1、 一、宏觀型思想方法 數學思想是數學基礎知識、基本技能的本質體現，是形成數學能力、數學意識的橋梁，是靈活應用數學知識、技能的靈魂。 （一）、轉化(化歸)思想 解決數學問題就是一個不斷轉化的過程，把問題進行變換，使之化繁為簡、化難為易、化生疏為熟悉，變未知為已知，從而使問題得以解決。 不是對原來的問題直接解答，而是想方設法對它進行變形，直到把它轉化成某個（某幾個）已經解決了的問題為止。通過轉化可使原條件中隱含的因素顯露出來，從而縮短已知條件和結論之間的距離，找出它們之間內在的聯系，以便應用有關方法將問題解決。 “轉化”的思想是一種最基本的數學思想。數學解題過程的實質就是轉化過程，具體的說，就是把

2、“新知識”轉化為“舊知識”，把“未知”轉化為“已知”，把“抽象”轉化為“具體”，把“復雜問題”轉化為“簡單問題”，把“高次”轉化為“低次”，在不斷的相互轉化中使問題得到解決。 可運用聯想類比實現轉化、利用“換元”、“添線”、消元法，配方法，進行構造變形實現轉化、數形結合，實現轉化。一般轉化為特殊，有些代數問題，通過構造圖形，化抽象為具體，借助直觀啟發思維，轉化為易解的幾何問題。有些不易解決的幾何題通過輔助線轉化為代數三角的知識來證明，有些結構比較復雜的問題，可以簡化題中某一條件，甚至暫時撇開不顧，先考慮一個簡化的問題，這種簡化題對于證明原題常常能起到引路的作用。把實際問題轉化為數學問題。結合解

3、題進行化歸思想方法的訓練的做法：a、化繁為簡；b、化高維為低維；c、化抽象為具體；d、化非規范性問題為規范性問題；e、化數為形；f、化實際問題為數學問題；g、化綜合為單一；h、化一般為特殊。 有加減法的轉化，乘除法的轉化，乘方與開方的轉化，添輔助線，設輔助元等等都是實現轉化的具體手段。因此，首先要認識到常用的很多數學方法實質就是轉化的方法 應用：A將未知向已知轉化；B將陌生向熟知轉化；C方程之間的轉化；D平面圖形間的轉化；E空間圖形與平面圖形的轉化；F統計圖之間的相互轉化。 例子：減法轉化成加法（減去一個數等于加上這個數的相反數）；除法轉化成乘法（除以一個不等于零的數等于乘以這個數的倒數）；多

4、項式的先化簡再代入求值；單項式乘單項式可化歸為有理數乘法和同底數冪的乘法運算；單項式乘多項式和多項式乘多項式都可以化歸為單項式乘單項式的運算；將求負數的立方根轉化為求正數的立方根的相反數；實數近似運算中據問題需要取近似值，從而轉化為有理數計算；將異分母分式的加減轉化為同分母分式的加減；將分式的除法轉化成分式的乘法；將分式方程轉化為整式方程求解；將分子的次數不低于分母次數的分式用帶余除法轉化為整式部分和分式部分的和；將方程的復雜形式化為最簡形式；通過立方程把實際問題轉化為數學問題；通過解方程把未知轉化為已知；把一元二次方程轉化為一元一次方程求解；把二元二次方程組轉化為二元一次方程組，再轉化為一元

5、一次方程從而求解；通過轉化為解方程實現實數范圍內二次三項式的分解、方程中字母系數的確定；角度關系的證明和計算；平行線的性質和判定；把幾何問題向平行線等簡單的熟悉的基本圖形轉化；特殊化（特殊值法、特殊位置、設項、幾何中添輔助線等）；圖形的變換（軸對稱、平移、旋轉、相似變換）；解斜三角形（多邊形）時將其轉化為解直角三角形； （二）、數形結合思想 數學的研究對象是現實世界中的數量關系（“數”）和空間形式（“形”），而“數”和“形”是相互聯系、相互滲透的，一定條件下也是可以互相轉化的，因此，在解決問題時，常需把同一問題的數量關系與空間形式結合起來考查，利用數的抽象嚴謹和形的直觀表意，把抽象思維和形象思

6、維結合起來，把數量關系問題通過圖形性質進行研究，或者把圖形性質問題通過數量關 1 / 13 系進行研究，從而形成問題解決的一種重要數學思想（以數解形，以形助數）。 數是形的抽象概括，形是數的直觀體現，把數和形結合起來，從而把隱蔽的問題明朗化、抽象的問題直觀化、復雜的問題簡單化，化難為易，達到快速、形象、簡單易行地解決問題的目的。 數形結合思想在數學應用中非常廣泛，它比較適合處理那些數量關系與圖形位置關系可以互相轉化的問題。 應用：A利用數軸確定實數的范圍；B幾何圖形與代數恒等式（或不等式）；C數與形相結合在平面直角坐標系中的應用；D利用函數圖像解決方程、不等式問題；E數與形相結合在函數中的應用

7、；F構造幾何圖形解決代數問題 例如：在數軸上表示數；用數軸描述有理數的有關概念和運算（相反數、絕對值等概念，比較有理數的大小，利用數軸探究有理數的加法法則、乘法法則等）；在數軸上表示不等式的解集；代數的不等式（組）、方程和方程組，幾何的幾乎所有內容；函數方面（建立直角坐標系使點與有序實數對之間建立了一一對應關系，從而具備了數形轉化的重要工具；從解析式和圖像兩個方面來研究函數，能更清晰地把握函數的性質；用圖像解決代數問題如解不等式、解方程和用代數解決幾何問題如通過解析式確定拋物線的對稱軸、開口方向等）； 運用代數、三角比知識通過數量關系的討論去處理幾何圖形的問題；能運用幾何、三角比知識通過對圖形

8、性質的研究去解決數量關系的問題。 數軸上的點與實數的一一對應的關系。平面上的點與有序實數對的一一對應的關系。函數式與圖像之間的關系。線段（角）的和、差、倍、分等問題，充分利用數來反映形。 解三角形，求角度和邊長，引入了三角函數，這是用代數方法解決幾何問題。“圓”這一章中，賀的定義，點與圓、直線與圓、圓與圓的位置關系等都是化為數量關系來處理的。統計初步中統計的第二種方法是繪制統計圖表，用這些圖表的反映數據的分情況，發展趨勢等。實際上就是通過“形”來反映數據扮布情況，發展趨勢等。實際上就是通過“形”來反映數的特征，這是數形結合思想在實際中的直接應用。 （三）、分類討論思想 由于題目的約束較弱（條件

9、趨一般）或圖形位置的變化，常常使同一問題具有多種形態，因而有必要考察全面（所有不同情況），才能把握問題的實質，此時應當進行適當分類，就每一種情形研究討論結論的真理性（正確性）。 是化整為零、分別對待、各個擊破的思維策略在數學解題中的體現。當被研究的問題包含多種情況，又不能一概而論時，必須按出現的所有情況來分別討論，得出各種情況下相應的結論。 在具體的求解過程中，整體問題轉化為部分問題后，事實上增加了題設條件。 把一個復雜的問題分成若干個相對簡單的問題來處理。 分類有不同方法，但必須按統一標準分類，且做到不重不漏，“討論務盡”。 分類討論思想是指對一個問題出現的情況進行全面分析思考，將其區分為不

10、同種類，克服思維的片面性，防止漏解。即根據題目的要求，將條件分為不重復、不遺漏的幾種情況，并逐一列出它們的解答。從整體上看，中學數學分代數、幾何兩大類，然后采用不同方法進行研究，就是分類思想的體現，從具體內容上看，初中數學中實數的分類、三角形的分類、方程的分類等等，學生要按不同的情況去對同一對象進行分類，掌握好分類的方法原則，形成分類的思想。 當面臨的問題不宜用一種方法處理或同一種形式敘述時，就把問題按照一定的原則或標準分為若干類，然后逐類進行討論，再把這幾類的結論匯總，得出問題的答案，這種解決問題的思想方法就是分類討論的思想方法。 分類討論的思想方法的實質是把問題“分而治之，各個擊破”。其一

11、般規則及步驟是：（1）確定同一分類標準；（2）恰當地對全體對象進行分類，按照標準對分類做到“既不重復又不遺漏”；（3）逐類討論，按一定的層次討論，逐級進行；（4）綜合概括小節，歸納得出結論。 應用：A對問題的題設條件需分類討論；B對求解過程中不便統一表述的問題進行分類討論；C 2 / 13 從圖像中獲取信息進行分類討論；D對圖形的位置、類型的分類討論；E對字母、未知數的取值范圍分不同情況討論。 例子:有理數的分類；絕對值的討論；有理數的加法法則、乘法法則、有理數乘法的符號法則、乘方的符號法則；整式分類；研究平方根、立方根時，把數按正數、0、負數分類；按定義或按大小對實數進行分類； （四）、數學

12、建模思想 數學模型指根據所研究的問題的一些屬性、關系，用形式化的數學語言（概念、符號、語言等）表示的一種數學結構（如多項式、方程式、不等式、函數式以及圖形等）。 數學模型方法，指先根據研究的問題建立數學模型，再通過對數學模型的探索進而達到解題目的的方法。 此法多用于解決一些實際問題或較繁瑣的數學問題。 所謂數學模型，是指用數學語言把實際問題概括 數學模型 實際問題量地表述出來的一種數學結構，把實際應用題中的等一關系構建在方程組的模式，或其他模式。就是找到空種解決問題的數學方法。數學模型是對客觀事物的數間形式和數量關系的一種反映。它可以是方程、函 數學模型的解實際問題的解 用或其他數學式子，也可

13、以是一個幾何基本圖形。利法。數學模型解決問題的一般數學方法就是數學模型方 它的基本步驟如下圖所示：初中數學中常用的數學數學中的建模思想是解決數學實際問題用得最多的思想方法之一， 模型有：方程模型，函數模型，幾何模型，三角模型，不等式模型和統計模型等等。建立方程、函數模型解決實際問題；B建立幾何模型（合理、正確地畫出幾何圖形）；應用：A幾何圖形變化問題等）利潤問題、銷售問題、方案設計、C在解決實際問題（如物體運動規律、，再用函數的知識來解決這些時，先抽象出一次函數或二次函數關系式的數學模型（即建模） 實際問題。 1.方程思想 在解決問題時，通過已知量和未知量的聯系，建立起方程或方程組，通過解方程

14、或方程組，求出未知量的數值，從而使問題得以解決，這種通過立方程（組）去溝通已知和未知的聯系的數 學思想，就稱為方程思想。運用數學從題中的已知量和未知量之間的數量關系入手，找出相等關系，在求解數學問題時， ，再通過解方程（組）使問題獲得解決。符號語言將相等關系轉化為方程（或方程組），并建立方程，用解方程的方法）求值問題，當未知數不能直接求出時，一般需設出未知數（x 去求結果，這是解題中常見的具有導向作用的一種思想。利用已知, ,尋找已知量與未知量之間的相等關系。通過適當設元分析問題中的數量關系 ,從而解決問題的一種思維方式。條件、公式、定理中的已知結論來構造方程（組）x方程思想是把問題中的量劃分

15、為已知量和未知量，并把這些量用字母表示（習慣上用，將問題中的條件，量與量的關系列為方程或不等式，通過解方程或不等式，或表示未知量） 利用方程的性質，不等式的性質使問題得以解決。例如：立方程（組）解應用題；利用判別式和韋達定理確定一元二次方程中待定系數（字母系 ；二次三項式的因式分解；利用韋達定理解形如韋達定理的二元二次方程組；數） 函數思想2. 然后利用將所研究的問題納入某變化過程中加以考查，從中抽象出變量之間特定的函數關系，這種研究問題的思維策略就是函數思從而得到實際問題的研究結果，函數的性質去解決問題， 想。 / 313 函數思想的實質是用運動變化對應的觀點去研究兩個變量間的相互依賴關系。

16、 辯證唯物主義認為，世界上一切事物都是處在運動、變化和發展的過程中，這就要求我們教學中重視函數的思想方法。函數所揭示的是兩個變量之間的對應關系，通俗的講就是一個量的變化引起了另一個量的變化。在數學中總是設法將這種對應關系用解析式表示出來，這樣就能充分運用函數的知識、方法來解決有關的問題。雖然函數知識安排在初中后階段學習，但函數思想已經滲透到七、八年級數學教材的各個內容之中。例如學習進行求代數式的值的時，通過強調解題的第一步“當時”的依據，滲透函數的思想方法字母每取一個值，代數式就有唯一確定的值。函數是將原來問題中的一些量轉化為變量和常量，并把這些量用字母（習慣用x 、y）表示，把量與量的關系抽

17、象概括為函數模型，用運動、變化和對應的觀點，通過對函數模型的研究利用函數的性質，使問題獲得解決。函數是數學最重要的概念之一。它是量的側面反映著現實世界中運動、變化及相互聯系、相互制約的關系。在初中階段能利用解析式表示正、反比例函數、二次函數。在日常生活中，還存在著函數關系，它們多數是用圖像表示的。 應用：求最大（小）值；解決有關方程、不等式、圓的問題；解決大量的實際問題； （五）、抽象和概括思維方法 從所研究的問題中排開那些與轉化無關的表面因素，只抽取出與研究有關，直接作用于轉化機制的本質屬性。 解題通常不能一步到位，因而伴隨解題的抽象活動也必須經過多步才能完成。解題過程倘若缺少抽象概括方法的

18、引導，將會出現偏離解題方向的現象，進而從事無效勞動，甚至由于一些非本質屬性的干擾，難以建立解題思路。 抽象：是人們在感性認識的基礎上，透過現象，深入里層，抽取出事物的本質特征、內部聯系和規律，從而達到理性認識的思維方法。抽象的過程離不開比較、歸納、分析、綜合，要經過“去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里”的加工制作過程，排除那些無關的或非本質的次要因素，抽取出研究對象的重要特征、本質因素、普遍規律與因果關系加以認識，從而為解答問題提供某種科學依據或一般原理。 概括：即把抽象出來的若干事物的共同屬性歸納出來進行考察的思維方法。概括是人們追求普遍性的認識方式，是一種由個別到一般的思維方法。概括是

19、以抽象為基礎，抽象度愈高，則概括性愈強，高度的概括對事物的理解更具有一般性，則獲得的理論或方法就有更普遍的指導性。抽象和概括是密不可分的。抽象可以僅涉及一個對象，而概括則涉及一類對象。 從不同角度考察同一事物會得到不同性質的抽象，即不同的屬性。而概括則必須從多個對象的考察中尋找共同相通的性質。數學思維側重于分析、提練、概括思維則側重于歸納、綜合。數學中的每一個概念都是對一類事物的多個對象通過觀察和分析，抽象出每個對象的各種屬性，再通過歸納、概括出各個對象的共同屬性而形成的。在解決數學問題方面，得出數學的模型、模式，總結出解題的規律和方法，都是通過分析、比較、抽象、歸納等思維環節，最后進行理論概

20、括的結果 幾何圖形都是由現實事物去其物理性質，而只考慮其形狀、大小、位置抽象出來的，這也是解決現實生活中問題的一個途徑。 （六）、整體思想 將問題看成一個完整的整體，把注意力和著眼點放在問題的整體結構和結構改造上，從整體上把握問題的內容和解題的方向和策略。 整體思想注重問題的整體結構，將題中的某些元素或組合看成一個整體，從而化繁為簡，化難為易。把問題放到整體結構中去考慮， 就可以開拓解題思路，優化解題過程。 從整體觀點出發，通過研究問題的整體形式、整體結構、整體特征，從而對問題進行整體處理的解題思想方法。 4 / 13 化簡：1/（a+2）（a+3）+1/（a+3）（a+4）+/1（a+4）（

21、a+5）時按常規方法進行通分，顯然最簡公分母比較復雜，計算量較大。若從整體觀察分式的特征，可逆用分式加減法法則及規律公式1/n（n+1）=1/n-1/（n+1），將原分式分離變形。 即原式=1/（a +2）-1/（a+3）+1/（a+3）-1/（a+4）+1/（a+4）-1/（a+5）=1/（a+2）-1/（a+5）=3/（a+2）（a+5） 例子:求代數式的值；乘法公式中的字母可以表示代數式； 系統化 系統化，就是將各種有關材料編成順序，納入一定體系之中進行研究的一種思維方法。它是與比較、分類、抽象、概括、具體化等思維方法緊密聯系在一起的。運用系統化方法，有助于從整體上把握事物的內在聯系，系

22、統、深刻地掌握知識；有助于抓住核心，了解來龍去脈。例如，在學習了兩角和與差的三角函數的公式，倍角、半角的三角函數公式，萬能公式以及三角函數的積化和差與和差化積公式之后，應及時指導學生把這許多公式的內在聯系和推導的線索用繪制圖表的方法進行系統的整理，這將大大有助于學生理解、記憶和掌握這些公式，這是學好三角函數公式的關鍵。 又如，在學習了橢圓、雙曲線、拋物線的內容之后，也應指導學生把這三種圓錐曲線的幾何條件（定義）、標準方程、圖形、性質制成圖表，進行比較，并形成系統化的知識。 二、邏輯型思想方法 （一）、演繹推理 演繹推理是從一般原理推出個別結論的思維方法。即一般到特殊的推理方法。其特點是：在推理

23、的形式合乎邏輯的條件下，運用演繹法從真實的前提一定能推出真實的結論。演繹推理是邏輯證明的工具，整個歐幾里得幾何就是一個演繹推理系統，19世紀數學家們由對歐幾里得第五公設的獨立性的試證導致發現非歐幾何。三段論是演繹推理的主要形式，所謂“三段論”就是由大前提、小前提、結論三部分組成。 例如，凡同邊數的正多邊形都是相似的。這兩個正多邊形的邊數是相同的，所以這兩個正多邊形也是相似的。這里有三個判斷，第一個判斷提供了一般的原理原則，叫做三段論的大前提；第二個判斷指出了一個特殊場合的情況，叫做小前提；聯合這兩個判斷，說明一般原則和特殊情況間的聯系，因而得出的第三個判斷，叫做結論。 公理化推理的邏輯快樂 （

24、二）、歸納與猜想 在解決數學問題時，從特殊的、簡單的、局部的例子出發，通過觀察類比聯想進而猜想結果的思想方法。 通過對一系列特殊問題的研究，概括出一類問題的一般性規律的思維方法。 數學歸納法 歸納是一種有特殊事例導出一般原理的思維方法。歸納推理分完全歸納推理與不完全歸納推理兩種。不完全歸納推理只根據一類事物中的部分對象具有的共同性質，推斷該類事物全體都具有的性質，這種推理方法，在數學推理論證中是不允許的。完全歸納推理是在考察了一類事物的全部對象后歸納得出結論來。 數學歸納法是用來證明某些與自然數有關的數學命題的一種推理方法，在解數學題中有著廣泛的應用。它是一個遞推的數學論證方法，論證的第一步是

25、證明命題在n1(或n0)時成立，這是遞推的基礎；第二步是假設在nk時命題成立，再證明nk1時命題也成立，這是無限遞推下去的理論依據，它判斷命題的正確性能否由特殊推廣到一般，實際上它使命題的正確性 5 / 13 突破了有限，達到無限。這兩個步驟密切相關，缺一不可，完成了這兩步，就可以斷定“對任何自然數（或nn0且nN）結論都正確”。由這兩步可以看出，數學歸納法是由遞推實現歸納的，屬于完全歸納。 運用數學歸納法證明問題時，關鍵是nk1時命題成立的推證，此步證明要具有目標意識，注意與最終要達到的解題目標進行分析比較，以此確定和調控解題的方向，使差異逐步減小，最終實現目標完成解題。 運用數學歸納法，可

26、以證明下列問題：與自然數n有關的恒等式、代數不等式、三角不等式、數列問題、幾何問題、整除性問題等等。 （三）、比較的思維方法、 比較法是數學思想中的一個具有奠基作用的思維方法，是使用其他思想方法的前提。它不遵循邏輯思維的規律，但是卻能獲得研究發現，是確定解題方法的導火索。 使用比較法，首先要有一個比較的標準，如在幾何問題中，首先必須比較若干個基本圖形的異同點，搞清其區別與聯系，觀察出“異中之同，同中之異”，明確問題的特征、轉化方式等標準，才能發現轉化途徑，再選擇適當的解題方法。 自然界雖然千變萬化，事物千差萬別，但每一事物都不是孤立的存在著，而是在同其他事物的相互聯系中表現出自己的許多屬性。

27、比較是一種判斷性的思維活動，是確定所研究的對象的相同點和差異點的思維方法。 應用：A概念的比較；B從不同圖形中尋找相同進行比較；C將問題延伸，從中尋找規律進行比較。 例子：同類項；通過角的形態的比較，形成對對頂角、鄰補角、“三線八角”的鮮明對照，在區別上明鑒，在聯系上溝通； 1. 類比方法 據事物與事物之間在某些方面（如特征、屬性、關系）的相似之處進行比較，通過聯想和預測，推出它們在其他方面也可能相似，從而去建立猜想和發現真理的方法。 通過類比可發現新舊知識的相同點和不同點，利用已有知識來認識新知識和加深理解新知識。 所謂類比，就是兩個對象都有某些相同的屬性，并且其中一個對象還有另外的某些屬性

28、作為前提，進而判斷出另一個對象也有這些屬性的思維形式。一些數學問題的解決思路常常是相通的，類比思想可以教會學生由此及彼，靈活應用所學知識。例如：合并同類項與合并同類二次格式類比；二次根式的和相乘與多項式乘法類比；通過與分數的類比來研究分式的概念、基本性質、通分、約分、運算等；由假分數化成帶分數繼而化為整數部分和分數部分的和，聯想到在分子的次數不低于分母次數的分式中可以用帶余除法將分式轉化為整式部分和分式部分的和；通過與等式基本性質的類比來學習不等式的基本性質；學習一元一次不等式的解法，應將其與一元一次方程的解法進行類比； 2.對比方法 把兩個幾何圖形的特征加以對比，才能發現它們的區別和聯系才能

29、深刻地理解，才能識別。 例如：線段的中點和角平分線的區別和聯系； （四）、舉反例證明假命題的方法、反駁 反駁 是用已知為真的命題去揭露或證實另一個命題的虛假性的邏輯方法。反駁與證明不同，證明是確定某一判斷的真實性，反駁是確定對方論題的虛假性或不能成立；證明的作用在于探求真理，闡明真理，反駁的作用則在于揭露謬誤，捍衛真理。反駁與證明又是密切聯系的，如果確定了一個判斷的真實性，同時也就意味著確定了與之相矛盾的判斷的虛假性。反之，如果確定了一個判斷的虛假性，同時也就意味著確定了與之相矛盾判斷的真實性。所以，證明與反駁是相輔相成的，它們都是人們探索真理、發展真理不可缺少的思維形式和邏輯方法。 6 /

30、13 常用的反駁法有以下三種： 構造一反例。即舉出一個例子，說明它具備命題的全部條件，但不具有命題的結論。 假定命題成立，推出荒謬結果，從而證明了該命題是虛假的。 例如，證明“零可以作除數”是錯誤的。 證明：因為2-2=3-3即2(1-1)=3(1-1) 若零可以作除數，則推出2=3這一結果，顯然荒謬。所以，“零可以作除數”是錯誤的。 論證與該命題相矛盾的命題是真實的，根據矛盾律則推出原命題是虛假的 數學中，要認定一個命題是真命題，必須就一般情況給出嚴格的推理證明，而要認定一個命題是假命題，只需舉出一個反例就可以了。舉反例是證明一個命題是假命題的一般方法。 反證法 反證法是一種間接證法，它是先

31、提出一個與命題的結論相反的假設，然后，從這個假設出發，經過正確的推理，導致矛盾，從而否定相反的假設，達到肯定原命題正確的一種方法。反證法可以分為歸謬反證法(結論的反面只有一種)與窮舉反證法(結論的反面不只一種)。用反證法證明一個命題的步驟，大體上分為：(1)反設；(2)歸謬；(3)結論。 反設是反證法的基礎，為了正確地作出反設，掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一個/一個也沒有；至少有n個/至多有(n一1)個；至多有一個/至少有兩個；唯一/至少有兩個。 歸謬是

32、反證法的關鍵，導出矛盾的過程沒有固定的模式，但必須從反設出發，否則推導將成為無源之水，無本之木。推理必須嚴謹。導出的矛盾有如下幾種類型：與已知條件矛盾；與已知的公理、定義、定理、公式矛盾；與反設矛盾；自相矛盾。 與前面所講的方法不同，反證法是屬于“間接證明法”一類，是從反面的角度思考問題的證明方法，即：肯定題設而否定結論，從而導出矛盾推理而得。法國數學家阿達瑪(Hadamard)對反證法的實質作過概括：“若肯定定理的假設而否定其結論，就會導致矛盾”。具體地講，反證法就是從否定命題的結論入手，并把對命題結論的否定作為推理的已知條件，進行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件、已知公理、定理、法則或者

33、已經證明為正確的命題等相矛，矛盾的原因是假設不成立，所以肯定了命題的結論，從而使命題獲得了證明。 反證法所依據的是邏輯思維規律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思維過程中，兩個互相矛盾的判斷不能同時都為真，至少有一個是假的，這就是邏輯思維中的“矛盾律”；兩個互相矛盾的判斷不能同時都假，簡單地說“A或者非A”，這就是邏輯思維中的“排中律”。反證法在其證明過程中，得到矛盾的判斷，根據“矛盾律”，這些矛盾的判斷不能同時為真，必有一假，而已知條件、已知公理、定理、法則或者已經證明為正確的命題都是真的，所以“否定的結論”必為假。再根據“排中律”，結論與“否定的結論”這一對立的互相否定的判斷不能同時為假，

34、必有一真，于是我們得到原結論必為真。所以反證法是以邏輯思維的基本規律和理論為依據的，反證法是可信的。 反證法的證題模式可以簡要的概括我為“否定推理否定”。即從否定結論開始，經過正確無誤的推理導致邏輯矛盾，達到新的否定，可以認為反證法的基本思想就是“否定之否定”。應用反證法證明的主要三步是：否定結論 推導出矛盾 結論成立。實施的具體步驟是： 第一步，反設：作出與求證結論相反的假設； 第二步，歸謬：將反設作為條件，并由此通過一系列的正確推理導出矛盾； 第三步，結論：說明反設不成立，從而肯定原命題成立。 在應用反證法證題時，一定要用到“反設”進行推理，否則就不是反證法。用反證法證題時，如果欲證明的命

35、題的方面情況只有一種，那么只要將這種情況駁倒了就可以，這種反證法 7 / 13 又叫“歸謬法”；如果結論的方面情況有多種，那么必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷原結論成立，這種證法又叫“窮舉法”。 在數學解題中經常使用反證法，牛頓曾經說過：“反證法是數學家最精當的武器之一”。一般來講，反證法常用來證明的題型有：命題的結論以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“無限”形式出現的命題；或者否定結論更明顯。具體、簡單的命題；或者直接證明難以下手的命題，改變其思維方向，從結論入手進行反面思考，問題可能解決得十分干脆。 （五）、“從特殊到一般” 認識規律又“從一般到特殊”運用知識的方法、 在

36、由幾個簡單的、個別的、特殊的情況去研究、探索、歸納出一般的規律、性質或公式，再由一般的規律、性質或公式去得出簡單的、個別的、特殊的情況。如公式推導、圖形性質等。 例子：研究冪的運算規律；從具體例子，并歸納二次根式的性質；運用二次根式的性質化簡二次根式； （六）、分析法和綜合法 分析法：執果索因，從未知看已知，逐步推向已知。從要證的結論出發，反過來找出使結論成立的條件，每一步的目的明確，容易找到證題思路，但表達啰嗦。 綜合法：由因導果，從已知看未知，逐步推向未知。從已知條件出發，逐步向結論推進，表達直截了當、簡單清晰，但有時不容易把握方向，找不準證題思路。 所以，研究數學問題時，一般總是先用分析

37、法去想，在分析的基礎上用綜合法寫出來。 例如：立方程解應用題； 三、操作技巧型思想方法 數學基本方法是做好題、迅速做題、準確做題的關鍵。 1.分解因式法 因式分解，就是把一個多項式化成幾個整式乘積的形式。因式分解是恒等變形的基礎，它作為數學的一個有力工具、一種數學方法在代數、幾何、三角等的解題中起著重要的作用。因式分解的方法有許多，除中學課本上介紹的提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等外，還有如利用拆項添項、求根分解、換元、待定系數等等。 是進行分式運算的關鍵（通分、約分、去分母時一般都需先分解因式）；解一元二次方程、二元二次方程組； 2.通分 分式運算； 3.約分 分式運算； 4.

38、去分母 分式運算； 5. 配方法 配方，就是用恒等變形的方法把一個解析式中的某些項配成一個或幾個多項式正整數次冪和的形式。 通過配方解決數學問題的方法角配方法。其中用得最多的是配成完全平方式。是數學中一種重要的恒等變形的方法。 配方法是對數學式子進行一種定向變形（配成“完全平方”）的技巧，通過配方找到已知和未知的聯系，從而化繁為簡。何時配方，需要我們適當預測，并且合理運用“裂項”與“添項”、“配”與“湊”的技巧，從而完成配方。有時也將其稱為“湊配法”。 8 / 13 最常見的配方是進行恒等變形，使數學式子出現完全平方。它主要適用于：已知或者未知項的二次曲xy中含有二次方程、二次不等式、二次函數

39、、二次代數式的討論與求解，或者缺 線的平移變換等問題。222，將這個公式ab配方法使用的最基本的配方依據是二項完全平方公式(ab)2ab 靈活運用，可得到各種基本配方形式，如：2222 2abb)；(ab)2abab(a3b222222； (a（b(ab)）ab(ab)a3ababb 221222222 a)(ca(bbcabbccac)(ab) 2222222(abbcca) bcca)(ababc)c(abc)2(ab結合其它數學知識和性質，相應有另外的一些配方形式，如： 2；） （sincossin212sincos1111222x 等等。 (x)2 ；)(x2 2xxx應用：因式分解；

40、化簡根式；證明等式和不等式；解一元二次方程；一元二次方程求根公式的將二次函數的一般式轉化為頂點式，推導；一元二次方程根的判別式的應用；韋達定理的應用；進而求得拋物線的頂點坐標（或最大、最小值）和對稱軸；求函數的極值和解析式；推導拋物2 ）P234；,0)+bx+c與x軸兩交點A(x、B(x,0)線y=ax之間的距離公式（資料包21 6.消元法 解方程組的基本思想是消元，將多元逐步變為二元、一元方程來解決。 ：解一元二次方程、二元二次方程組；代入消元法： 加減消元法 把兩方程相乘或相除； 7.降次法 因式分解降次法：解一元二次方程、二元二次方程組； 換元法：8.把它簡用新的變元去代替原式的一個部

41、分或改造原來的式子，在一個比較復雜的數學式子中， 化，使問題易于解決。解數學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據是等量代換，目的是變換研究復雜問題簡單化，從而使非標準型問題標準化、對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究， 變得容易處理。換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進新的變量，可以把分散的條件聯系起來，把復雜的計算和推或者把條件與結論聯系起來。隱含的條件顯露出來，或者變為熟悉的形式， 證簡化。 9 / 13 它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數式，在研究方 程、

42、不等式、函數、數列、三角等問題中有廣泛的應用。換元的方法有：局部換元、三角換元、均值換元等。局部換元又稱整體換元，是在已知或當然有時候要通過變者未知中，某個代數式幾次出現，而用一個字母來代替它從而簡化問題，xxx），而變為熟悉的一元t（0，先變形為設2形才能發現。例如解不等式：4t022 二次不等式求解和指數方程的問題。三角換元，應用于去根號，或者變換為三角形式易求時，主要利用已知代數式中與三角知2sin設x易發現x0,1識中有某點聯系進行換元。如求函數y，的值域時，x1?x? ，0,，問題變成了熟悉的求三角函數值域。為什么會想到如此設，其中主要應該 2222（r0y）時，則可是發現值域的聯系

43、，又有去根號的需要。如變量x、y適合條件xr作三角代換xrcos、yrsin化為三角問題。 SS均值換元，如遇到xyS形式時，設xt，yt等等。 22我們使用換元法時，要遵循有利于運算、有利于標準化的原則，換元后要注重新變量范圍的選取，一定要使新變量范圍對應于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴大。如上幾例中的?t0和0,。 2 如：解可化為一元二次方程的分式方程、分式方程組；二次三項式的因式分解； 9.待定系數法 在解數學問題時，若先判斷所求的結果具有某種確定的形式，其中含有某些待定的系數，而后根據題設條件列出關于待定系數的等式，最后解出這些待定系數的值或找到這些待定系數間的某種關系，從而解答

44、數學問題，這種解題方法稱為待定系數法。 要確定變量間的函數關系，設出某些未知系數，然后根據所給條件來確定這些未知系數的方法叫待定系數法，其理論依據是多項式恒等，也就是利用了多項式f(x)g(x)的充要條件?是：對于一個任意的a值，都有f(a)g(a)；或者兩個多項式各同類項的系數對應相等。 ?待定系數法解題的關鍵是依據已知，正確列出等式或方程。使用待定系數法，就是把具有某種確定形式的數學問題，通過引入一些待定的系數，轉化為方程組來解決，要判斷一個問題是否用待定系數法求解，主要是看所求解的數學問題是否具有某種確定的數學表達式，如果具有，就可以用待定系數法求解。例如分解因式、拆分分式、數列求和、求

45、函數式、求復數、解析幾何中求曲線方程等，這些問題都具有確定的數學表達形式，所以都可以用待定系數法求解。 使用待定系數法，它解題的基本步驟是： 第一步，確定所求問題含有待定系數的解析式； 第二步，根據恒等的條件，列出一組含待定系數的方程； 第三步，解方程組或者消去待定系數，從而使問題得到解決。 如何列出一組含待定系數的方程，主要從以下幾方面著手分析： 利用對應系數相等列方程； 由恒等的概念用數值代入法列方程； 利用定義本身的屬性列方程； 利用幾何條件列方程。 10 / 13 比如在求圓錐曲線的方程時，我們可以用待定系數法求方程：首先設所求方程的形式，其中含有待定的系數；再把幾何條件轉化為含所求方

46、程未知系數的方程或方程組；最后解所得的方程或方程組求出未知的系數，并把求出的系數代入已經明確的方程形式，得到所求圓錐曲線的方程。 求函數解析式的重要方法（據已知自變量和函數值或者點的坐標來確定函數的解析式）； 10. 特殊化方法 在探索某問題的過程中，先拋開其一般的情形，而抓住其個別的、局部的特殊情形，并通過對特殊情形（如圖形的特殊位置，度量的特殊值或圖形的特殊形狀等）的研究洞察出一般情形所具有的性質，進而達到發現或驗證待求結果，或者發現或驗證解題方法的目的的一種思維方法。 這種方法主要依據的是一般規律蘊含于特殊情形之中，特殊情形是一般規律的外在形態，因而對于一個問題，當探索其一般性結論較為困

47、難時，可先研究其特殊情形，再推到一般。 應用：A運用取“特殊值”或“特殊位置”的方法發現結論；B由特殊圖形推廣到一般圖形尋 求規律。 特殊值法和輔助線的添加 11.幾何變換法 平移、旋轉變換，軸對稱，相似變換 在數學問題的研究中，常常運用變換法，把復雜性問題轉化為簡單性的問題而得到解決。所謂變換是一個集合的任一元素到同一集合的元素的一個一一映射。中學數學中所涉及的變換主要是初等變換。有一些看來很難甚至于無法下手的習題，可以借助幾何變換法，化繁為簡，化難為易。另一方面，也可將變換的觀點滲透到中學數學教學中。將圖形從相等靜止條件下的研究和運動中的研究結合起來，有利于對圖形本質的認識。 幾何變換包括

48、：（1）平移；（2）旋轉；（3）對稱。 12.面積法 幾何中的面積公式以及由面積公式推出的面積計算有關的性質定理，不僅可用于計算面積，而且用它來證明平面幾何題有時會收到事半功倍的效果。 運用面積關系來證明或計算平面幾何題的方法，稱為面積法。它是幾何中的一種常用方法。 用歸納法或分析法證明平面幾何題，其困難在于如何添加適當的輔助線。面積法的特點是把已知和未知各量用面積公式聯系起來，通過運算達到求證的結果。所以用面積法來解幾何題，幾何元素之間關系變成數量之間的關系，只需要計算，有時可以不添輔助線，即使需要添輔助線，也很容易想到。 應用：利用面積法求線段的長；利用面積法證線段等式；利用面積法證線段不

49、等式；利用面積法求線段的比 13.割補法、分解組合思想 能把在內容和形式上，和教材上的公式、定理所需要具備的條件不完全一樣的數學問題，通過對問題的分解、拆割，或者合成、拼補等手段，將問題轉化為符合公式、定理所要求的形式，并運用公式、定理來加以解決。 1、因式分解：2222b2abxy?y?a?x2? ； 、將兩塊三角板如圖放置，其中2?,?3045,?A?E,?90EDB?C? 求重疊部分的面積。,DE?6?AB 11 / 13 14.分解圖形法 復雜的圖形都是由簡單的基本圖形組成，故可以將復雜圖形分解成幾個基本圖形，從而使問題簡化。 15.定義法 所謂定義法，就是直接用數學定義解題。數學中的

50、定理、公式、性質和法則等，都是由定義和公理推演出來。定義是揭示概念內涵的邏輯方法，它通過指出概念所反映的事物的本質屬性來明確概念。 定義是千百次實踐后的必然結果，它科學地反映和揭示了客觀世界的事物的本質特點。簡單地說，定義是基本概念對數學實體的高度抽象。用定義法解題，是最直接的方法。 16.公式法 17.比較法 比差法；比商法 18. 構造法 在解題時，我們常常會采用這樣的方法，通過對條件和結論的分析，構造輔助元素，它可以是一個圖形、一個方程(組)、一個等式、一個函數、一個等價命題等，架起一座連接條件和結論的橋梁，從而使問題得以解決，這種解題的數學方法，我們稱為構造法。運用構造法解題，可以使代數、三角、幾何等各種數學知識互相滲透，有利于問題的解決。 19. 判別式法與韋達定理 一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c屬于R，a0）根的判別，=b2-4ac，不僅用來判定根的性質，而且作為一種解題方法，在代數式變形，解方程(組)，解不等式，研究函