1、03_04_三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學性質 3.4 三維晶格的振動三維晶格的振動 三維復式格子三維復式格子 各原子偏離格點的位移各原子偏離格點的位移 晶體的原胞數目晶體的原胞數目 321 nnnn 原子的質量原子的質量 n mmmm, 321 第第l個原胞的位置個原胞的位置 332211 )(alalallr 原胞中各原子的位置原胞中各原子的位置 n l r l r l r l r , 3 , 2 , 1 n llll , 3 , 2 , 1 一個原胞中有一個原胞中有n個原子個原子 01/19 03_04_三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學性質 第第k個原子運動方程個原子運動方程

2、k l k l mk 2 3, 2, 1 原子在三個方向上的位移分量原子在三個方向上的位移分量 一個原胞中有一個原胞中有3n個類似的方程個類似的方程 方程右邊是原子位移的線性齊次函數，其方程的解方程右邊是原子位移的線性齊次函數，其方程的解 q k l rti ke a k l 將方程解代回將方程解代回3n個運動方程個運動方程 03_04_三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學性質 2 , k k kk a kk q cam ;,;,;, 222111nznynxzyxzyx aaaaaaaaa 3n個線性齊次方程個線性齊次方程 系數行列式為零條件，得到系數行列式為零條件，得到3n個個)3, 3,

3、 2, 1(nj j 長波極限長波極限0q3個個q j 趨于一致趨于一致 n aaaa , 321 三個頻率對應的格波描述不同原胞之間的相對運動三個頻率對應的格波描述不同原胞之間的相對運動 3支聲學波支聲學波 1, 2,3;1, 2, 3;1, 2,knk 03_04_三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學性質 3n3支長波極限的格波描述一個原胞中各原子間的相支長波極限的格波描述一個原胞中各原子間的相 對運動對運動 3n3支光學波支光學波 結論：結論：晶體中一個原胞中有晶體中一個原胞中有n個原子組成，有個原子組成，有3支聲學波和支聲學波和 3n3支光學波支光學波 波矢波矢 332211 bxbx

4、bxq 波矢空間的波矢空間的3個基矢個基矢 321 ,bbb 三維晶格中的波矢三維晶格中的波矢 倒格子基矢倒格子基矢 123 ,x xx 3個系數個系數 03_04_三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學性質 )( )( )( 333333 222222 111111 bx k l ranti kz bx k l rti kzz bx k l ranti ky bx k l rti kyy bx k l ranti kx bx k l rti kxx zz yy xx eaea k l eaea k l eaea k l 采用波恩卡曼邊界條件采用波恩卡曼邊界條件 1 1 1 1122222333

5、 33 2,2,2n a x bhn a x bhn a x bh 05/19 03_04_三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學性質 1 11 1 1 11 2 22 2222 3 33 33 33 2 2 2 h xx n a bn h xx n a bn h xx n a bn 3 3 3 2 2 2 1 1 1 b n h b n h b n h q 波矢波矢 波矢空間一個點占據的體積波矢空間一個點占據的體積 123 123 *() bbb v nnn 0 *v n 倒格子原胞體積倒格子原胞體積)(* 3210 bbbv 狀態密度狀態密度 0123 *() nn vbbb 0 33 (2

6、 )(2 ) nvv 03_04_三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學性質 波矢的取值波矢的取值_ h1h2h3 原子振動波函數原子振動波函數 qlri e )( 波矢改變一個倒格矢波矢改變一個倒格矢 332211 bnbnbngn n gqq qlriqglri ee n )()()( 1 12233 ( )2 () n r lgl nl nl n q k l rti ke a k l 不同原胞之間位相聯系不同原胞之間位相聯系 原子振動狀態一樣原子振動狀態一樣 03_04_三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學性質 k的取值限制在一個倒格子原胞中的取值限制在一個倒格子原胞中 第一布里淵區第一布

7、里淵區 22 11 b q b x 22 22 b q b y 22 33 b q b z 3 3 3 2 2 2 1 1 1 b n h b n h b n h q 11 1 22 nn h 22 2 2 2 n h n 22 3 3 3 n h n 個取值個取值 321 nnnn 1 1 1 2 2 2 3 3 3 x y z h qb n h qb n h qb n 03_04_三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學性質 對應于一個波矢對應于一個波矢q 3支聲學波支聲學波和和3n3支光學波支光學波 總的格波數目總的格波數目nnnn3) 333( 晶體中原子的坐標數目晶體中原子的坐標數目 n

8、n i ii qqne 3 1 )( 2 1 )(晶格振動總的能量晶格振動總的能量 )(q i 晶格振動能量量子晶格振動能量量子 聲子聲子_phonon 03_04_三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學性質 二維布里淵區二維布里淵區 正方格子的布里淵區正方格子的布里淵區 正方格子的基矢正方格子的基矢 1 2 aai aaj 倒格子原胞基矢倒格子原胞基矢 j a b i a b 2 2 2 1 10/19 03_04_三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學性質 第一布里淵區第一布里淵區 倒格子空間離原點最近的四個倒格點倒格子空間離原點最近的四個倒格點 1122 ,bbbb 垂直平分線方程垂直平分線

9、方程 a k a k y x 第一布里淵區第一布里淵區 大小大小 2 ) 2 ( a 03_04_三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學性質 第二布里淵區第二布里淵區 由由4個倒格點個倒格點 12 12 12 12 () () () () bb bb bb bb 2 ) 2 ( a 第二布里淵區大第二布里淵區大 小小 的垂直平分線和第一的垂直平分線和第一 布里淵區邊界所圍成布里淵區邊界所圍成 03_04_三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學性質 由由4個倒格點個倒格點 12 12 2 ,2 2 ,2 bb bb 第三布里淵區第三布里淵區 2 ) 2 ( a 第三布里淵區大小第三布里淵區大小 的垂

10、直平分線和第二布的垂直平分線和第二布 里淵區邊界邊界所圍成里淵區邊界邊界所圍成 03_04_三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學性質 第一、第二和第三布里淵區第一、第二和第三布里淵區 03_04_三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學性質 正方格子其它布里淵區的形成正方格子其它布里淵區的形成 15/19 03_04_三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學性質 正方格子其它布里淵區的形狀正方格子其它布里淵區的形狀 每個布每個布 里淵區經過適里淵區經過適 當的平移之后當的平移之后 和第一布里淵和第一布里淵 區重合區重合 03_04_三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學性質 二維斜格子的第一布里淵區二維斜格子的第一布里淵區 03_04_三維晶格的