1、集合與函數課時提升訓練（13）1、已知集合，若集合，且對任意的，存在，使得（其中），則稱集合為集合的一個元基底 . （）分別判斷下列集合是否為集合的一個二元基底，并說明理由；，；，.（）若集合是集合的一個元基底，證明：；（）若集合為集合的一個元基底，求出的最小可能值，并寫出當取最小值時的一個基底.2、若集合具有以下性質：，；若，則，且時，.則稱集合是“好集” . （）分別判斷集合，有理數集是否是“好集”，并說明理由；（）設集合是“好集”，求證：若，則；（）對任意的一個“好集”，分別判斷下面命題的真假，并說明理由. 命題：若，則必有；命題：若，且，則必有；3、若為集合且的子集，且滿足兩個條件：；

2、對任意的，至少存在一個，使或.-1-/10則稱集合組具有性質. 如圖，作行列數表，定義數表中的第行第 列的數為.（）當時，判斷下列兩個集合組是否具有性質，如果是請畫出所對應的表格，如果不是請說明理由；集合組 1：；集合組2：.（）當時，若集合組具有性質，請先畫出所對應的行 3 列的一個數表，再依此表格分別寫出集合；（） 當時，集合組是具有性質且所含集合個數最小的集合組，求的值及的最小值 . （其中表示集合所含元素的個數）4、已知函數在區間上為增函數，且。（ 1）當時，求的值；（ 2）當最小時，求的值；若是圖象上的兩點，且存在實數使得，證明：。5、（本小題滿分 14 分）對于函數和，若存在常數，

3、對于任意，不等式都成立，則稱直線是函數的分界線 . 已知函數為自然對數的底，為常數） .( ) 討論函數的單調性； ( ) 設，試探究函數與函數是否存在“分界線”？若存在，求出分界線方程；若不存在，試說明理由.-2-/106、設 a， b， c 為實數， f （ x） =（ x+a）記集合S=若，分別為集合元素S，T 的元素個數，則下列結論不可能的是A=1且=0BC=2且=2D=2且 =37、設，已知函數的定義域是，值域是，若函數g(x)=2 x-1 +m+1有唯一的零點，則（）A 2B C 1D 08、已知函數，在定義域-2 ，2 上表示的曲線過原點，且在x 1 處的切線斜率均為有以下命題：

4、是奇函數；若在內遞減，則的最大值為4；的最大值為，最小值為，則； 若對，恒成立，則的最大值為 2其中正確命題的個數為A .1個B. 2個C .3個D. 4個11、設函數的最大值為，最小值為，那么.12、（本小題滿 分 14 分）已知函數（）求函數的定義域， 并證明在定義域上是奇函數；（）若恒成立，求實數的取值范圍；（）當時，試比較與的大小關系13、對于實數，稱為取整函數或高斯函數，亦即是不超過的最大整數 . 例如：. 直角坐標平面內，若滿足，則的取值范圍-3-/101、解：（）不是的一個二元基底. 理由是；是的一個二元基底.理由是，.（）不妨設，則形如的正整數共有個；形如的正整數共有個；形如的

5、正整數至多有個；形如的正整數至多有個 . 又集合含個不同的正整數，為集合的一個元基底 .故，即.（）由（）可知，所以. 當時，即用基底中元素表示出的數最多重復一個.* 假設為的一個 4元基底，不妨設，則.當時，有，這時或. 如果，則由，與結 論 *矛盾 . 如果，則或. 易知和都不是的 4 元基底，矛盾 . 當時，有，這時，易知不是的 4 元基底，矛盾 . 當時，有，這時，易知不是的 4 元基底，矛盾 . 當時，有，易知不是的 4 元基底，矛盾 . 當時，有，易知不是的 4 元基底，矛盾 . 當時，有，易知不是的4元基底，矛盾.-4-/10當時，有，易知不是的4 元基底，矛盾. 當時，均不可能

6、是的 4 元基底 . 當時，的一個基底；或 3,7,8,9,10；或 4,7,8,9,10等，只要寫出一個即可. 綜上，的最小可能值為5.2 、解：（） 集合不是“好集” .理由是： 假設集合是“好集” .因為，所以.這與矛盾 .有理數集是“好集” .因為，,對任意的，有，且時，.所以有理數集是“好集” .（）因為集合是“好集”，所以. 若，則，即. 所以，即.（）命題均為真命題 .理由如下：對任意一個“好集”，任取，若中有 0 或 1 時，顯然. 下設均不為 0，1.由定義可知：.所以，即. 所以.由（）可得：，即.同理可得.若或，則顯然.若且，則.所以. 所以由（）可得：.所以.綜上可知，

7、即命題為真命題 .若，且，則.所以，即命題為真命題 .-5-/103、（）解：集合組1 具有性質.所對應的數表為：集合組2 不具有性質.因為存在，有，與對任意的，都至少存在一個，有或矛盾，所以集合組不具有性質.（注：表格中的7 行可以交換得到不同的表格，它們所對應的集合組也不同）（）設 所對應的數表為數表 ，因為集合組 為具有性質 的集合組，所以集合組滿足條件和，由條件：，可得對任意，都存在有，所以，即第 行不全為 0，所以由條件可知數表中任意一行不全為0.由條件知，對任意的，都至少存在一個，使或，所以一定是一個1 一個 0，即第行與第行的第列的兩個數一定不同 .所以由條件可得數表中任意兩行不

8、完全相同.因為由所構成的 元有序數組共有個，去掉全是的元有序數組，共有個，又因數表中任意兩行都不完全相同，所以，所以.又時，由所構成的元有序數組共有個，去掉全是的數組，共個，選擇其中的個數組構造行列數表，則數表對應的集合組滿足條件，即具有性質.所以.因為等于表格中數字1 的個數，-6-/10所以，要使取得最小值，只需使表中1 的個數盡可能少，而時，在數表中，的個數為的行最多行；的個數為的行最多行；的個數為的行最多行；的個數為的行最多行；因為上述共有行，所以還有行各有個，所以此時表格中最少有個.所以的最小值為.4、解：。（ 1）當時，由，得或，所以在上為增函數，在，上為減函數，由題意知，且。因為

9、，所以，可知。（2）因為，當且僅當時等號成立。由，有，得；由，有，得；故取得最小值時，。此時，-7-/10由知，欲證，先比較與的大小。因為，所以，有，于是，即，另一方面，因為，所以，從而，即。 14 分同理可證，因此。5、（本小題滿分14 分）解：（ 1），當時，即，函數在區間上是增函數，在區間上是減函數；當時，函數是區間上的增函數當時，即，函數在區間上是增函數，在區間上是減函數 .-8-/10（ 2）若存在，則恒成立，令，則，所以，因此：恒成立，即恒成立，由得到：，現在只要判斷是否恒成立，設，因為：，當時，當時，所以，即恒成立，所以函數與函數存在“分界線”.6 、D 7 、C 8、B 11 、402112、解：（）由，解得或， 函數的定義域為當時，