1、地鐵隧道中心三維坐標(biāo)推算方法解析宋洋 （中鐵十七局集團(tuán)上海軌道交通工程有限公司 上海 200135）摘要：列車(chē)在曲線軌道上行駛時(shí),由于超高的存在,車(chē)輛向曲線內(nèi)側(cè)傾斜。因此,在曲線地段的隧道斷面內(nèi)側(cè)尺寸會(huì)增大。采用盾構(gòu)法施工的圓形隧道,其斷面半徑也就會(huì)增大,并出現(xiàn)斷面內(nèi)側(cè)得到有效的利用,而斷面外側(cè)不能充分利用的情形。如果將地鐵在曲線地段隧道的施工中線相對(duì)于線路設(shè)計(jì)中線向內(nèi)側(cè)偏移某一個(gè)量,便可節(jié)省曲線隧道開(kāi)挖斷面尺寸,降低地鐵建造成本。討論了地鐵曲線隧道施工中線相對(duì)于線路設(shè)計(jì)中線偏移量的計(jì)算,以及根據(jù)偏移量進(jìn)行地鐵曲線隧道施工中線上各點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算。關(guān)鍵詞：曲線隧道施工中線偏移量計(jì)算坐標(biāo)計(jì)算1 地鐵

2、曲線隧道施工中線偏移量的計(jì)算在盾構(gòu)推進(jìn)過(guò)程中, 我們要測(cè)定盾構(gòu)中心的位置以糾正盾構(gòu)定位的姿態(tài)。值得指出的是: 隧道中心的設(shè)計(jì)坐標(biāo)在直線上很容易計(jì)算, 而在彎道上的計(jì)算不同于地面上曲線的計(jì)算方法。在細(xì)部曲線放樣中, 由于存在超高h(yuǎn) 和超距e, 這時(shí)就存在設(shè)計(jì)曲線與施工曲線不一致的情況, 如圖1 (a)。因?yàn)樵O(shè)計(jì)曲線指的是隧道內(nèi)鋪設(shè)軌道中心的曲線, 即如圖1(b)中實(shí)線部分中心的軌跡, 而施工是要確定隧道中心的曲線即盾構(gòu)推進(jìn)的曲線, 即如圖1(b) 中虛線部分中心的軌跡; 盾構(gòu)推進(jìn)曲線圓心與設(shè)計(jì)曲線圓心重合。在緩和曲線上超距逐漸增大或減小, 而在直線上超距為零。(a) (b)圖1隧道中心曲線的曲率

3、半徑應(yīng)按 r = r - e 來(lái)計(jì)算各點(diǎn) 坐標(biāo)。列車(chē)在曲線上行駛,車(chē)輛向曲線內(nèi)側(cè)傾斜。如圖2所示, h為外軌超高, s 為兩股鋼軌中心線間距離, h為車(chē)輛中心在軌頂線以上的高度。因此, 由于外軌超高產(chǎn)生的車(chē)輛中心偏移量為e=圖2采用盾構(gòu)法施工的圓形隧道,在曲線地段施工中線相對(duì)于線路設(shè)計(jì)中線向曲線內(nèi)側(cè)偏移量為 。在直線地段,施工中線和設(shè)計(jì)中線重合,施工中線偏移量應(yīng)在緩和曲線范圍內(nèi)平順變化,在圓曲線部分保持所計(jì)算的偏移量。2 地鐵曲線隧道偏移施工中線坐標(biāo)的計(jì)算2.1曲線設(shè)計(jì)中線坐標(biāo)計(jì)算2.1.1直線段上任意一點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算已知設(shè)計(jì)軸線方位角為fo，連續(xù)墻內(nèi)側(cè)起始坐標(biāo)（xo，yo），里程so，第一環(huán)洞

4、內(nèi)留量t或緩直點(diǎn)坐標(biāo)，里程，緩直點(diǎn)在管片上距小里程的距離為t，直線段全為標(biāo)準(zhǔn)型管片，直線段第k環(huán)管片坐標(biāo)為2.1.2 緩和曲線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算在求緩和曲線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，建立以zh 點(diǎn)為原點(diǎn)，過(guò)zh點(diǎn)的緩和曲線切線為x軸，zh 點(diǎn)上緩和曲線的半徑為y軸的直角坐標(biāo)系，即切線支距法。采用切線支距法計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)緩和曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為: 在切線支距法的直角坐標(biāo)系中，標(biāo)準(zhǔn)緩和曲線上任意一點(diǎn)的切線方位角為，任意一點(diǎn)處的偏移量為，根據(jù)坐標(biāo)正算得到偏移后的任意點(diǎn)坐標(biāo)為: 公式簡(jiǎn)化好，即為：式中: 為緩和曲線長(zhǎng)，為以zh點(diǎn)起算的弧長(zhǎng)，e為超距即偏移量，r為圓曲線半徑?？紤]曲線的偏轉(zhuǎn)方向，進(jìn)行如下坐標(biāo)轉(zhuǎn)換:

5、前緩和曲線: 后緩和曲線:此法在推導(dǎo)緩和曲線隧道中心平面坐標(biāo)的計(jì)算公式時(shí)，采用切線支距法，從標(biāo)準(zhǔn)緩和曲線的公式出發(fā)，并顧及超距e的設(shè)計(jì)分布情況，先得到隧道中心在切線支距法的直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，然后根據(jù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換來(lái)得到隧道中心的施工坐標(biāo)。從推導(dǎo)的原理和過(guò)程來(lái)看，上述公式完全可靠，且能夠保證精度要求，可以應(yīng)用于實(shí)踐。2.1.3圓曲線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算這里我們分為對(duì)稱(chēng)緩和曲線和非對(duì)稱(chēng)緩和曲線兩種情況來(lái)考慮。圖3 圖42.1.3.1 對(duì)稱(chēng)緩和曲線一般情況下，在隧道平面線路設(shè)計(jì)圖中都給出了交點(diǎn)的坐標(biāo)，可以先求出外矢距 (圖3):根據(jù)s=e+r求得交點(diǎn)到圓心的距離，而交點(diǎn)到圓心的方位角為，由此可以得到圓心

6、坐標(biāo)（xo，yo）：式中: ， 為交點(diǎn)坐標(biāo)，a為前緩和曲線起點(diǎn)的切線方位角，為偏角(即線路轉(zhuǎn)向角)，r為圓曲線半徑，為緩和曲線長(zhǎng)。得到圓心坐標(biāo)后，圓曲線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算公式如下:其中: ，為圓心坐標(biāo)，b為圓心到曲線中點(diǎn)的方位角，且 ，l為曲線中點(diǎn)到圓曲線上所求點(diǎn)s到qz點(diǎn)的弧長(zhǎng)。此法在推導(dǎo)圓曲線隧道中心平面坐標(biāo)的計(jì)算公式時(shí)，先通過(guò)交點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算得到圓心坐標(biāo)，然后根據(jù)圓心坐標(biāo)計(jì)算圓曲線上任意一點(diǎn)的施工坐標(biāo)。從推導(dǎo)的原理和過(guò)程來(lái)看，在計(jì)算圓心坐標(biāo)時(shí)，針對(duì)對(duì)稱(chēng)緩和曲線的特點(diǎn)，推算交點(diǎn)到圓心的距離和方位角的精度完全可靠，且圓心坐標(biāo)的精度等同于交點(diǎn)坐標(biāo)的精度;在計(jì)算施工坐標(biāo)時(shí)，考慮超距e在圓曲線上的設(shè)

7、計(jì)分布情況，以圓心坐標(biāo)為基準(zhǔn)采用坐標(biāo)正算的方法推算圓曲線上任意一點(diǎn)的施工坐標(biāo)，能夠保證精度要求。2.1.3.2非對(duì)稱(chēng)緩和曲線這里就不能根據(jù)上面的計(jì)算方法了，因?yàn)樵诜菍?duì)稱(chēng)緩和曲線上交點(diǎn)到圓心的方位角和距離都難以求出。我們選擇另外一種計(jì)算方法:從圖4中可以得出hy點(diǎn)至圓心的方位角為,由此可以得到圓心坐標(biāo)（xo，yo）：式中: ，為hy點(diǎn)坐標(biāo)，a為前緩和曲線起點(diǎn)的切線方位角，為偏角(即線路轉(zhuǎn)向角)，為hy 點(diǎn)的切線與前緩和曲線起點(diǎn)切線的交角，且，為緩和曲線長(zhǎng)，r為圓曲線半徑。得到圓心坐標(biāo)后，圓曲線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算公式如下:其中：xo，yo為圓心坐標(biāo)，c 為圓心到hy 點(diǎn)的方位角，且,為圓曲線上所

8、求點(diǎn)s到hy 點(diǎn)的弧長(zhǎng)，且。此法在推導(dǎo)圓曲線隧道中心平面標(biāo)的計(jì)算公式時(shí)，先通過(guò)hy點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算得到圓心坐標(biāo)，然后根據(jù)圓心坐標(biāo)計(jì)算圓曲線上任意一點(diǎn)的施工坐標(biāo)。從推導(dǎo)的原理和過(guò)程來(lái)看，在計(jì)算圓心坐標(biāo)時(shí)，根據(jù)hy點(diǎn)的切線與前緩和曲線起點(diǎn)切線的交角(即hy點(diǎn)的緩和曲線角度)，推算hy點(diǎn)到圓心的方位角，精度可靠，且圓心坐標(biāo)的精度等同于hy點(diǎn)坐標(biāo)的精度;在計(jì)算施工坐標(biāo)時(shí)，考慮超距e在圓曲線上的設(shè)計(jì)分布情況，以圓心坐標(biāo)為基準(zhǔn)采用坐標(biāo)正算的方法推算圓曲線上任意一點(diǎn)的施工坐標(biāo)，能夠保證精度要求。另外，我們也可以根據(jù)隧道平面線路設(shè)計(jì)圖上給出的hy點(diǎn)、yh點(diǎn)的坐標(biāo)和曲線偏轉(zhuǎn)方向來(lái)求得圓心坐標(biāo)和圓心至hy點(diǎn)的方位角。這

9、里圓心坐標(biāo)和圓心至hy點(diǎn)的方位角的計(jì)算比較簡(jiǎn)單，不再敘述。這種方法對(duì)于對(duì)稱(chēng)和非對(duì)稱(chēng)緩和曲線都是可以計(jì)算的，但在精度上比前面的方法低一點(diǎn)。因?yàn)楦鶕?jù)hy點(diǎn)和yh點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)計(jì)算圓心坐標(biāo)時(shí)，由于起算點(diǎn)坐標(biāo)的精度影響了圓心坐標(biāo)和圓心至hy點(diǎn)方位角的精度，由此來(lái)計(jì)算圓曲線上任意點(diǎn)的坐標(biāo)，對(duì)于半徑越大的圓曲線來(lái)說(shuō)，偏差就越大。根據(jù)杭州地鐵1號(hào)線8號(hào)盾構(gòu)紅普路站至九堡站區(qū)間隧道中心線的計(jì)算，與設(shè)計(jì)單位提供的隧道中心設(shè)計(jì)坐標(biāo)的平面偏差都在1.5cm以內(nèi)，滿足施工要求。2.2 豎曲線計(jì)算 豎曲線計(jì)算有直線上、下坡、凸曲線、凹曲線4種形式。2.2.1直線上、下坡已知點(diǎn)高程h0、坡度i、管片寬度l，則圖5 圖62.2

10、.2凸曲線如圖5所示，已知豎曲線半徑r，坡度i1和i2，、點(diǎn)高程分別為h1、h2、h3，e為外矢距，t為切線長(zhǎng)，為曲折角，l1為曲線長(zhǎng)。1）、圓曲線r很大，很小，所以，i代表變坡點(diǎn)的坡度代數(shù)差。2）、很小，故，則3）、豎曲線長(zhǎng)度（因?yàn)楹苄。?）、豎曲線各點(diǎn)高程及外矢距e因?yàn)楹苄?，故可認(rèn)為y坐標(biāo)與半徑方向一致，認(rèn)為它是切線上與曲線上的高程差，從而得 又y2與x2相比較，其值甚微，可略去不計(jì)。所以由算得高程差y，即可按坡度線上起、終點(diǎn)高程，計(jì)算曲線上各點(diǎn)的高程。又因?yàn)椋?由此凸曲線可分兩段計(jì)算：點(diǎn)間各點(diǎn)高程點(diǎn)間各點(diǎn)高程2.2.3凹曲線 如圖6所示，由凸曲線分析、類(lèi)推，可得凹曲線上各點(diǎn)高程為點(diǎn)間各點(diǎn)高程：點(diǎn)間各點(diǎn)高程：3 結(jié)束語(yǔ)以上概述了地鐵各類(lèi)線段管片三維坐標(biāo)計(jì)算方法。針對(duì)隧道施工中“設(shè)計(jì)曲線”與“隧道中心曲線”在曲線段中存在超高和超距的問(wèn)題, 推導(dǎo)了施工中所需要隧道中心曲線的分段計(jì)算公式, 并編程實(shí)現(xiàn)批量計(jì)算, 從而