1、2-1什么是線性系統(tǒng)？其最重要特性是什么？答：如果系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是線性的，這種系統(tǒng)就叫做線性系統(tǒng)。線性系統(tǒng)最重要的特性，是適用于疊加原理。疊加原理說明，兩個不同的作用函數(shù)（輸入），同時作用于系統(tǒng)所產(chǎn)生的響應(yīng)（輸出），等于兩個作用函數(shù)單獨作用的響應(yīng)之和因此，線性系統(tǒng)對幾個輸入量同時作用而產(chǎn)生的響應(yīng)，可以一個一個地處理，然后對它們的響應(yīng)結(jié)果進(jìn)行疊加。2-2 分別求出圖（題2-2）所示各系統(tǒng)的微分方程。 解： 2-3 求圖（題2-3）所示的傳遞函數(shù)，并寫出兩系統(tǒng)的無阻尼固有頻率及阻尼比的表達(dá)式。 解：圖有： 圖有： 2-4 求圖（題2-4）所示機械系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。圖中為輸入轉(zhuǎn)矩，為圓周阻尼，為轉(zhuǎn)動慣

2、量。（應(yīng)注意消去及） 題2-4解：由已知可知輸入量與輸出量之間的關(guān)系為： 經(jīng)拉氏變換后為： 其中， 2-5 已知滑閥節(jié)流口流量方程式為，式中，為通過節(jié)流閥流口的流量；為節(jié)流閥流口的前后油壓差；為節(jié)流閥的位移量；為流量系數(shù)；為節(jié)流口面積梯度；為油密度。試以與為變量（即將作為的函數(shù)）將節(jié)流閥量方程線性化。解：如果系統(tǒng)的平衡工作狀態(tài)相應(yīng)于，那么方程可以在()點附近展開成taylor級數(shù)：式中 均在點進(jìn)行計算。因為假定很小，我們可以忽略的高階項。因此，方程可以寫成或式中 因此，方程就是由方程定義的非線性系統(tǒng)的線性化數(shù)學(xué)模型。2-6試分析當(dāng)反饋環(huán)節(jié),前向通道傳遞函數(shù)分別為慣性環(huán)節(jié)，微分環(huán)節(jié)，積分環(huán)節(jié)時，

3、輸入，輸出的閉環(huán)傳遞函數(shù)。解： 慣性環(huán)節(jié)： 微分環(huán)節(jié)：積分環(huán)節(jié)： 2-7證明圖（題2-7）所示兩系統(tǒng)是相似系統(tǒng)（即證明兩系統(tǒng)的傳遞函數(shù)具有相同形式）。解：根據(jù)圖的已知內(nèi)容可得： 由有：求導(dǎo)：求導(dǎo)： 根據(jù)圖b)可得： 2-8 若系統(tǒng)方框圖如圖（題2-8）所示，題2-8求：（1） 以為輸入，當(dāng)時，分別以,為 輸出的閉環(huán)傳遞函數(shù)。（2） 以為輸入，當(dāng)時，分別以,為 輸出的閉環(huán)傳遞函數(shù)。解：（1） 由已知得： 以為輸出： 以為輸出： 以為輸出： （2）以為輸出：以為輸出： 以為輸出：2-9 求出圖（題2-9）所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。題2-9解：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 3-1 時間響應(yīng)由哪兩個部分組成？各部分的定

4、義是什么？答：根據(jù)工作狀態(tài)的不同，把系統(tǒng)的時間響應(yīng)分為瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。系統(tǒng)穩(wěn)定時，它的自由響應(yīng)稱為瞬態(tài)響應(yīng)，即系統(tǒng)在某一輸入信號的作用下其輸出量從初始狀態(tài)到穩(wěn)定狀態(tài)的響應(yīng)過程。而穩(wěn)態(tài)響應(yīng)一般就是指強迫響應(yīng)，即當(dāng)某一信號輸入時，系統(tǒng)在時間趨于無窮大時的輸出狀態(tài)。3-2 設(shè)溫度計能在1分鐘內(nèi)指示出實際溫度值的98%，并且假設(shè)溫度計為一階系統(tǒng)，求時間常數(shù)。如果將溫度計放在澡盆內(nèi)，澡盆的溫度依10/min的速度線性變化，求溫度計示值的誤差是多大？解1：依題意可得已知條件為分，而一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為即 在上述第一問中，要求溫度計在1分鐘內(nèi)指示出響應(yīng)值的98%，這相當(dāng)于對溫度計輸入一個單位階躍。亦即

5、則 即 將分及代入上式可得即 將上式兩端取自然對數(shù)化簡后得解2：在第二問中已知澡盆溫度以線性變化，說明輸入函數(shù)，為斜坡函數(shù)，此時溫度計的誤差為而當(dāng) 時即 則 即 將已知和已求得之值數(shù)分、分、代入上式即可求得溫度計的誤差為。3-3 已知系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為，試求：（1）該系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)；（2）系統(tǒng)的阻尼比和無阻尼固有頻率。解：（1）求解閉環(huán)傳遞函數(shù) 由已知條件，當(dāng)輸入為單位階躍信號時 則 （2）求解阻尼比和無阻尼固有頻率將閉環(huán)傳遞函數(shù)化為二階振蕩環(huán)節(jié)的標(biāo)準(zhǔn)形式根據(jù)對應(yīng)關(guān)系可得 解得 ，。3-4 圖（題3-4（a）是一個機械系統(tǒng)，當(dāng)有20的力作用于該系統(tǒng)時，其質(zhì)塊作如圖（題3-4（b）所示的振

6、動，試根據(jù)曲線上的，確定,c和k 。圖 題3-4解：由圖可知，是階躍力輸入，是輸出位移。由圖可知系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出，此系統(tǒng)的傳遞函數(shù)顯然為： ，式中， 。（1）求 。 而，因此。（2）求 求得。將代入中，得。再由，求得。（3）求 由，求得。3-5 試求下面系統(tǒng)在單位斜坡函數(shù)輸入下的響應(yīng)，并求出單位斜坡函數(shù)輸入時的誤差函數(shù) 。(1) 的系統(tǒng)；(2) 的系統(tǒng)。解：（1）由題意知，其拉氏變換，得穩(wěn)態(tài)誤差為 （2）由題意知，其拉氏變換，得穩(wěn)態(tài)誤差為 3-6 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) ，（1）20，0.2；（2）1.6，0.1；（3）2.5，1三種情況時的單位階躍響應(yīng)，并分析開環(huán)增益k與時間常數(shù)t對系

7、統(tǒng)性能的影響。解：由已知開環(huán)傳遞函數(shù)為 ，且是單位負(fù)反饋，則系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為 （1）當(dāng)單位階躍信號輸入時， ，則系統(tǒng)在單位階躍信號作用下的輸出的拉氏變換為將上式進(jìn)行拉氏反變換，得出系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為（2）當(dāng)單位階躍信號輸入時， ，則系統(tǒng)在單位階躍信號作用下的輸出的拉氏變換為將上式進(jìn)行拉氏反變換，得出系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為（3）當(dāng)單位階躍信號輸入時， ，則系統(tǒng)在單位階躍信號作用下的輸出的拉氏變換為將上式進(jìn)行拉氏反變換，得出系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為時間常數(shù)越小，開環(huán)增益k越大，上升速度越快，達(dá)到穩(wěn)態(tài)所用的時間越短，也就是系統(tǒng)慣性越小，反之，越大，k越小，系統(tǒng)對信號的響應(yīng)越緩慢，慣性越大。3-7 試分

8、別畫出二階系統(tǒng)在下列不同阻尼比取值范圍內(nèi)，系統(tǒng)特征根在s平面上的分布及單位階躍響應(yīng)曲線。 （1） （2） （3） （4） （5）解：（1） 在欠阻尼狀態(tài)下，二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的特征方程的根是一對共軛復(fù)根，即系統(tǒng)具有一對共軛復(fù)數(shù)極點。（2） 在臨界阻尼狀態(tài)下，二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的特征方程的根是兩重負(fù)實根，即系統(tǒng)具有兩個不相等的負(fù)實數(shù)極點， （3）在過阻尼狀態(tài)下，二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的特征方程的根是兩個不相等的負(fù)實根，即系統(tǒng)具有兩個不相等的負(fù)實數(shù)極點， ，。（4）和（5）時，系統(tǒng)不穩(wěn)定。3-8 要使圖（題3-8）所示系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的最大超調(diào)量等于25，峰值時間tp為2s，試確定和的值。圖 題3-8解：

9、（1）先求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)根據(jù)對應(yīng)關(guān)系可得 解得 （2）由 ，求得。 再由，求得。綜上，得到，。3-9 設(shè)單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 ，試求該系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)時的上升時間，峰值時間，超調(diào)量和調(diào)整時間。解：由題知為單位反饋 即 則其閉環(huán)傳遞函數(shù)為 根據(jù)對應(yīng)關(guān)系可解得 ， 相位移 在此基礎(chǔ)上可求出各參數(shù) 上升時間 峰值時間 最大超調(diào)量 調(diào)整時間 當(dāng)允差范圍為2%時 。 當(dāng)允差范圍為5%時 。3-10 設(shè)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)如下，試求這些系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。（1）（2）（3）（4）解：（1）（2）（3）（4）3-11 對圖（題3-11）所示的系統(tǒng)，試求：（1）是多少時,（2）單位階躍響應(yīng)的超調(diào)

10、量和調(diào)整時間（3）比較與時系統(tǒng)的性能。圖 題3-11解：（1）系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 已知 ，由 （2）最大超調(diào)量 調(diào)整時間 當(dāng)允差范圍為2%時 當(dāng)允差范圍為5%時 3-12 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為（1）求單位階躍響應(yīng)曲線；（2）取閉環(huán)主導(dǎo)極點后，再求單位階躍響應(yīng)曲線；3-13 單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 ，其斜坡函數(shù)輸入時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差的，試確定系統(tǒng)的值。解：單位斜坡輸入時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 所以。3-14 已知單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為求斜坡函數(shù)輸入和拋物線函數(shù)輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差。解：將閉環(huán)傳遞函數(shù)化為單位反饋形式 所以開環(huán)傳遞函數(shù)為 則其靜態(tài)誤差系數(shù)為： 靜態(tài)位置誤差系數(shù) 靜態(tài)誤差 靜態(tài)速度誤

11、差系數(shù) 靜態(tài)誤差 靜態(tài)加速度誤差系數(shù) 靜態(tài)誤差 故當(dāng)斜坡輸入時，系統(tǒng)靜態(tài)誤差系數(shù)為無窮大，其靜態(tài)誤差為零。4-1 某單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，試求下列輸入時，輸出的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)表達(dá)式。(1) (2) 解：上述控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為其頻率特性為 則 當(dāng)輸入信號為 時可令 即 此時 則 即 將變量 當(dāng)輸入信號為時可令 即 此時 則 即 將變量 4-2 試畫出具有下列傳遞函數(shù)的極坐標(biāo)圖。(1) (2) (3) (4) (5) (6) 解：（1） （2） 當(dāng)時，當(dāng)時，（3） 當(dāng)時， 當(dāng)時，(4) 當(dāng)時，當(dāng)時，（5）當(dāng)時，當(dāng)時，（6）4-3 試畫出傳遞函數(shù)的極坐標(biāo)圖。其中。解：解 當(dāng)時 當(dāng)時 4-4

12、試畫出具有下列傳遞函數(shù)的bode圖。(1) (2) (3) (4) (5) 解：（1）1）, 2），一階慣性環(huán)節(jié)。(2) 1）, 2），一階慣性環(huán)節(jié)。（3）1）化為標(biāo)注形式 2）, 3）轉(zhuǎn)折頻率。，一階慣性環(huán)節(jié)；，一階微分環(huán)節(jié)。4），低頻漸近線為40db/dec,且其延長線過（1，20）點5）系統(tǒng)的相頻特性按下式計算(4) 1）化為標(biāo)注形式 2）, 3）轉(zhuǎn)折頻率。，一階慣性環(huán)節(jié)；，一階慣性環(huán)節(jié)； 4），低頻漸近線為20db/dec,且其延長線過（1，-6）點5）系統(tǒng)的相頻特性按下式計算（5） 1.化為標(biāo)準(zhǔn)形式 2. ， 3. 轉(zhuǎn)折頻率。，一階慣性環(huán)節(jié)；，二階振蕩環(huán)節(jié)；，二階振蕩環(huán)節(jié)。 4. ，

13、低頻漸近線為20db/dec,且其延長線過（1，13.98）點4-5 已知一些元件的對數(shù)幅頻特性曲線如圖題4-5，試寫出它們的傳遞函數(shù)。 (a) (b) (c) (d)圖4-28 題4-5圖解：本環(huán)節(jié)是由比例和一階慣性環(huán)節(jié)組成，所以 本環(huán)節(jié)是由一階微分環(huán)節(jié)組成，所以本環(huán)節(jié)是由比例，微分和一階慣性環(huán)節(jié)組成，所以本環(huán)節(jié)是由比例和兩個一階慣性環(huán)節(jié)組成，所以5-1 試用胡爾維茨判據(jù)判斷具有下列特征方程的系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 1 2. s4+8s3+18s2+16s+5=0 3 2s4+4s3+3s2+5s+10=0解：1. 各階系數(shù)均大于零，即故滿足赫爾維茨行列式全部為正的條件，系統(tǒng)穩(wěn)定。2. s4+8s3

14、+18s2+16s+5=0各項系數(shù)為正，且不為零，滿足穩(wěn)定的必要條件。 系統(tǒng)的hurwitz行列式為故滿足赫爾維茨行列式全部為正的條件，系統(tǒng)穩(wěn)定。3. 2s4+4s3+3s2+5s+10=0各項系數(shù)為正，且不為零，滿足穩(wěn)定的必要條件。 系統(tǒng)的hurwitz行列式為不滿足赫爾維茨行列式全部為正的條件，故系統(tǒng)不穩(wěn)定。5-2 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下圖所示，試確定系統(tǒng)穩(wěn)定時k的取值范圍。 解： 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)其特征方程式為 列勞斯表，可得 根據(jù)勞斯判據(jù)，要使系統(tǒng)穩(wěn)定，應(yīng)有，且,故的取值范圍為。5-3 試確定下圖所示各系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)的穩(wěn)定域，并說明積分環(huán)節(jié)數(shù)目對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。 解：（a） 要使系統(tǒng)穩(wěn)

15、定，則 （b）要使系統(tǒng)穩(wěn)定，則 (c) 要使系統(tǒng)穩(wěn)定，則 故系統(tǒng)穩(wěn)定的k值不存在。 （或直接由不滿足特征方程各階系數(shù)均大于零的條件，從而得知系統(tǒng)不穩(wěn)定，令其穩(wěn)定的k值不存在。）可見，增加積分環(huán)節(jié)，使得系統(tǒng)穩(wěn)定性變壞，k的穩(wěn)定域變小。5-4 已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：（1）時，分析系統(tǒng)穩(wěn)定性；（2）時，分析系統(tǒng)穩(wěn)定性；（3）分析開環(huán)放大倍數(shù)的變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。解：系統(tǒng)為0型系統(tǒng)，因此其極坐標(biāo)圖從正實軸出發(fā)，以的方向進(jìn)入坐標(biāo)原點。系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為：令 即得： ，對應(yīng)極坐標(biāo)圖的起點； ，對應(yīng)極坐標(biāo)圖與負(fù)實軸的交點。代入中得： (a)(b) （1）時：，極坐標(biāo)圖如圖(a)所示。 而 ，故，閉環(huán)

16、系統(tǒng)穩(wěn)定。（2）時：，極坐標(biāo)圖如圖(b)所示。 而 ，故，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，且右半平面有兩個閉環(huán)極點。（3）由（1）和（2）可見，增大開環(huán)放大倍數(shù)，系統(tǒng)的穩(wěn)定性會下降，甚至?xí)环€(wěn)定。當(dāng)時，即時，閉環(huán)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。5-5 設(shè)系統(tǒng)開環(huán)頻率特性如下圖所示，試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。其中p為開環(huán)右極點數(shù),為開環(huán)傳遞函數(shù)中的積分環(huán)節(jié)數(shù)目。解：（a）由圖可知 ，該閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。（b）由圖可知 ，該閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。（c）由圖可知 ， 該閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。（d）由圖可知 ，該閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。（e）由圖可知 ， 該閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。（f）由圖可知 ， 該閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。（g）由圖可知 ， 該閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。（h）由圖可知 正穿越次數(shù)負(fù)穿越次數(shù)110 ， 該閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。5-6 圖示為一負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)奈氏曲線，開環(huán)增益，開環(huán)沒有右極點。試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的值范圍。解：設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為，當(dāng)時，與無關(guān)， 即 設(shè)負(fù)實軸上50、20、0.05所對應(yīng)的角頻率分別為，則 ， 即 ， 當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定