1、其中能形成通路的有6種，所以p(通路)=6高考復習專題之：概率與統計一、概率：隨機事件a的概率是頻率的穩定值，反之，頻率是概率的近似值.)隨機事件a的概率0p(a)1，其中當p(a)=1時稱為必然事件；當p(a=0時稱為不可能事件p(a)=0；注：求隨機概率的三種方法：（一）枚舉法例1如圖1所示，有一電路ab是由圖示的開關控制，閉合a，b，c，d，e五個開關中的任意兩個開關，使電路形成通路則使電路形成通路的概率是分析：要計算使電路形成通路的概率，列舉出閉合五個開關中的任意兩個可能出現的結果總數，從中找出能使電路形成通路的結果數，根據概率的意義計算即可。解：閉合五個開關中的兩個，可能出現的結果數

2、有10種，分別是ab、ac、ad、ae、bc、bd、be、cd、ce、de，3=105評注:枚舉法是求概率的一種重要方法,這種方法一般應用于可能出現的結果比較少的事件的概率計算.（二）樹形圖法例2小剛和小明兩位同學玩一種游戲游戲規則為：兩人各執“象、虎、鼠”三張牌，同時各出一張牌定勝負，其中象勝虎、虎勝鼠、鼠勝象，若兩人所出牌相同，則為平局例如，小剛出象牌，小明出虎牌，則小剛勝；又如，兩人同時出象牌，則兩人平局如果用a、b、c分別表示小剛的象、虎、鼠三張牌，用a1、b1、c1分別表示小明的象、虎、鼠三張牌，那么一次出牌小剛勝小明的概率是多少？分析：為了清楚地看出小亮勝小剛的概率，可用樹狀圖列出

3、所有可能出現的結果，并從中找出小剛勝小明可能出現的結果數。解：畫樹狀圖如圖樹狀圖。由樹狀圖（樹形圖）或列表可知，可能出現的結果有9種，而且每種結果出現的可能性相同，其中小剛勝小明的結果有3種所以p（一次出牌小剛勝小明）=13點評:當一事件要涉及兩個或更多的因素時，為了不重不漏地列出所有可能的結果，通過畫樹形圖的方法來計算概率（三）列表法1例3將圖中的三張撲克牌背面朝上放在桌面上，從中隨機摸出兩張，并用這兩張撲克牌上的數字組成一個兩位數請你用畫樹形（狀）圖或列表的方法求：（）組成的兩位數是偶數的概率；（2）組成的兩位數是6的倍數的概率分析：本題可通過列表的方法，列出所有可能組成的兩位數的可能情況

4、，然后再找出組成的兩位數是偶數的可能情況和組成兩位數是6的倍數的可能情況。解：列的表格如下：根據表格可得兩位數有：23，24，32，34，42，43所以（1）兩位數是偶數的概率為231（2）兩位數是6的倍數的概率為3點評：當一事件要涉及兩個或更多的因素時，為了不重不漏地列出所有可能的結果，通過畫樹形圖的方法來計算概率2.等可能事件的概率（古典概率）：p(a)=mn。6、獨立事件重復試驗：事件a在n次獨立重復試驗中恰好發生了k次的概率p(k)=ckpk(1-p)n-k(是二項3、互斥事件：（a、b互斥，即事件a、b不可能同時發生）。計算公式：p(a+b)p(a)+p(b)。4、對立事件：（a、b

5、對立，即事件a、b不可能同時發生，但a、b中必然有一個發生）。計算公式是：p（a）+p(b)；p(a)=1p(a)；5、獨立事件：（事件a、b的發生相互獨立，互不影響）p(ab)p(a)p(b)。提醒：（1）如果事件a、b獨立，那么事件a與b、a與b及事件a與b也都是獨立事件；（2）如果事件a、b相互獨立，那么事件a、b至少有一個不發生的概率是1p（ab）1p(a)p(b)；（3）如果事件a、b相互獨立，那么事件a、b至少有一個發生的概率是1p（ab）1p(a)p(b)。nn展開式(1-p)+pn的第k+1項)，其中p為在一次獨立重復試驗中事件a發生的概率。(提醒：（1）探求一個事件發生的概率

6、，關鍵是分清事件的性質。在求解過程中常應用等價轉化思想和分解分類或分步)轉化思想處理，把所求的事件：轉化為等可能事件的概率(常常采用排列組合的知識)；轉化為若干個互斥事件中有一個發生的概率；利用對立事件的概率，轉化為相互獨立事件同時發生的概率；看作某一事件在n次實驗中恰有k次發生的概率，但要注意公式的使用條件。（2）事件互斥是事件獨立的必要非充分條件，反之，事件對立是事件互斥的充分非必要條件；（3）概率問題的解題規范：先設事件a=“”，b=“”；列式計算；作答。二、隨機變量.1.隨機試驗的結構應該是不確定的.試驗如果滿足下述條件：試驗可以在相同的情形下重復進行；試驗的所有可能結果是明確可知的，

7、并且不止一個；每次試驗總是恰好出現這些結果中的一個，但在一次試驗之前卻不能肯定這次試驗會出現哪一個結果。它就被稱為一個隨機試驗.2.離散型隨機變量：如果對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量.若是一個隨機變量，a，b是常數.則h=ax+b也是一個隨機變量.一般地，若是隨機變量，f(x)是連續函數或單調函數，則f(x)也是隨機變量.也就是說，隨機變量的某些函數也是隨機變量.設離散型隨機變量可能取的值為：x,x,l,x,l12i取每一個值x(i=1,2,l)的概率p(x=x)=p，則表稱為隨機變量的概率分布，簡稱的分布列.1iixx1x2xipp1p2pi

8、有性質：p0,i=1,2,l；p+p+l+p+l=1.112i注意：若隨機變量可以取某一區間內的一切值，這樣的變量叫做連續型隨機變量.例如：x0,5即x可以取05之間的一切數，包括整數、小數、無理數.3.二項分布：如果在一次試驗中某事件發生的概率是p，那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發生k次的概率是：p(=k)=ckpkqn-k其中k=0,1,l,n,q=1-p于是得到隨機變量的概率分布如下：我們稱這樣的n隨機變量服從二項分布，記作xb（np），其中n，p為參數，并記ckpkqn-k=b(k;np).n二項分布的判斷與應用.二項分布，實際是對n次獨立重復試驗.關鍵是看某一事件是否是進行n次

9、獨立重復，且每次試驗只有兩種結果，如果不滿足此兩條件，隨機變量就不服從二項分布.當隨機變量的總體很大且抽取的樣本容量相對于總體來說又比較小，而每次抽取時又只有兩種試驗結果，此時可以把它看作獨立重復試驗，利用二項分布求其分布列.4.幾何分布：“x=k”表示在第k次獨立重復試驗時，事件第一次發生，如果把k次試驗時事件a發生記為a，k事a不發生記為a,p(a)=q，那么p(=k)=p(aalakk12k-1a).根據相互獨立事件的概率乘法分式：kp(=k)=p(a)p(a)lp(a12k-1)p(a)=qk-1p(k=1,2,3,l)于是得到隨機變量的概率分布列.kx123kpqqpq2pqk-1p

10、一離散型隨機變量，分布列為p(=k)=cmcn-m(0km,0n-kn-m).分子是從m件次品中取k件，從我們稱服從幾何分布，并記g(k,p)=qk-1p，其中q=1-p.k=1,2,3l5.超幾何分布：一批產品共有n件，其中有m（mn）件次品，今抽取n(1nn)件，則其中的次品數是kn-kcnnn-m件正品中取n-k件的取法數，如果規定mr時cr=0，則k的范圍可以寫為k=0，1，n.m超幾何分布的另一種形式：一批產品由a件次品、b件正品組成，今抽取n件（1na+b），則次品數的分布列為p(=k)=cacbkn-kcna+bk=0,1,l,n.超幾何分布與二項分布的關系.設一批產品由a件次品

11、、b件正品組成，不放回抽取n件時，其中次品數服從超幾何分布.若放回式抽取，則其中次品數h的分布列可如下求得：把a+b個產品編號，則抽取n次共有(a+b)n個可能結果，等可能：(=k)含ckakbn-k個結果，故p(=k)=cnab(a+b)naan-k,k=0,1,2,l,n，即hb(n).我們先為k個次a+ba+ba+bnkkn-k=cak()k(1-)n品選定位置，共ck種選法；然后每個次品位置有a種選法，每個正品位置有b種選法可以證明：當產品總數n很大而抽取個數不多時，p(=k)p(=k)，因此二項分布可作為超幾何分布的近似，無放回抽樣可近似看作放回抽樣.三、數學期望與方差.1.期望的含

12、義：一般地，若離散型隨機變量的概率分布為xx1x2xipp1p2pi則稱ex=xp+xp+l+xp+l為的數學期望或平均數、均值.數學期望又簡稱期望.數學期望反映了離散型1122nn隨機變量取值的平均水平.2.隨機變量h=ax+b的數學期望：eh=e(ax+b)=aex+b當a=0時，e(b)=b，即常數的數學期望就是這個常數本身.當a=1時，e(x+b)=ex+b，即隨機變量與常數之和的期望等于的期望與這個常數的和.當b=0時，e(ax)=aex，即常數與隨機變量乘積的期望等于這個常數與隨機變量期望的乘積.單點分布：ex=c1=c其分布列為：p(x=1)=c.0兩點分布：ex=0q+1p=p

13、，其分布列為：（p+q=1）1二項分布：ex=kn!pkqn-k=np其分布列為xk!(n-k)!pqp變量的方差與標準差都反映了隨機變量取值的穩定與波動，集中與離散的程度.dx越小，穩定性越高，波b(n,p).（p為發生x的概率）幾何分布：ex=1其分布列為xq(k,p).（p為發生x的概率）p3.方差、標準差的定義：當已知隨機變量的分布列為p(x=x)=p(k=1,2,l)時，則稱kkdx=(x-ex)2p+(x-ex)2p+l+(x-ex)2p+l為的方差.顯然dx0，故sx=dx.sx為的根方差或標準差.隨機1122nn.動越小4.方差的性質.隨機變量h=ax+b的方差d(h)=d(a

14、x+b)=a2dx.（a、b均為常數）單點分布：dx=0其分布列為p(x=1)=p兩點分布：dx=pq其分布列為：（p+q=1）p0q1p二項分布：dx=npq幾何分布：dx=qp25.期望與方差的關系.如果ex和eh都存在，則e(xh)=exeh設和h是互相獨立的兩個隨機變量，則e(xh)=exeh,d(x+h)=dx+dh期望與方差的轉化：dx=ex2-(ex)2e(x-ex)=e(x)-e(ex)（因為ex為一常數）=ex-ex=0.四、正態分布.（基本不列入考試范圍）1.密度曲線與密度函數：對于連續型隨機變量，位于x軸上方，落在任一區間a,b)內的概率等于它與x軸.直線x=a與直線x=

15、b所圍成的曲邊梯形的面積yy=f(x)（如圖陰影部分）的曲線叫的密度曲線，以其作為xab圖像的函數f(x)叫做的密度函數，由于“x(-,+)”是必然事件，故密度曲線與x軸所夾部分面積等于1.2psef2.正態分布與正態曲線：如果隨機變量的概率密度為：(x)=1-(x-m)22s2.（xr,m,s為常數，且sf0），稱服從參數為m,s的正態分布，用xn(m,s2)表示.f(x)的表達式可簡記為n(m,s2)，它的密度曲線簡稱為正態曲線.正態分布的期望與方差：若xn(m,s2)，則的期望與方差分別為：ex=m,dx=s2.正態曲線的性質.曲線在x軸上方，與x軸不相交.曲線關于直線x=m對稱.當x=

16、m時曲線處于最高點，當x向左、向右遠離時，曲線不斷地降低，呈現出“中間高、兩邊低”的鐘形曲線.當xm時，曲線上升；當xm時，曲線下降，并且當曲線向左、向右兩邊無限延伸時，以x軸為漸近線，向x軸無限的靠近.當m一定時，曲線的形狀由s確定，s越大，曲線越“矮胖”.表示總體的分布越分散；s越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中.2pe3.標準正態分布：如果隨機變量的概率函數為j(x)=1-x22(-pxp+)，則稱服從標準正態分布.即f()=0.0793p0.5則0.5-m0.5-msxn(0,1)有j(x)=p(xx)，j(x)=1-j(-x)求出，而p（ab）的計算則是p(apxb)=j(b)-j(a).注意：當標準正態分布的f(x)的x取0時，有f(x)=0.5當f(x)的x取大于0的數時，有f(x)f0.5.比如y必然小于0，如圖.ss正態分布與標準正態分布間的關系：若xn(m,s2)則的分布函數通x常用f(x)表示，且有p(x)=f(x)=j(x-).a標準正態分布曲線s陰=0.5sa=0.5+s4.“3s”原則.