

14、。4 整式【例1】 下列代數(shù)式中，哪些是單項(xiàng)式，哪些是多項(xiàng)式，哪些是整式？，【解答】單項(xiàng)式有：， 多項(xiàng)式有：，整式：除外，其余都是整式。【點(diǎn)評(píng)】不是單項(xiàng)式，因?yàn)閱雾?xiàng)式只含有乘法以及以數(shù)字為除數(shù)的除法運(yùn)算。可以寫成，因此是多項(xiàng)式。【例2】 指出下列各單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)：，【分析】根據(jù)單項(xiàng)式的次數(shù)和系數(shù)的意義來確定【解答】的系數(shù)是，次數(shù)是2； 的系數(shù)是，次數(shù)是3； 的系數(shù)是1，次數(shù)是1； 的系數(shù)是，次數(shù)是7；【點(diǎn)評(píng)】此類練習(xí)需注意幾點(diǎn)：（1）單個(gè)字母的次數(shù)是1而不是0次。（2）單獨(dú)一個(gè)數(shù)的單項(xiàng)式是零次單項(xiàng)式。（3）是分?jǐn)?shù)，是無限不循環(huán)小數(shù)，、數(shù)字因數(shù)，所以是單項(xiàng)式的系數(shù)。【例3】 多項(xiàng)式是幾次幾項(xiàng)

15、式？并按字母的降冪排列和字母的升冪排列。【解答】是五次五項(xiàng)式。 按字母的降冪排列：按字母的升冪排列。【點(diǎn)評(píng)】（1）不含有x，視為常數(shù)項(xiàng)，因此是關(guān)于x的最低此項(xiàng)；類似地是關(guān)于y的最低次項(xiàng)。（2）多項(xiàng)式中的項(xiàng)是包括它前面的符號(hào)的。變更項(xiàng)的位置時(shí)連同他前面的符號(hào)一起移動(dòng)。如果原來的第一項(xiàng)省略“+”號(hào)，移到后面時(shí)就應(yīng)補(bǔ)上“+”號(hào)，如果原來中間項(xiàng)移到第一項(xiàng)而性質(zhì)符號(hào)是“+”，也可以省略“+”，但性質(zhì)符號(hào)“”不能省略。含有兩個(gè)（或多個(gè)）字母的多項(xiàng)式，按某一字母排列時(shí)，只按這個(gè)字母的指數(shù)排列，沒有這個(gè)字母的項(xiàng)，當(dāng)成則個(gè)字母的常數(shù)項(xiàng)，即指數(shù)為0。【例4】 時(shí)，多項(xiàng)式的值等于17，那么當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式的值等于多少？

16、為什么？【解答】因?yàn)闀r(shí)，多項(xiàng)式的值等于17，所以，即。當(dāng)時(shí)， 【點(diǎn)評(píng)】單個(gè)字母求不出時(shí)，常考慮整體代入。【例5】 若多項(xiàng)式是三次二項(xiàng)式，求代數(shù)式的值。【分析】多項(xiàng)式是三次二項(xiàng)式，但最高次項(xiàng)有兩種可能，可能是也可能是，所以本題要分情況討論。【解答】（1）當(dāng)是最高次項(xiàng)，則，則，（2）當(dāng)是最高次項(xiàng)，則，則【例6】 當(dāng)時(shí)，下面4個(gè)代數(shù)式的值的最大值 ( )。(a)(b)(c)(d)【分析】條件和結(jié)論的聯(lián)系不明顯，題目本身很抽象，如何變抽象為具體，根據(jù)題目所給的條件，用一些特殊值代替抽象的字母進(jìn)行計(jì)算，從而選擇出正確的答案。【解答】取，比較可得(a)選項(xiàng)是最大的。【點(diǎn)評(píng)】特殊值法是一種化抽象為具體的數(shù)學(xué)

17、方法。【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1. 汽車每4小時(shí)行a千米，它的速度是 千米/小時(shí)。2. 教室里原有m個(gè)同學(xué)，走出去4人，則教室剩下的同學(xué)人數(shù)是 人。3. 某商品現(xiàn)價(jià)a元，比原價(jià)降低了25%，則原價(jià)為 元4. 買單價(jià)x元的球拍n個(gè)，應(yīng)找回的錢用代數(shù)式表示是 元。5. 實(shí)驗(yàn)中學(xué)初一年級(jí)12個(gè)班級(jí)中共有團(tuán)員a人，則表示的實(shí)際意義是 6. 如圖，用代數(shù)式表示圖中陰影部分的面積 題 6 圖7. 商場為了促銷，常用打折的辦法，某商品原零售價(jià)為m元，先后兩次打折，第一次打八折，第二次打七折，兩次打折后零售價(jià)為 元。8. 當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值是 9. 當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值是 10. 當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值是 11. 多項(xiàng)式的次數(shù)是 ，

18、常數(shù)項(xiàng)是 12. 將多項(xiàng)式按x的降冪排列是 13. 若是關(guān)于字母的單項(xiàng)式，其系數(shù)為5，次數(shù)是5，那么m= n= 14. 用代數(shù)式表示：a的2倍與b的一半之和的平方15. 小明從家出發(fā)去五角場，如騎車每小時(shí)行a千米，則t小時(shí)可到達(dá)五角場。現(xiàn)乘公共汽車，每小時(shí)比騎自行車多行b千米。（1）試求乘公共汽車多少小時(shí)可到達(dá)五角場（2）當(dāng)時(shí)，乘公共汽車到五角場所花時(shí)間是多少？【能力提高】1 有一個(gè)兩位數(shù)，十位上數(shù)字是x，個(gè)位上的數(shù)字是y，如果把它們的位置交換，得到的新的兩位數(shù)是 ，這兩個(gè)兩位數(shù)差多少 。2是七次多項(xiàng)式，則n= 3設(shè)n是正整數(shù)，用含n的代數(shù)式表示：（1）比n大且與2n相鄰的奇數(shù)；（2）能被5整

19、除的偶數(shù)。4已知，求代數(shù)式5已知，求的值6 已知，求代數(shù)式的值 第2節(jié) 整式的加減【知識(shí)要點(diǎn)】1同類項(xiàng)的含義：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相等的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)。所有的常數(shù)項(xiàng)都是同類項(xiàng)兩個(gè)相同：1所含字母相同；2相同字母的指數(shù)分別相同，兩者缺一不可。兩個(gè)無關(guān)：1同類項(xiàng)與系數(shù)大小無關(guān)；2同類項(xiàng)與它們所含相同字母的順序無關(guān)。2合并同類項(xiàng)：把同類項(xiàng)的系數(shù)相加的結(jié)果作為合并后的系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變。如： 中，與是同類項(xiàng)，與是同類項(xiàng)，可以合并同類項(xiàng)合并同類項(xiàng)的注意點(diǎn)： 如果兩個(gè)同類項(xiàng)的系數(shù)互為相反數(shù)，合并同類項(xiàng)后，結(jié)果為0。 合并同類項(xiàng)時(shí)，只能把同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，不是同類項(xiàng)的不能合并；不能合

20、并的項(xiàng)，不能遺漏。 合并后的多項(xiàng)式結(jié)果可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式。 書寫按代數(shù)式的規(guī)范。3整式的加減：去括號(hào)法則： 括號(hào)前是“+”號(hào)，把括號(hào)和他前面的“+”號(hào)去掉后，括號(hào)理各項(xiàng)的符號(hào)都不改變 括號(hào)前是“”號(hào)，把括號(hào)和他前面的“”號(hào)去掉后，括號(hào)理各項(xiàng)的符號(hào)都要改變?nèi)纾?；括號(hào)前有系數(shù)時(shí)去括號(hào)的方法：若代數(shù)式如，括號(hào)前有系數(shù)，應(yīng)先進(jìn)行乘法分配律，再去括號(hào)。注意：去括號(hào)時(shí)，括號(hào)與前面的“+”號(hào)或“”號(hào)一起去掉括號(hào)前有數(shù)字因數(shù)，應(yīng)把它與括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)相乘，切忌漏乘去括號(hào)的實(shí)質(zhì)是應(yīng)用乘法分配律進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，“”號(hào)可以看成系數(shù)為1。【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 理解同類項(xiàng)概念，學(xué)會(huì)合并同類項(xiàng)；2. 熟練整式的加減法，特

21、別是去括號(hào)要注意性質(zhì)符號(hào)的變化。【典型例題】1合并同類項(xiàng)【例1】 下列各題的兩個(gè)式子是不是同類項(xiàng)？并說明理由（1）與（2）與（3）1000與【分析】 判斷幾個(gè)單項(xiàng)式是不是同類項(xiàng)，可用兩條標(biāo)準(zhǔn)衡量：（1）單項(xiàng)式所含字母相同；（2）相同字母的指數(shù)也相同，兩個(gè)條件缺一不可。【解答】 （1）是同類項(xiàng) （2）不是同類項(xiàng) （3）是同類項(xiàng)【點(diǎn)評(píng)】 常數(shù)項(xiàng)也是同類項(xiàng)。【例2】 合并同類項(xiàng)：（1）；（2）；【分析】按照合并同類項(xiàng)的步驟進(jìn)行即可。【解答】（1）原式（2）原式【點(diǎn)評(píng)】 同類項(xiàng)要用括號(hào)括在一起，要添上加號(hào)。【例3】 合并下列各式中的同類項(xiàng)：（1）（2）【分析】分別把看成一個(gè)字母。比如，那么（1）可以化

22、成，應(yīng)用合并同類項(xiàng)就十分自然了【解答】（1）； （2）； 【例4】 求下列各式的值（1）；（2）【分析】題目中給出的多項(xiàng)式含有同類項(xiàng)，先合并同類項(xiàng)再代入數(shù)值計(jì)算比較好。【解答】（1）原式=當(dāng)時(shí)，原式=（2）原式=當(dāng)時(shí)，原式=【點(diǎn)評(píng)】(1) 求多項(xiàng)式的值，先合并同類項(xiàng)，即先化簡再代入求值(2) 代入字母給定的值時(shí)，要先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)再進(jìn)行乘除計(jì)算，必要時(shí)要正確使用括號(hào)，比如中y用代替，應(yīng)是，若不寫括號(hào)會(huì)發(fā)生計(jì)算錯(cuò)誤。(3) 式中，同時(shí)出現(xiàn)小數(shù)和分?jǐn)?shù)，把小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，較易計(jì)算。【例5】 如果是同類項(xiàng)，求的值【解答】是同類項(xiàng)，。【點(diǎn)評(píng)】 利用方程的思想進(jìn)行解答是常用方法。【例6】 代數(shù)式不含項(xiàng)，

23、求k的值。【分析】要使代數(shù)式不含項(xiàng)，將式中的與兩項(xiàng)看作同類項(xiàng)，合并后使的系數(shù)為0，即可求出k值。【解答】因?yàn)榇鷶?shù)式中不含有項(xiàng)，所以【點(diǎn)評(píng)】字母k看做已知數(shù)，在中，2k看成的系數(shù)！【例7】 在多項(xiàng)式中（其中m、n為正整數(shù)），恰有兩項(xiàng)為同類項(xiàng)，求的值。【分析】本題的前提先要確定多項(xiàng)式中哪兩項(xiàng)是同類項(xiàng)。觀察可知。與兩項(xiàng)不可能是同類項(xiàng)，故與是同類項(xiàng)。【解答】 與是同類項(xiàng)，于是，解得所以【點(diǎn)評(píng)】與為什么不可能是同類項(xiàng)，你能說出理由嗎？2整式的加減【例1】 化簡：【分析】 此題的計(jì)算實(shí)際上就是整式的加減，題中有括號(hào)，應(yīng)該先去括號(hào)再合并同類項(xiàng)【解答】 【例2】 化簡：【分析】此題中括號(hào)前除了有“+”號(hào)和“”

24、號(hào)，還有數(shù)字因數(shù)，注意應(yīng)把它與括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)相乘。【解答】 【例3】 化簡求值【分析】先用整式加減法則化簡式子，再代入運(yùn)算【解答】當(dāng)其中時(shí)，原式=【例4】 一個(gè)多項(xiàng)式，當(dāng)減去時(shí)，因把“減去”誤認(rèn)為“加上”，得，試問這道題的正確答案是多少？【分析】根據(jù)題意可知，一個(gè)多項(xiàng)式由于加上了得到，可以用減去就可以得到原來的多項(xiàng)式。再“減去”就可以得到正確答案。【解答】所求多項(xiàng)式 【點(diǎn)評(píng)】也可以直接理解減去2個(gè)就得到正確答案【例5】 已知：，求代數(shù)式的值【分析】 由不能分別求出a、b、c的值，故只能把都看成整體，會(huì)發(fā)現(xiàn)用加，可得，則即可求得【解答】 則，得【點(diǎn)評(píng)】這種整體思想在以后的學(xué)習(xí)中應(yīng)用很多。【例6】 已

25、知，求【分析】代數(shù)式首先要簡化，化簡后求值必須求出的值，雖然已知只給了一個(gè)方程，一般求不出兩個(gè)未知數(shù)，但此方程比較特殊，利用非負(fù)數(shù)而定和為零，非負(fù)數(shù)只有都為0這一特點(diǎn)即可求出。【解答】，而，即原式【點(diǎn)評(píng)】非負(fù)數(shù)的和為0，這些數(shù)只能都等于0。【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1. 寫出的一個(gè)同類項(xiàng)，你寫的是。2. 與是同類項(xiàng)，則m,n。3. 合并同類項(xiàng)。4. 已知與是同類項(xiàng)，則m,n。5. 在中，沒有同類項(xiàng)的是 。6. 與的差是 。7. 已知，。則 。8. 化簡 。9. 化簡 。10. 將多項(xiàng)式減去多項(xiàng)式的2倍的差是 。11. 化簡：12. 已知：與是同類項(xiàng)，求：代數(shù)式13. 已知，求代數(shù)式的值14. ，求的值15.

26、 已知，則當(dāng)時(shí)，的值是【能力提高】1 已知與是同類項(xiàng)，則。2 已知，則（）（a）（b）（c）（d）3兩個(gè)三次多項(xiàng)式的差必是（）（a）三次多項(xiàng)式（b）二次多項(xiàng)式（c）次數(shù)不低于三次的多項(xiàng)式（d）次數(shù)不高于三次的多項(xiàng)式4已知，求和5 如果代數(shù)式的值與字母所取的值無關(guān)，求代數(shù)式的值6 已知，求的值 第3節(jié) 整式的乘除 【知識(shí)要點(diǎn)】1同底數(shù)冪的乘法：逆用這個(gè)法則，也可以把一個(gè)冪分解為兩個(gè)同底數(shù)冪的積，其中它們的底數(shù)與原來冪的底數(shù)相同，它們的指數(shù)之和等于原來冪的指數(shù)。如等2冪的乘法：逆用法則：可幫助我們根據(jù)問題的需要靈活將式子變形。如3積的乘方：性質(zhì)的逆向使用，會(huì)使一些數(shù)的計(jì)算簡化。如4整式的乘法：通過

27、乘法交換律和結(jié)合律把它轉(zhuǎn)化為冪的運(yùn)算，并用合并同類項(xiàng)得到結(jié)果。（1）單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的步驟如下： 系數(shù)相乘確定系數(shù)（特別注意符號(hào)）。 相乘字母相乘底數(shù)不變，指數(shù)相加。 不同字母相乘連同它的指數(shù)照辦下來。（2）單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則：單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，用單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。（3）多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1理解整式乘法的意義，分清同底數(shù)冪、冪的乘方、積的乘方之間的區(qū)別；2熟練掌握單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的步驟，能正確計(jì)算結(jié)果；3能靈活逆用法則來解題。【典型例題】1. 同底數(shù)

28、冪的乘法【例1】 下列算式是否正確？對(duì)錯(cuò)誤的指出錯(cuò)誤原因，并加以改正。（1）（2）（3）（4）【分析】計(jì)算此類題目時(shí)應(yīng)認(rèn)真審察每個(gè)問題的運(yùn)算形式，特別要分清冪的底數(shù)和指數(shù)。【解答】（1）錯(cuò)。錯(cuò)在將混淆，結(jié)果應(yīng)為。（2）錯(cuò)。錯(cuò)在將混淆，結(jié)果應(yīng)為。（3）錯(cuò)。錯(cuò)在把法則“底數(shù)不變，指數(shù)相加”，誤作為“底數(shù)不變，指數(shù)相乘”，結(jié)果為。（4）錯(cuò)。計(jì)算時(shí)誤把a(bǔ)的指數(shù)當(dāng)作0，而a的指數(shù)應(yīng)為1，結(jié)果應(yīng)為。【點(diǎn)評(píng)】應(yīng)用同底數(shù)冪的乘法法則時(shí)要注意：（1）與整式的加減即合并同類項(xiàng)區(qū)分開。（2）單個(gè)字母如想x，y等的指數(shù)為1，而不是0。【例2】 計(jì)算下列各題：（1）；（2）（3）；（4）【分析】應(yīng)用同底數(shù)冪的乘法法則時(shí)

29、，應(yīng)先把各式化為同底數(shù)冪，為此應(yīng)熟悉下列轉(zhuǎn)換等式：；計(jì)算時(shí)，結(jié)合乘法法則確定積的性質(zhì)符號(hào)，第（3）、（4）小題為混合運(yùn)算，應(yīng)先根據(jù)同底數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行乘法運(yùn)算，再進(jìn)行加減運(yùn)算。【解答】（1）； 或（2）或（3）；（4）【點(diǎn)評(píng)】要特別警惕運(yùn)算中符號(hào)的處理，結(jié)合乘方的意義和乘法法則，通常宜將字母前的負(fù)號(hào)看作因數(shù)1，并且要熟悉并掌握（n為正整數(shù)）。當(dāng)代數(shù)式中負(fù)號(hào)較多時(shí)，可分別化簡也可整體處理，同時(shí)注意區(qū)分性質(zhì)符號(hào)和運(yùn)算符號(hào)。【例3】 化簡：【解答】 【點(diǎn)評(píng)】等式（n為正整數(shù)），在同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算中經(jīng)常出現(xiàn)。當(dāng)?shù)讛?shù)互為相反數(shù)時(shí)可設(shè)法化為底數(shù)相同，但必須注意指數(shù)的奇偶性，指數(shù)是偶數(shù)時(shí)，底數(shù)可直接變?yōu)?/p>

30、它的相反數(shù)；指數(shù)是奇數(shù)時(shí)，底數(shù)變?yōu)橄喾磾?shù)時(shí)，所得的冪也為相反數(shù)。當(dāng)?shù)讛?shù)出現(xiàn)多項(xiàng)式是，注意添括號(hào)法則的正確使用。【例4】 探究這個(gè)問題的解題技巧：【分析】每項(xiàng)的指數(shù)太大，所以不能直接計(jì)算。考慮到指數(shù)2006與2007是連續(xù)整數(shù)，結(jié)合乘方的意義考慮，由得到，這是逆用同底數(shù)冪的乘法公式。本題錯(cuò)誤的結(jié)果為2。【解答】【點(diǎn)評(píng)】本題的解法體現(xiàn)了一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)方法與技巧：逆向思維法，即逆向使用運(yùn)算公式： ，逆用公式能把一些法則、公式從反方向的角度加以應(yīng)用，從而靈活、有效地解決問題。【例5】 已知，試用含a的式子表示出【分析】要用含a的代數(shù)式表示，即要把看成一個(gè)整體，因此，解答本題的關(guān)鍵是把轉(zhuǎn)化為含的式子

31、，即【解答】2. 冪的乘方【例1】 計(jì)算下列各題：（1）（2）（3）（4）【分析】首先判斷這些問題都符合冪的乘方的結(jié)構(gòu)特征。注意在應(yīng)用公式時(shí)不要與同底數(shù)冪的乘法法則混淆。冪的乘方法則，是轉(zhuǎn)化指數(shù)的乘法法則（底數(shù)不變）；同底數(shù)冪的乘法，是轉(zhuǎn)化為指數(shù)的加法運(yùn)算（底數(shù)不變）。【解答】（1）（2）（3）（4）【點(diǎn)評(píng)】在公式中，底數(shù)a可以是具體的數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式。【例2】 計(jì)算：（1）（2）【分析】判斷題目的特征，正確選用公式，注意將結(jié)果化簡。【解答】（1）（2）【例3】 已知 ，求（1）的值；（2）的值【分析】觀察題目的特點(diǎn)，可應(yīng)用【解答】（1）（2）【例4】 已知【分析】逆用同底數(shù)冪的乘法

32、法則和冪的乘方法則，即。【解答】因?yàn)椤军c(diǎn)評(píng)】逆用公式具有一定的靈活性，要認(rèn)真觀察題目的特點(diǎn)，巧妙變形。3. 積的乘方【例1】 計(jì)算：（1）（2）（3）【分析】在應(yīng)用積的乘方公式時(shí)，要分清底數(shù)含有幾個(gè)因式，確保每個(gè)因式都進(jìn)行乘方，并且還要注意系數(shù)的符號(hào)，特別是不能忽略系數(shù)為1時(shí)的符號(hào)計(jì)算。【解答】（1）（2）（3）注意： 在中，指數(shù)3只對(duì)括號(hào)內(nèi)的負(fù)號(hào)起作用，對(duì)括號(hào)外的負(fù)號(hào)不起作用，在的計(jì)算中，計(jì)算結(jié)果應(yīng)用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示。【例2】 計(jì)算：（1）；（2）；【分析】認(rèn)真觀察題中的每一項(xiàng)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，正確選用公式，理清運(yùn)算順序，注意符號(hào)的處理。【解答】（1）（2）【點(diǎn)評(píng)】綜合運(yùn)算時(shí)，類比有理數(shù)的運(yùn)算順序，

33、理清整式的運(yùn)算順序，處理好符號(hào)是關(guān)鍵。如計(jì)算時(shí)分清，前者的底數(shù)為，后者的底數(shù)為，注意底數(shù)的每一個(gè)因式都要進(jìn)行乘方。同時(shí)，計(jì)算式一般先確定冪的符號(hào)，再確定乘積的符號(hào)，最后還要正確區(qū)分合并同類項(xiàng)和同底數(shù)冪的乘法。【例3】 以下各題的錯(cuò)解都是具有代表性的，仔細(xì)思考錯(cuò)在何處，并把錯(cuò)解改正過來。（1）（2）（3）（4）（5）（6）【分析】 冪的三種運(yùn)算法則本身較易混淆，并易與合并同類項(xiàng)攪在一起。在計(jì)算時(shí)，要認(rèn)真審題，觀察題中每一項(xiàng)的結(jié)構(gòu)特征，正確選用公式，慎重處理符號(hào)。【解答】（1）錯(cuò)在將同底數(shù)冪的乘法誤作合并同類項(xiàng)，； （2）錯(cuò)在將合并同類項(xiàng)誤作同底數(shù)冪的乘法，（3）把積的乘方公式用錯(cuò)，未將積中的每一

34、個(gè)因式都乘方，；（4）把積的乘方公式用錯(cuò)，；（5）把同底數(shù)冪的乘法法則用錯(cuò)，10的指數(shù)為1，（6）錯(cuò)在將同底數(shù)冪的乘法誤作冪的乘方，且忽視了x的指數(shù)為1，。【例4】 化簡：用簡便方法計(jì)算：（1）；（2）【分析】注意到積的乘方公式的逆用。特別是（2）式還要運(yùn)用同底數(shù)冪乘法的逆用。【解答】（1）（2）【點(diǎn)評(píng)】冪的運(yùn)算性質(zhì)在有理數(shù)計(jì)算中也有應(yīng)用，尤其是這些性質(zhì)的逆向使用，常能使一些數(shù)的計(jì)算簡化。本題各個(gè)乘方運(yùn)算顯然都難以輕松求得結(jié)果，分析數(shù)字特征，逆用公式，可靈活、有效地解決問題。【例5】 計(jì)算：【分析】由，聯(lián)想到將其中一個(gè)底數(shù)變?yōu)?，指數(shù)也要為8，可將計(jì)算簡化。【解答】【點(diǎn)評(píng)】冪的運(yùn)算法則的逆用有

35、一定的靈活性和技巧性，要善于觀察和把握題目的特點(diǎn)。【例6】 試比較的大小【分析】三個(gè)數(shù)的指數(shù)均為111的整數(shù)倍，故聯(lián)想到逆用冪的乘方運(yùn)算公式。【解答】，【點(diǎn)評(píng)】當(dāng)幾個(gè)數(shù)的指數(shù)變?yōu)橄嗤瑫r(shí)，它們的大小取決于每個(gè)數(shù)的底數(shù)。4. 整式的乘法【例1】 計(jì)算：（1） （2）【分析】第(1)小題是三個(gè)單項(xiàng)式相乘，可按單項(xiàng)式乘法法則一次完成，計(jì)算系數(shù)時(shí)，先確定結(jié)果的性質(zhì)符號(hào)，再把絕對(duì)值相乘；第(2)小題中應(yīng)先計(jì)算乘方，注意符號(hào)。【解答】（1）（2）【例2】 計(jì)算： 【分析】在整式乘法中，有時(shí)可以把一個(gè)多項(xiàng)式看成整體。視作單項(xiàng)式，然后按單項(xiàng)式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算。本題中不同底，可利用轉(zhuǎn)化。【解答】（1）【例3】

36、計(jì)算：（1）（2）【分析】本題涉及整式乘法與加減法的綜合應(yīng)用，解題時(shí)注意運(yùn)算順序，有同類項(xiàng)一定要合并。【解答】（1）（2）【點(diǎn)評(píng)】多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)都包含它前面的符號(hào)的，當(dāng)括號(hào)前是“”號(hào)時(shí)，為防止錯(cuò)誤，應(yīng)把單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的結(jié)果先用括號(hào)括起來，然后再去括號(hào)。第(1)小題結(jié)果可以按x進(jìn)行降冪排列。【例4】 計(jì)算：（1）（2）【分析】第(1)小題中可以把看成這樣能提高計(jì)算的正確性且有助于心算。【解答】（1）（2）【點(diǎn)評(píng)】觀察到第(2)小題的結(jié)果，有什么發(fā)現(xiàn)？【例5】 先化簡，再求值，其中【解答】當(dāng)時(shí)，【例6】 已知的乘積中不含項(xiàng)，也不含項(xiàng)，求a與b的值。【分析】先按多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則展開，得到9

37、項(xiàng)。合并后有5項(xiàng)，系數(shù)中含有字母a, b。根據(jù)條件，乘積中不含，項(xiàng)，即可認(rèn)為項(xiàng)，項(xiàng)的系數(shù)為0，從而得到關(guān)于a, b的方程組。【解答】。由于乘積中不含，項(xiàng)，因此有解得【點(diǎn)評(píng)】本題所用的方法在數(shù)學(xué)中較為常用，稱之為待定系數(shù)法。【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1. 計(jì)算 。2. 計(jì)算 。3. 如果 。4. 如果 。5. 若n為正整數(shù)且，則 6. 。7. 計(jì)算 8. 計(jì)算 。9. 快速計(jì)算 10. 計(jì)算 11. 當(dāng)時(shí)，的值是 12. 13. 14. 計(jì)算= 15. 計(jì)算16. 計(jì)算。17. 用簡便方法計(jì)算18. 計(jì)算19. 解不等式：20. 解方程：【能力提高1計(jì)算2計(jì)算： 3比較的大小4已知5試問的積有多少個(gè)0？是幾位

38、數(shù)？6當(dāng)不含項(xiàng)，求m，n的值.7 已知 第4節(jié) 乘法公式 【知識(shí)要點(diǎn)】1 平方差公式：。（1）位置變化：如，可利用加法交換律；將第二個(gè)括號(hào)變?yōu)椋纯勺優(yōu)椤皹?biāo)準(zhǔn)型”。（2）符號(hào)變化：如； （3）增項(xiàng)變化：如，若能將看作一個(gè)整體，。（4）增因式變化：如，。2. 完全平方公式：。注意：公式中的“”、“”既可代表具體的數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式。如： 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、 掌握平方差公式和完全平方公式；2、 會(huì)利用公式合理地就進(jìn)行因式分解。【典型例題】1. 平方差公式【例1】 下列兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能？ （1） （2）（3） （4）【分析】兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，只有當(dāng)兩個(gè)多項(xiàng)式分成兩個(gè)部

39、分之和后，一部分完全相同，而另一部分只有符合不同，才能運(yùn)用平方差公式。相乘的結(jié)果也應(yīng)是相同項(xiàng)的平方減去互為相反數(shù)的項(xiàng)的平方。因此在計(jì)算時(shí)，應(yīng)先把式子轉(zhuǎn)化為公式的標(biāo)志形式，再利用公式直接寫出結(jié)果。【解答】解：（1）（3）（4）可以用平方差公式，而（2）不能用平方差公式。（1）（3）（4）或【例2】 計(jì)算下列各題：（1） （2）（3） （4）【分析】運(yùn)用公式時(shí)，一定要分清公式中的與。（1） 中的兩數(shù)之和應(yīng)先用加法交換律，再用公式。（2） 中應(yīng)先把因式變成。（3） 中可把看作公式中的“”，看作公式中的“”。（4） 中兩個(gè)多項(xiàng)式相乘不符合平方差公式的結(jié)果特征，故要用多項(xiàng)式乘法法則展開后合并同類項(xiàng)。【解

40、答】（1）原式（2）原式（3）原式（4）原式【例3】 計(jì)算下列各題：（1） （2）【分析】（1）中利用乘法交換律和結(jié)合律，可連續(xù)使用平方差公式。（2）中兩個(gè)因式相同的項(xiàng)為，相反的項(xiàng)為與；與，故將變形為，化成符號(hào)公式結(jié)構(gòu)特征的形式后再利用平方差公式。【解答】（1）原式 （2）原式 【例4】 利用平方差公式計(jì)算：（1） （2）【分析】（1）中，故可以寫成，再應(yīng)用公式計(jì)算。（2）中，用平方差公式進(jìn)行計(jì)算。【解答】（1）原式（2）原式【點(diǎn)評(píng)】單個(gè)數(shù)字也是代數(shù)式，它們的計(jì)算也可以運(yùn)用乘法公式。根據(jù)題目的特點(diǎn)，構(gòu)造出兩數(shù)和乘以兩數(shù)差，應(yīng)用平方差公式計(jì)算非常簡便。【例5】 化簡求值，其中【分析】求代數(shù)式的值

41、時(shí)首先要對(duì)代數(shù)式進(jìn)行簡化，以簡化計(jì)算過程，本題的關(guān)鍵就在于平方差公式的靈活運(yùn)用。【解答】解：原式 當(dāng)時(shí)，原式。【例6】 計(jì)算 【分析】在上式中乘以后可反復(fù)使用平方差公式進(jìn)行計(jì)算【解答】原式 【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)題目固有的特點(diǎn)，適當(dāng)添加某些數(shù)可以構(gòu)造平方差公式，從而使解題過程呈現(xiàn)了簡便的規(guī)律。【例7】 若，那么【分析】有括號(hào)內(nèi)式子的特點(diǎn)，可設(shè)，則原式可化為：。得，或。由或得或。在上式中乘以后可反復(fù)使用平方差公式進(jìn)行計(jì)算【解答】或【點(diǎn)評(píng)】此處將設(shè)為的方法即為換元法，也可以理解為整體考慮若把視作一個(gè)整體，則原式化為，等號(hào)左邊可利用平方差公式展開，為解題帶來方便。整體考慮的方法是貫穿中學(xué)始終的一個(gè)重要方法，要

42、好好理解并掌握。2. 完全平方公式【例1】 計(jì)算下列各題：（1） （2）（3） （4）【分析】（1）（2）可直接利用公式，由乘法運(yùn)算性質(zhì)可知：，這樣，當(dāng)括號(hào)內(nèi)的二項(xiàng)式首項(xiàng)為負(fù)值時(shí)，可利用上述兩個(gè)式子，將其變形為首項(xiàng)為正的形式，再利用完全平方公式展開，不易出錯(cuò)。【解答】（1）原式（2）原式（3）原式 （4）原式【點(diǎn)評(píng)】在應(yīng)用完全平方公式時(shí)，最容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤就是兩倍乘積項(xiàng)漏乘“”，這要引起注意。【例2】 下面的計(jì)算對(duì)不對(duì)？若不對(duì)，請(qǐng)指明錯(cuò)誤的原因，并改正。（1） （2）（3） （4）【解答】（1）錯(cuò)， 展開后應(yīng)有三項(xiàng)，應(yīng)為。（2）錯(cuò)，展開后平方項(xiàng)應(yīng)同為正，應(yīng)為。（3）錯(cuò)，應(yīng)為。（4）錯(cuò)，應(yīng)為。【點(diǎn)

43、評(píng)】牢記完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征，分清公式中的“”、“”還要特別注意兩倍乘積項(xiàng)的符號(hào)。【例3】 計(jì)算：（1） （2）（3）【分析】（1）中先用平方差公式，再用完全平方公式；（2）中先把兩個(gè)因式中相同的項(xiàng)結(jié)合在一起作一組，再把相反的項(xiàng)作一組，就可以利用平方差公式了；（3）逆用積的乘方公式，就可以用平方差公式和完全平方公式直接寫出答案了。【解答】（1）原式（2）原式 （3）原式 【點(diǎn)評(píng)】把平方差公式和完全平方公式及冪的運(yùn)算等幾個(gè)公式結(jié)合使用的計(jì)算題，是一個(gè)難點(diǎn)。計(jì)算時(shí)必須熟練、準(zhǔn)確地掌握公式的特征，才能正確選擇公式。【例4】 計(jì)算，并利用它的結(jié)論直接計(jì)算【分析】把看作一個(gè)整體，即一項(xiàng)，然后用完全平方

44、公式展開；把分別看作公式中的“”、“”、“”，即可套用公式。【解答】 【點(diǎn)評(píng)】這個(gè)結(jié)果表明：三項(xiàng)等于這三個(gè)項(xiàng)的平方加上每兩個(gè)數(shù)的積的倍。 注意：公式中具有廣泛含義，要當(dāng)心兩倍乘積的項(xiàng)的符號(hào)不要出錯(cuò)。 【例5】 （1）已知，求的值。（2）已知，求的值。（3）已知，求的值。【分析】在乘法公式中，經(jīng)常用到一些變化技巧，在本題中用到的有：在（3）中應(yīng)注意到與互為倒數(shù)，即乘積為，為利用完全平方公式提供了便利。【解答】（1）（2）由，得，即。（3）。注意：熟記乘法公式的一些重要變形，可更好地、靈活地、應(yīng)用公式解決問題。【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1. 在下列多項(xiàng)式的乘法中，能用平方差公式的是（ ）a、； b、；c、； d

45、、。2. 在下列多項(xiàng)式的乘法中，不能用平方差公式的是（ ）a、； b、；c、； d、。3. 與相等的式子是（ ）a、； b、；c、； d、。4. 若，那么代數(shù)式m應(yīng)是（ ） a、； b、； c、； d、.5. 等于a、； b、； c、； d、.6. 要使式子成為一個(gè)完全平方式的結(jié)果，則應(yīng)加上（ ）a、3； b、9； c、2.25； d、1.5.7. 計(jì)算 ；8. 計(jì)算 ；9. 計(jì)算 ；10. 9910110001= 。11. 。12. 。13. 。14. 計(jì)算的結(jié)果15. 計(jì)算；16. 計(jì)算； 17. 計(jì)算18. 計(jì)算；19. 計(jì)算；20. 解方程；【能力提高】1 廣場內(nèi)有一塊邊長為2a米的正

46、方形草坪，經(jīng)統(tǒng)一規(guī)劃后，南北方向要縮短3米，東西方向要加長3米，則改造后的長方形草坪的面積是多少？2 運(yùn)用乘法公式計(jì)算：3 確定的末位數(shù)字4 計(jì)算5 已知6 已知7 （規(guī)律探究題）已知，計(jì)算， （1）觀察以上各式并猜想：_（n為正整數(shù)） （2）根據(jù)你的猜想計(jì)算： _ 2+22+23+2n=_（n為正整數(shù)） =_ （3）通過以上規(guī)律請(qǐng)你進(jìn)行下面的探索： =_ =_=_21. 說明：的值和a無關(guān)。第5節(jié) 因式分解【知識(shí)要點(diǎn)】1. 提取公因式法利用提取公因式法進(jìn)行因式分解的一般步驟可概括為“一找、二提、三去除”。“一找”就是第一步要折過去找出多項(xiàng)式中各項(xiàng)的公因式；“二提”就是第二步將所找出的公因式提出來；“三去除”就是第三步當(dāng)提出公因式后，此時(shí)可直接觀察提出公因式后剩下的另一個(gè)因式，也可以用原多項(xiàng)式去除以公因式，所得的商即為提出公因式后剩下的一個(gè)因式。例如分解因式：，當(dāng)確定公因式為后，則，所以有，。2. 公式法逆用乘法公式將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式