1、小學數學典型應用題小學數學中把含有數量關系的實際問題用語言或文字敘述 出來，這樣所形成的題目叫做應用題。 任何一道應用題都由兩部 分構成。第一部分是已知條件（簡稱條件），第二部分是所求問 題（簡稱問題）。應用題的條件和問題，組成了應用題的結構。應用題可分為一般應用題與典型應用題。沒有特定的解答規律的兩步以上運算的應用題，叫做一般應用題。題目中有特殊的數量關系， 可以用特定的步驟和方法來解答的應用題，叫做典型應用題。這本資料主要研究以下30類典型應用題：1、歸一問題11、行船問題21、方陣問題2、歸總問題12、列車問題22、商品利潤問題3、和差問題13、時鐘問題23、存款利率問題4、和倍問題14

2、、盈虧問題24、溶液濃度問題5、差倍問題15、工程問題25、構圖布數問題6、倍比問題16、正反比例問題26、幻方問題7、相遇問題17、按比例分配27、抽屜原則問題8、追及問題18、百分數問題28、公約公倍問題9、植樹問題19、“牛吃草”問題29、最值問題10、年齡問題20、雞兔同籠問題30、列方程問題1歸一問題【含義】在解題時，先求出一份是多少（即單一量），然后以單一量為標準，求出所要求的數量。這類應用題叫做歸一問題。【數量關系】總量份數=1份數量1份數量X所占份數=所求幾份的數量另一總量*（總量*份數）=所求份數【解題思路和方法】先求出單一量，以單一量為標準，求出所要求的數量。例 1 買 5

3、支鉛筆要 0.6 元錢，買同樣的鉛筆 16支，需要多少 錢？解（1）買1支鉛筆多少錢？0.6 一 5= 0.12 （元）（2）買16支鉛筆需要多少錢？ 0.12 X 16= 1.92 （元）列成綜合算式 0.6 一5 X 16 = 0.12 X 16= 1.92 （元）答：需要 1.92 元。例 2 3 臺拖拉機 3 天耕地 90 公頃，照這樣計算，5 臺拖拉機 6 天 耕地多少公頃？解（1） 1臺拖拉機1天耕地多少公頃？90 一 3-3= 10 （公頃）（2） 5 臺拖拉機 6 天耕地多少公頃？ 10X 5X 6= 300（公 頃）列成綜合算式 90 一 3-3X 5X 6= 10X 30=

4、 300 （公頃） 答：5臺拖拉機 6 天耕地 300 公頃。例 3 5 輛汽車 4 次可以運送 100 噸鋼材，如果用同樣的 7 輛汽 車運送 105 噸鋼材，需要運幾次？解(1)1 輛汽車 1 次能運多少噸鋼材？100*5*4=5（噸）( 2) 7 輛汽車 1 次能運多少噸鋼材？5 X 7 = 35 （噸）( 3) 105 噸鋼材 7 輛汽車需要運幾次？105*35=3（次）列成綜合算式 105 *( 100* 5 4X 7)= 3 (次)答：需要運 3 次。2 歸總問題【含義】 解題時，常常先找出“總數量”，然后再根據 其它條件算出所求的問題，叫歸總問題。所謂“總數量”是指貨 物的總價、

5、幾小時(幾天)的總工作量、幾公畝地上的總產量、 幾小時行的總路程等。【數量關系】1份數量X份數=總量總量* 1 份數量=份數總量*另一份數=另一每份數量解題思路和方法】 先求出總數量，再根據題意得出所求的數量。例 1 服裝廠原來做一套衣服用布 3.2 米，改進裁剪方法后， 每套衣服用布 2.8 米。原來做 791套衣服的布， 現在可以做多少 套？解 （1）這批布總共有多少米？3.2 X 791 = 2531.2 （米）（2）現在可以做多少套？2531.2 一 2.8 = 904 （套）列成綜合算式 3.2 X 791 - 2.8 = 904 （套）答：現在可以做 904 套。例 2 小華每天讀

6、 24 頁書，12 天讀完了紅巖一書。小 明每天讀 36 頁書，幾天可以讀完紅巖？解 （1）紅巖這本書總共多少頁？ 24X 12= 288（頁）（2）小明幾天可以讀完紅巖？288 + 36= 8 （天）列成綜合算式 24 X 12一 36= 8 （天）答：小明 8 天可以讀完紅巖例 3 食堂運來一批蔬菜，原計劃每天吃 50 千克， 30 天慢 慢消費完這批蔬菜。后來根據大家的意見，每天比原計劃多吃10 千克，這批蔬菜可以吃多少天？解 （1）這批蔬菜共有多少千克？50 X 30= 1500 （千克）（2）這批蔬菜可以吃多少天？1500 -（ 50 + 10）= 25（天）列成綜合算式 50 X

7、30 -（ 50 + 10）= 1500- 60= 25 （天）答：這批蔬菜可以吃 25 天。3 和差問題【含義】 已知兩個數量的和與差， 求這兩個數量各是多少，這類應用題叫和差問題。【數量關系】大數=（和+差）+ 2小數=（和一差）*2【解題思路和方法】 簡單的題目可以直接套用公式；復雜 的題目變通后再用公式。例 1 甲乙兩班共有學生 98 人，甲班比乙班多 6 人，求兩 班各有多少人？解甲班人數=（98+ 6）+ 2 = 52 （人）乙班人數=（98- 6）- 2= 46 （人）答：甲班有 52 人，乙班有 46 人。例 2 長方形的長和寬之和為 18 厘米，長比寬多 2 厘米， 求 長方

8、形的面積。解 長=（ 18+ 2）- 2= 10（厘米）寬=（ 18- 2）- 2= 8（厘米）長方形的面積 =10X 8= 80 （平方厘米）答：長方形的面積為 80 平方厘米。例 3 有甲乙丙三袋化肥， 甲乙兩袋共重 32 千克，乙丙兩袋 共重 30千克，甲丙兩袋共重 22 千克，求三袋化肥各重多少千克。解 甲乙兩袋、乙丙兩袋都含有乙，從中可以看出甲比丙多（32- 30）= 2千克，且甲是大數，丙是小數。由此可知甲袋化肥重量=（22+ 2） 一 2= 12 （千克）丙袋化肥重量=（22- 2） 一 2= 10 （千克）乙袋化肥重量= 32- 12= 20（千克）答：甲袋化肥重 12千克，乙

9、袋化肥重 20千克，丙袋化肥 重 10 千克。例 4 甲乙兩車原來共裝蘋果 97 筐，從甲車取下 14 筐放到 乙車上， 結果甲車比乙車還多 3 筐，兩車原來各裝蘋果多少筐？解 “從甲車取下 14 筐放到乙車上， 結果甲車比乙車還多3筐”，這說明甲車是大數，乙車是小數，甲與乙的差是（ 14X 2+ 3）,甲與乙的和是97,因此 甲車筐數=（97 + 14X 2+ 3） 一2= 64 （筐）乙車筐數= 97- 64= 33（筐）答：甲車原來裝蘋果 64筐，乙車原來裝蘋果 33筐4 和倍問題【含義】 已知兩個數的和及大數是小數的幾倍（或小數是 大數的幾分之幾），要求這兩個數各是多少，這類應用題叫做

10、和 倍問題。【數量關系】總和+（幾倍+ 1 ）=較小的數總和一較小的數=較大的數較小的數X幾倍=較大的數【解題思路和方法】 簡單的題目直接利用公式，復雜的題 目變通后利用公式。例 1 果園里有杏樹和桃樹共 248 棵，桃樹的棵數是杏樹的3 倍，求杏樹、桃樹各多少棵？解 （1）杏樹有多少棵？248 一（ 3+ 1） = 62 （棵）（2）桃樹有多少棵？62 X 3= 186 （棵）答：杏樹有 62 棵，桃樹有 186 棵。例 2 東西兩個倉庫共存糧 480 噸，東庫存糧數是西庫存糧 數的 1.4 倍，求兩庫各存糧多少噸？解 （1）西庫存糧數=480一（ 1.4 + 1）= 200 （噸）（ 2）

11、東庫存糧數= 480 200= 280（噸）答：東庫存糧 280噸，西庫存糧 200噸。例 3 甲站原有車 52 輛，乙站原有車 32 輛，若每天從甲站 開往乙站 28 輛，從乙站開往甲站 24 輛，幾天后乙站車輛數是甲 站的 2 倍？解 每天從甲站開往乙站 28 輛，從乙站開往甲站 24 輛，相 當于每天從甲站開往乙站（ 2824）輛。把幾天以后甲站的車輛 數當作 1 倍量，這時乙站的車輛數就是 2 倍量，兩站的車輛總數（ 5232）就相當于（ 21 ）倍，那么，幾天以后甲站的車輛數減少為(52 + 32)一( 2 + 1)= 28 (輛)所求天數為(52- 28)一( 28 - 24)=

12、6 (天)答：6 天以后乙站車輛數是甲站的 2 倍。例 4 甲乙丙三數之和是 170，乙比甲的 2 倍少 4，丙比甲 的 3 倍多 6，求三數各是多少？解 乙丙兩數都與甲數有直接關系， 因此把甲數作為 1 倍量。因為乙比甲的 2 倍少 4，所以給乙加上 4，乙數就變成甲數 的 2 倍；又因為丙比甲的 3 倍多 6，所以丙數減去 6 就變為甲數的 3 倍；這時( 1704- 6)就相當于( 1 23)倍。那么，甲數=(170 + 4 - 6)-( 1 + 2+ 3)= 28乙數=28X 2-4 = 52丙數=28X 3+ 6= 90答：甲數是 28，乙數是 52，丙數是 90。5 差倍問題【含義

13、】 已知兩個數的差及大數是小數的幾倍（或小數是 大數的幾分之幾），要求這兩個數各是多少，這類應用題叫做差 倍問題。【數量關系】 兩個數的差一（幾倍1）=較小的數較小的數X幾倍=較大的數【解題思路和方法】 簡單的題目直接利用公式，復雜的題 目變通后利用公式。例 1 果園里桃樹的棵數是杏樹的 3 倍，而且桃樹比杏樹多124 棵。求杏樹、桃樹各多少棵？解 （1）杏樹有多少棵？124 一（ 3 1）= 62 （棵）（2）桃樹有多少棵？62 X 3 = 186 （棵）答：果園里杏樹是 62 棵，桃樹是 186 棵。例 2 爸爸比兒子大 27 歲，今年，爸爸的年齡是兒子年齡 的 4 倍，求父子二人今年各是

14、多少歲？解 （1）兒子年齡=27一（ 4- 1）= 9 （歲）（2）爸爸年齡=9X 4 = 36 （歲）答：父子二人今年的年齡分別是 36 歲和 9 歲。例 3 商場改革經營管理辦法后，本月盈利比上月盈利的 2 倍還多 12 萬元，又知本月盈利比上月盈利多 30 萬元，求這兩個 月盈利各是多少萬元？解 如果把上月盈利作為 1 倍量，則（ 30- 12）萬元就相 當于上月盈利的（ 2- 1 ）倍，因此上月盈利=（30- 12）-（ 2- 1）= 18 （萬元）本月盈利=18+ 30= 48 （萬兀）答：上月盈利是 18 萬元，本月盈利是 48 萬元。例 4 糧庫有 94 噸小麥和 138 噸玉米

15、，如果每天運出小麥 和玉米各是 9 噸，問幾天后剩下的玉米是小麥的 3 倍？解 由于每天運出的小麥和玉米的數量相等，所以剩下的 數量差等于原來的數量差（ 138 94）。把幾天后剩下的小麥看 作 1 倍量，則幾天后剩下的玉米就是 3 倍量，那么， （ 13894） 就相當于（ 3 1）倍，因此剩下的小麥數量=（138- 94）一（ 3- 1）= 22 （噸）運出的小麥數量=94- 22= 72 （噸）運糧的天數=72+ 9= 8 （天）答： 8 天以后剩下的玉米是小麥的 3 倍。6 倍比問題【含義】 有兩個已知的同類量，其中一個量是另一個量的 若干倍，解題時先求出這個倍數， 再用倍比的方法算出

16、要求的數， 這類應用題叫做倍比問題。【數量關系】 總量*一個數量=倍數另一個數量X倍數=另一總量【解題思路和方法】 先求出倍數，再用倍比關系求出要求 的數。例 1 100 千克油菜籽可以榨油 40 千克，現在有油菜籽 3700 千克，可以榨油多少？解 （1） 3700千克是100千克的多少倍？ 3700 一 100= 37 （倍）（ 2）可以榨油多少千克？40X 37= 1480（千克）列成綜合算式 40 X（ 3700- 100）= 1480 （千克）答：可以榨油 1480 千克。例 2 今年植樹節這天，某小學 300 名師生共植樹 400 棵， 照這樣計算，全縣 48000 名師生共植樹多

17、少棵？解（1）48000名是300名的多少倍？48000 一 300= 160（倍）2）共植樹多少棵？400X 160= 64000（棵）列成綜合算式400 X（ 48000一 300）= 64000 （棵）答：全縣 48000 名師生共植樹 64000 棵。例 3 鳳翔縣今年蘋果大豐收，田家莊一戶人家 4 畝果園收 入 11111 元，照這樣計算， 全鄉 800 畝果園共收入多少元？全縣 16000 畝果園共收入多少元？解 （1） 800畝是4畝的幾倍？800 + 4 = 200 （倍）（2） 800 畝收入多少元？11111 X 200= 2222200（元）（3） 16000 畝是 80

18、0 畝的幾倍？16000 一 800= 20 （倍）（ 4） 16000 畝收入多少元？ 2222200 X 20= 44444000（元）答：全鄉 800 畝果園共收入 2222200 元，全縣 16000 畝果園共收入 44444000 元。7 相遇問題含義】 兩個運動的物體同時由兩地出發相向而行，在途中相遇。這類應用題叫做相遇問題。【數量關系】相遇時間=總路程一（甲速+乙速）總路程=（甲速+乙速）X相遇時間【解題思路和方法】 簡單的題目可直接利用公式，復雜的 題目變通后再利用公式。例 1 南京到上海的水路長 392 千米，同時從兩港各開出一 艘輪船相對而行，從南京開出的船每小時行 28

19、千米，從上海開 出的船每小時行 21 千米，經過幾小時兩船相遇？解 392 -（ 28+ 21）= 8 （小時）答：經過 8 小時兩船相遇。例 2 小李和小劉在周長為 400 米的環形跑道上跑步，小李 每秒鐘跑 5米，小劉每秒鐘跑 3 米，他們從同一地點同時出發， 反向而跑，那么，二人從出發到第二次相遇需多長時間？解 “第二次相遇”可以理解為二人跑了兩圈因此總路程為400 X 2相遇時間=(400X 2)-( 5+ 3)= 100 (秒)答：二人從出發到第二次相遇需 100 秒時間。例 3 甲乙二人同時從兩地騎自行車相向而行，甲每小時行1 5千米，乙每小時行 1 3千米，兩人在距中點 3千米處

20、相遇，求 兩地的距離。解 “兩人在距中點 3 千米處相遇” 是正確理解本題題意的 關鍵。從題中可知甲騎得快，乙騎得慢，甲過了中點 3 千米，乙 距中點 3 千米，就是說甲比乙多走的路程是 (3X 2)千米，因此，相遇時間=(3X 2)-( 15- 13)= 3 (小時)兩地距離=(15+ 13)X 3= 84 (千米)答：兩地距離是 84 千米。追及問題【含義】 兩個運動物體在不同地點同時出發（或者在同一 地點而不是同時出發， 或者在不同地點又不是同時出發） 作同向 運動，在后面的， 行進速度要快些， 在前面的， 行進速度較慢些， 在一定時間之內， 后面的追上前面的物體。 這類應用題就叫做追

21、及問題。【數量關系】追及時間=追及路程+（快速-慢速）追及路程=（快速慢速）X追及時間【解題思路和方法】 簡單的題目直接利用公式，復雜的題 目變通后利用公式。例 1 好馬每天走 120 千米，劣馬每天走 75 千米，劣馬先走 12 天，好馬幾天能追上劣馬？解 （1 ）劣馬先走12天能走多少千米？75 X 12= 900 （千米）（2）好馬幾天追上劣馬？900 -（ 120 75）= 20 （天）列成綜合算式 75 X 12- （120 75） = 900- 45= 20 （天）答：好馬 20 天能追上劣馬例 2 小明和小亮在 200 米環形跑道上跑步，小明跑一圈用40 秒，他們從同一地點同時出

22、發，同向而跑。小明第一次追上 小亮時跑了 500 米，求小亮的速度是每秒多少米。解 小明第一次追上小亮時比小亮多跑一圈，即 200 米，此 時小亮跑了（ 500 200）米，要知小亮的速度，須知追及時間， 即小明跑 500米所用的時間。又知小明跑 200米用 40秒，則跑 500米用40X（ 500一200）秒，所以小亮的速度是（500- 200）-： 40X（ 500- 200）=300- 100= 3 （米）答：小亮的速度是每秒 3米。例 3 我人民解放軍追擊一股逃竄的敵人，敵人在下午 16 點開始從甲地以每小時 10千米的速度逃跑， 解放軍在晚上 22點 接到命令，以每小時 30千米的速

23、度開始從乙地追擊。已知甲乙 兩地相距 60 千米，問解放軍幾個小時可以追上敵人？解 敵人逃跑時間與解放軍追擊時間的時差是( 22 16)小 時，這段時間敵人逃跑的路程是10 X( 22- 6)千米，甲乙 兩地相距 60 千米。由此推知追及時間=10X( 22-6)+ 60-( 30-10)=220 一 20 = 11 (小時)答：解放軍在 11 小時后可以追上敵人。例 4 一輛客車從甲站開往乙站， 每小時行 48 千米；一輛貨 車同時從乙站開往甲站，每小時行 40 千米，兩車在距兩站中點 16 千米處相遇，求甲乙兩站的距離。解 這道題可以由相遇問題轉化為追及問題來解決。從題中 可知客車落后于貨

24、車( 16X 2)千米，客車追上貨車的時間就是 前面所說的相遇時間，這個時間為16 X 2-( 48- 40)= 4 (小時)所以兩站間的距離為(48 + 40)X 4= 352 (千米)列成綜合算式( 48 40)X 16X 2-( 48- 40)= 88X 4=352 （千米）答：甲乙兩站的距離是 352 千米。例 5 兄妹二人同時由家上學， 哥哥每分鐘走 90 米，妹妹每 分鐘走 60 米。哥哥到校門口時發現忘記帶課本，立即沿原路回 家去取，行至離校 180 米處和妹妹相遇。問他們家離學校有多 遠？解 要求距離，速度已知，所以關鍵是求出相遇時間。從題 中可知，在相同時間（從出發到相遇）內

25、哥哥比妹妹多走（ 180 X 2）米，這是因為哥哥比妹妹每分鐘多走（90 60）米，那么，二人從家出走到相遇所用時間為180 X 2-（ 90 60）= 12 （分鐘）家離學校的距離為90 X 12 180= 900 （米）答：家離學校有 900 米遠。例 6 孫亮打算上課前 5 分鐘到學校，他以每小時 4 千米的 速度從家步行去學校，當他走了 1 千米時，發現手表慢了 10分 鐘，因此立即跑步前進，到學校恰好準時上課。后來算了一下，如果孫亮從家一開始就跑步， 可比原來步行早 9 分鐘到學校。 求 孫亮跑步的速度。解 手表慢了 10 分鐘，就等于晚出發 10 分鐘，如果按原速 走下去，就要遲到

26、（ 10 5）分鐘，后段路程跑步恰準時到學校， 說明后段路程跑比走少用了（ 105）分鐘。如果從家一開始就 跑步，可比步行少 9分鐘，由此可知，行 1 千米，跑步比步行少 用 9（ 105）分鐘。所以步行1千米所用時間為 19一（ 10 5）=0.25 （小時）=15 （分鐘）跑步1千米所用時間為 15 :9 （10 5） : = 11 （分鐘）跑步速度為每小時1 一 11/60= 5.5 （千米）答：孫亮跑步速度為每小時 5.5 千米。9 植樹問題【含義】 按相等的距離植樹，在距離、棵距、棵數這三個量之間，已知其中的兩個量，要求第三個量，這類應用題叫做植 樹問題。【數量關系】線形植樹棵數=距

27、離+棵距+ 1環形植樹棵數=距離+棵距方形植樹棵數=距離+棵距4三角形植樹棵數=距離+棵距3面積植樹棵數=面積+（棵距X行距）【解題思路和方法】 先弄清楚植樹問題的類型，然后可以 利用公式。例 1 一條河堤 136 米，每隔 2 米栽一棵垂柳，頭尾都栽， 一共要栽多少棵垂柳？解 136 一 2+ 1 = 68+ 1= 69 （棵）答：一共要栽 69 棵垂柳例 2 一個圓形池塘周長為 400 米，在岸邊每隔 4 米栽一棵 白楊樹，一共能栽多少棵白楊樹？解 400 一4= 100 （棵）答：一共能栽 100 棵白楊樹。例 3 一個正方形的運動場，每邊長 220 米，每隔 8 米安裝 一個照明燈，一

28、共可以安裝多少個照明燈？解 220 X 4- 8-4= 110-4= 106 （個）答：一共可以安裝 106 個照明燈。例 4 給一個面積為 96 平方米的住宅鋪設地板磚， 所用地板 磚的長和寬分別是 60 厘米和 40 厘米，問至少需要多少塊地板 磚？解 96 -（ 0.6 X 0.4 ） = 96 一 0.24 = 400 （塊）答：至少需要 400 塊地板磚。例 5 一座大橋長 500 米，給橋兩邊的電桿上安裝路燈，若 每隔 50 米有一個電桿，每個電桿上安裝 2 盞路燈，一共可以安 裝多少盞路燈？解 （1）橋的一邊有多少個電桿？500 一 50+ 1= 11 （個）（2） 橋的兩邊有多

29、少個電桿？11 X 2= 22 （個）（3）大橋兩邊可安裝多少盞路燈？ 22 X 2= 44 （盞）答：大橋兩邊一共可以安裝 44盞路燈。10 年齡問題【含義】 這類問題是根據題目的內容而得名，它的主要特 點是兩人的年齡差不變， 但是，兩人年齡之間的倍數關系隨著年 齡的增長在發生變化。【數量關系】年齡問題往往與和差、和倍、差倍問題有著密 切聯系，尤其與差倍問題的解題思路是一致的，要緊緊抓住“年 齡差不變”這個特點。【解題思路和方法】 可以利用“差倍問題”的解題思路和 方法。例 1 爸爸今年 35 歲，亮亮今年 5 歲，今年爸爸的年齡是亮 亮的幾倍？明年呢？解 35 一 5= 7 (倍)(35+

30、1)一( 5+1)= 6 (倍)答：今年爸爸的年齡是亮亮的 7 倍，明年爸爸的年齡是亮亮的 6 倍。例 2 母親今年 37 歲，女兒今年 7 歲，幾年后母親的年齡是 女兒的 4 倍？解 ( 1 )母親比女兒的年齡大多少歲？37 7= 30(歲)(2)幾年后母親的年齡是女兒的 4倍？ 30-( 4 - 1)- 7 = 3(年)列成綜合算式( 37- 7)-( 4- 1 )- 7= 3(年)答：3 年后母親的年齡是女兒的 4倍。例33年前父子的年齡和是49歲，今年父親的年齡是兒子年齡的4倍，父子今年各多少歲？解 今年父子的年齡和應該比 3年前增加（3X 2）歲，今年二人的年齡和為49 + 3X 2

31、= 55 （歲）把今年兒子年齡作為1倍量，則今年父子年齡和相當于（4 + 1）倍，因此，今年兒子年齡為55 -（ 4+ 1）= 11 （歲）今年父親年齡為11 X 4= 44 （歲）答：今年父親年齡是44歲，兒子年齡是11歲。例4 甲對乙說：“當我的歲數曾經是你現在的歲數時，你 才4歲”。乙對甲說：“當我的歲數將來是你現在的歲數時，你 將61歲”。求甲乙現在的歲數各是多少？解這里涉及到三個年份：過去某一年、今年、將來某一年。列表分析：過去某一今 年將來某一年年甲歲歲61歲乙4歲歲歲因為兩個人的年齡差總相等：4=-= 61 ，也就表中兩個“”表示同一個數，兩個“”表示同一個數。是4, 口，, 6

32、1成等差數列，所以，61應該比4大3個年齡差，因此二人年齡差為（61 4） 一 3= 19 （歲）甲今年的歲數為 = 61 19= 42 （歲）乙今年的歲數為 = 42 19 = 23 （歲）答：甲今年的歲數是 42歲，乙今年的歲數是23歲11行船問題【含義】行船問題也就是與航行有關的問題。解答這類問題要弄清船速與水速，船速是船只本身航行的速度， 也就是船只 在靜水中航行的速度； 水速是水流的速度， 船只順水航行的速度 是船速與水速之和；船只逆水航行的速度是船速與水速之差。【數量關系】（順水速度+逆水速度）* 2=船速（順水速度逆水速度）*2 =水速順水速=船速X 2逆水速=逆水速+水速X 2

33、逆水速=船速X 2順水速=順水速水速X 2【解題思路和方法】 大多數情況可以直接利用數量關系的 公式。例 1 一只船順水行 320千米需用 8 小時，水流速度為每小時 15 千米，這只船逆水行這段路程需用幾小時？解 由條件知，順水速=船速+水速= 320 一 8,而水速為每 小時15千米，所以，船速為每小時320 一 8 15= 25 （千米）船的逆水速為 25 15= 10（千米）船逆水行這段路程的時間為320 - 10= 32 （小時）答：這只船逆水行這段路程需用 32 小時。例 2 甲船逆水行 360 千米需 18 小時，返回原地需 10 小時； 乙船逆水行同樣一段距離需 15 小時，返

34、回原地需多少時間？解由題意得甲船速+水速=360* 10= 36甲船速水速=360* 18 = 20可見 （3620）相當于水速的 2 倍，所以， 水速為每小時（ 36 20）* 2= 8（千米）又因為， 乙船速水速= 360* 15，所以， 乙船速為 360 * 15+ 8= 32（千米）乙船順水速為 32 + 8= 40（千米）所以， 乙船順水航行 360千米需要360 * 40= 9（小時）答：乙船返回原地需要 9 小時。例 3 一架飛機飛行在兩個城市之間，飛機的速度是每小時 576千米，風速為每小時 24 千米，飛機逆風飛行 3小時到達， 順風飛回需要幾小時？解 這道題可以按照流水問題

35、來解答。（1）兩城相距多少千米？（576 24） X 3= 1656 （千米）（ 2）順風飛回需要多少小時？1656 -（ 576 + 24） = 2.76 （小時）列成綜合算式（576 24） X 3一（ 576+ 24）=2.76 （小時）答：飛機順風飛回需要 2.76 小時。12 列車問題【含義】 這是與列車行駛有關的一些問題，解答時要注意 列車車身的長度。【數量關系】 火車過橋：過橋時間=（車長+橋長）車火車追及：追及時間=（甲車長+乙車長+距離）一（甲車速一乙車速）火車相遇：相遇時間=（甲車長+乙車長+距離）一（甲車速+乙車速）【解題思路和方法】大多數情況可以直接利用數量關系的公式。

36、例 1 一座大橋長 2400 米，一列火車以每分鐘 900 米的速度 通過大橋， 從車頭開上橋到車尾離開橋共需要 3 分鐘。 這列火車 長多少米？解 火車 3 分鐘所行的路程， 就是橋長與火車車身長度的和。（1）火車3分鐘行多少米？ 900 X 3= 2700 （米）2）這列火車長多少米？2700 2400= 300（米）列成綜合算式900 X 3-2400= 300 （米）答：這列火車長 300 米。例 2 一列長 200米的火車以每秒 8米的速度通過一座大橋， 用了 2 分 5 秒鐘時間，求大橋的長度是多少米？解 火車過橋所用的時間是 2 分 5 秒= 125 秒，所走的路程是 （ 8X

37、125）米，這段路程就是（ 200 米橋長），所以，橋長為8 X 125-200= 800 （米）答：大橋的長度是 800 米。例 3 一列長 225 米的慢車以每秒 17 米的速度行駛， 一列長140 米的快車以每秒 22 米的速度在后面追趕，求快車從追上到 追過慢車需要多長時間？解 從追上到追過，快車比慢車要多行（ 225140）米，而 快車比慢車每秒多行（ 22- 17）米，因此，所求的時間為（225+ 140）-（ 22- 17）= 73 （秒）答：需要 73 秒。例 4 一列長 150 米的列車以每秒 22 米的速度行駛， 有一個 扳道工人以每秒 3 米的速度迎面走來， 那么，火車從

38、工人身旁駛 過需要多少時間？解 如果把人看作一列長度為零的火車，原題就相當于火車 相遇問題。150 -（ 22+ 3）= 6 （秒）答：火車從工人身旁駛過需要 6 秒鐘。例 5 一列火車穿越一條長 2000 米的隧道用了 88 秒，以同 樣的速度通過一條長 1250 米的大橋用了 58 秒。求這列火車的車 速和車身長度各是多少？解 車速和車長都沒有變，但通過隧道和大橋所用的時間不 同，是因為隧道比大橋長。可知火車在（ 88 58）秒的時間內行 駛了（ 20001250）米的路程，因此，火車的車速為每秒（2000- 1250）一（ 88- 58）= 25 （米）進而可知，車長和橋長的和為（25

39、X 58）米，因此，車長為25X 58- 1250= 200（米）答：這列火車的車速是每秒 25 米，車身長 200米。13 時鐘問題【含義】 就是研究鐘面上時針與分針關系的問題，如兩針 重合、兩針垂直、兩針成一線、兩針夾角為 60 度等。時鐘問題 可與追及問題相類比。【數量關系】 分針的速度是時針的 12 倍， 二者的速度差為 11/12 。 通常按追及問題來對待， 也可以按差倍問題來計算。【解題思路和方法】 變通為“追及問題”后可以直接利用 公式。例 1 從時針指向 4 點開始，再經過多少分鐘時針正好與分針重合？解 鐘面的一周分為 60 格，分針每分鐘走一格， 每小時走 60 格；時針每小

40、時走5格，每分鐘走5/60 = 1/12格。每分鐘分針 比時針多走(1 1/12 ) = 11/12格。4點整，時針在前，分針在 后，兩針相距 20 格。所以分針追上時針的時間為20 -( 1 1/12 ) 22 (分)答：再經過 22 分鐘時針正好與分針重合。例 2 四點和五點之間，時針和分針在什么時候成直角？解 鐘面上有 60 格，它的 1/4 是 15 格，因而兩針成直角的 時候相差 15格(包括分針在時針的前或后 15格兩種情況)。四 點整的時候，分針在時針后(5X 4)格，如果分針在時針后與它 成直角，那么分針就要比時針多走(5X4 15)格，如果分針在時針前與它成直角，那么分針就要

41、比時針多走(5X 4+ 15)格。再根據 1 分鐘分針比時針多走( 11/12)格就可以求出二 針成直角的時間。(5X 4 15) -( 1 1/12 )6 (分)(5X 4 + 15) -( 1 1/12 )38 (分)答：4點 06分及 4點 38分時兩針成直角。例 3 六點與七點之間什么時候時針與分針重合？解 六點整的時候，分針在時針后（5X 6）格，分針要與時 針重合，就得追上時針。這實際上是一個追及問題。（5X 6）-（ 1-1/12 ）33 （分）答：6點 33 分的時候分針與時針重合。14 盈虧問題【含義】 根據一定的人數，分配一定的物品，在兩次分配 中，一次有余（盈），一次不足

42、（虧），或兩次都有余，或兩次 都不足，求人數或物品數，這類應用題叫做盈虧問題。【數量關系】次虧，則有：一般地說，在兩次分配中，如果一次盈，參加分配總人數=（盈+虧）+分配差如果兩次都盈或都虧，則有：參加分配總人數=（大盈-小盈）+分配差參加分配總人數=（大虧小虧）+分配差【解題思路和方法】 大多數情況可以直接利用數量關系的 公式。例 1 給幼兒園小朋友分蘋果， 若每人分 3個就余 11 個；若 每人分 4 個就少 1 個。問有多少小朋友？有多少個蘋果？解 按照“參加分配的總人數=（盈+虧）+分配差”的數 量關系：（1） 有小朋友多少人？（11 + 1）一（ 4 3）= 12 （人）（2） 有多

43、少個蘋果？3 X 12+ 11 = 47 （個）答：有小朋友 12 人，有 47 個蘋果。例 2 修一條公路，如果每天修 260 米，修完全長就得延長8 天；如果每天修 300 米，修完全長仍得延長 4 天。這條路全長多少米？解 題中原定完成任務的天數，就相當于“參加分配的總人 數”，按照“參加分配的總人數=(大虧小虧)+分配差”的 數量關系，可以得知原定完成任務的天數為(260X 8 300 X 4) -( 300 260)= 22 (天)這條路全長為300 X( 22 + 4)= 7800 (米)答：這條路全長 7800 米。例 3 學校組織春游，如果每輛車坐 40 人，就余下 30 人；

44、 如果每輛車坐 45 人，就剛好坐完。問有多少車？多少人？解 本題中的車輛數就相當于“參加分配的總人數”，于是 就有(1)有多少車？( 30 0)-( 45 40)= 6 (輛)( 2)有多少人？40 X 630= 270(人)答：有 6 輛車，有 270 人。15 工程問題【含義】 工程問題主要研究工作量、工作效率和工作時間 三者之間的關系。 這類問題在已知條件中， 常常不給出工作量的 具體數量，只提出“一項工程”、 “一塊土地”、 “一條水渠”、 “一件工作”等，在解題時，常常用單位“ 1”表示工作總量。【數量關系】 解答工程問題的關鍵是把工作總量看作 “ 1 這樣，工作效率就是工作時間的

45、倒數 （它表示單位時間內完成工 作總量的幾分之幾），進而就可以根據工作量、工作效率、工作 時間三者之間的關系列出算式。工作量=工作效率X工作時間工作時間=工作量+工作效率工作時間=總工作量+（甲工作效率+乙工作效率）解題思路和方法】 變通后可以利用上述數量關系的公式。例 1 一項工程，甲隊單獨做需要 10 天完成，乙隊單獨做 需要 15 天完成，現在兩隊合作，需要幾天完成？解 題中的“一項工程”是工作總量，由于沒有給出這項工 程的具體數量，因此，把此項工程看作單位“ 1”。由于甲隊獨 做需 10 天完成，那么每天完成這項工程的 1/10 ；乙隊單獨做需 15 天完成，每天完成這項工程的 1/1

46、5 ；兩隊合做，每天可以完 成這項工程的( 1/10 1/15 )。由此可以列出算式：1一( 1/10 + 1/15 )= 1 一 1/6 = 6 (天)答：兩隊合做需要 6天完成。例 2 一批零件，甲獨做 6 小時完成，乙獨做 8 小時完成。 現在兩人合做，完成任務時甲比乙多做24 個，求這批零件共有多少個？解 設總工作量為 1 ，則甲每小時完成 1/6 ，乙每小時完成 1/8 ，甲比乙每小時多完成( 1/6 1/8 )，二人合做時每小時完 成(1/6 + 1/8 )。因為二人合做需要1一( 1/6 + 1/8 )小時， 這個時間內，甲比乙多做 24 個零件，所以( 1)每小時甲比乙多做多少

47、零件？24 一 1 -( 1/6 + 1/8 ) = 7 (個)2)這批零件共有多少個？7 -( 1/6 - 1/8 ) = 168 (個)答：這批零件共有 168 個。解二 上面這道題還可以用另一種方法計算：兩人合做，完成任務時甲乙的工作量之比為 1/6 : 1/8 = 4 :3由此可知，甲比乙多完成總工作量的4 3 / 4 + 3 = 1/7所以，這批零件共有 24 一 1/7 = 168 （個）例 3 一件工作， 甲獨做 12 小時完成， 乙獨做 10小時完成， 丙獨做 15小時完成。現在甲先做 2小時，余下的由乙丙二人合 做，還需幾小時才能完成？解 必須先求出各人每小時的工作效率。如果

48、能把效率用整 數表示，就會給計算帶來方便，因此，我們設總工作量為12、10、和 15 的某一公倍數，例如最小公倍數 60，則甲乙丙三人的 工作效率分別是60 12= 5 60 10 = 6 60 15 = 4因此余下的工作量由乙丙合做還需要(60 5X2)-( 6+ 4)= 5 (小時)答：還需要 5 小時才能完成。例 4 一個水池，底部裝有一個常開的排水管，上部裝有若 干個同樣粗細的進水管。 當打開 4 個進水管時， 需要 5小時才能 注滿水池；當打開 2 個進水管時，需要 15 小時才能注滿水池； 現在要用 2 小時將水池注滿，至少要打開多少個進水管？解 注(排)水問題是一類特殊的工程問題

49、。往水池注水或 從水池排水相當于一項工程， 水的流量就是工作量， 單位時間內 水的流量就是工作效率。要 2 小時內將水池注滿，即要使 2 小時內的進水量與排水量 之差剛好是一池水。 為此需要知道進水管、 排水管的工作效率及 總工作量(一池水)。只要設某一個量為單位 1，其余兩個量便 可由條件推出。我們設每個同樣的進水管每小時注水量為 1，則 4 個進水管 5 小時注水量為(1X 4X 5) , 2個進水管15小時注水量為(1X 2 X 15)，從而可知每小時的排水量為(1X 2X 15 1X 4X 5) -(15 5)=即一個排水管與每個進水管的工作效率相同。由此可知一池水的總工作量為1 x

50、4 x 5- 1X 5= 15又因為在2小時內，每個進水管的注水量為1 x 2,所以， 2 小時內注滿一池水至少需要多少個進水管？（ 15+ 1X 2）一（ 1X 2）=8.5 9 （個）答：至少需要 9 個進水管。16 正反比例問題【含義】 兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著 變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的比的比值一定 （即商一 定），那么這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關系叫做正比 例關系。正比例應用題是正比例意義和解比例等知識的綜合運 用。兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果 這兩種量中相對應的兩個數的積一定， 這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關系叫做反

51、比例關系。 反比例應用題是反比例的意 義和解比例等知識的綜合運用【數量關系】 判斷正比例或反比例關系是解這類應用題的 關鍵。許多典型應用題都可以轉化為正反比例問題去解決， 而且 比較簡捷。【解題思路和方法】 解決這類問題的重要方法是：把分率(倍數)轉化為比，應用比和比例的性質去解應用題。正反比例問題與前面講過的倍比問題基本類似。例 1 修一條公路，已修的是未修的 1/3 ，再修 300 米后， 已修的變成未修的 1/2 ，求這條公路總長是多少米？解 由條件知，公路總長不變。原已修長度：總長度=1 ：( 1 + 3)= 1 : 4= 3 : 12現已修長度：總長度=1 ：( 1 + 2)= 1

52、: 3= 4 : 12比較以上兩式可知，把總長度當作 12 份，則 300米相當于(4-3)份，從而知公路總長為300 - (4-3) X 12 = 3600(米)答： 這條公路總長 3600 米。例 2 張晗做 4 道應用題用了 28 分鐘，照這樣計算， 91 分 鐘可以做幾道應用題？解 做題效率一定，做題數量與做題時間成正比例關系設91分鐘可以做X應用題 則有28 : 4= 91 : X28X = 91 X 4 X = 91 X 4 -28 X = 13答：91 分鐘可以做 13 道應用題。例 3 孫亮看十萬個為什么這本書，每天看 24 頁，15 天看完，如果每天看 36 頁，幾天就可以看

53、完？解 書的頁數一定，每天看的頁數與需要的天數成反比例關 系設X天可以看完，就有 24 : 36= X： 1536X=24X15 X=10答：10天就可以看完例4 一個大矩形被分成六個小矩形，其中四個小矩形的面 積如圖所示，求大矩形的面積。A225036B16解 由面積一寬=長可知，當長一定時，面積與寬成正比，所以每一上下兩個小矩形面積之比就等于它們的寬的正比。又因為第一行三個小矩形的寬相等，第二行三個小矩形的寬也相等。因此，A： 36= 20 : 1625 : B= 20 : 16解這兩個比例，得 A = 45 B = 20所以，大矩形面積為 45 + 36 + 25+ 20+ 20+ 16

54、= 162答：大矩形的面積是16217按比例分配問題【含義】 所謂按比例分配，就是把一個數按照一定的比分 成若干份。 這類題的已知條件一般有兩種形式： 一是用比或連比 的形式反映各部分占總數量的份數，另一種是直接給出份數。【數量關系】 從條件看，已知總量和幾個部分量的比；從 問題看，求幾個部分量各是多少。總份數=比的前后項之和【解題思路和方法】 先把各部分量的比轉化為各占總量的 幾分之幾， 把比的前后項相加求出總份數， 再求各部分占總量的 幾分之幾（以總份數作分母，比的前后項分別作分子），再按照 求一個數的幾分之幾是多少的計算方法，分別求出各部分量的 值。例 1 學校把植樹 560 棵的任務按

55、人數分配給五年級三個 班，已知一班有 47 人，二班有 48 人，三班有 45 人，三個班各 植樹多少棵？解 總份數為47 + 48 + 45= 140一班植樹 560 X 47/140 = 188 （棵）二班植樹 560 X 48/140 = 192 （棵）三班植樹560 X 45/140 = 180 （棵） 答：一、二、三班分別植樹 188 棵、192 棵、180 棵。例 2 用 60 厘米長的鐵絲圍成一個三角形， 三角形三條邊的比是3 : 4 : 5。三條邊的長各是多少厘米？解 3 + 4 + 5= 12 60 X 3/12 = 15 （厘米）60 X 4/12 = 20 （厘米）60 X 5/12 = 25（厘米）答：三角形三條邊的長分別是 15 厘米、 20 厘米、25 厘米。例 3 從前有個牧民， 臨死前留下遺言， 要把 17 只羊分給三 個兒子，大兒子分總數的 1 /2 ，二