1、絕密啟封并使用完畢前(2016年普通高等學校招生全國統一考試湖南卷)理科數學試題類型：a(a)(3，)(b)(3，)(c)(1，)(d)(，3)3解：a(1，3)，b(,+)，ab(，3)，選d1123注意事項：(.1.本試卷分第卷選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分.第卷1至3頁，第卷3至5頁.2.答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在本試題相應的位置3.全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無效4.考試結束后，將本試題和答題卡一并交回第卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.(1)設集合ax|x24x30，bx|2x30，則ab333

2、32222322|(2)設(1i)x1yi，其中x，y是實數，則xyi|(a)1(b)2(c)3(d)2解：(1i)x1yi，xy1，故|xyi|2，選b(3)已知等差數列an前9項的和為27，a108，則a100(a)100(b)99(c)98(d)97解：s927，a53，又a108，d1，因此a100a1090d98，選c10(4)某公司的班車在700，800，830發車，小明在750至830之間到達發車站乘坐班車，且到達發車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過分鐘的概率是(a)(b)(c)(d)3234(解：幾何概型長度比)，選b-=1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為，則n的取值

3、范圍是x2y2(5)已知方程m2+n3m2-n4(a)(1，3)(b)(1，3)(c)(0，3)(d)(0，3)若該解：依題意，m2n3m2n4m21，(m2n)(3m2n)(1n)(3n)01n3，選a。(6)如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條相互垂直的半徑。幾何體的體積是28p3，則它的表面積是解：圖中幾何體是個球，pr3=pr=3，于是s表4pr2+pr2=17p，選a(a)17(b)18(c)20(d)287742888337384(7)函數y2x2e|x|在2，2的圖像大致為yy解：顯然題中函數是偶函數，我們不妨考察2x2ex在0，2上的性質。4xex，y4ex0

4、xln40，2，并且x0，ln4時，y0，x(ln4，2時，y0，因此y4xex在0，2上取得極大值4ln440，又y|x010，y|x0.52e0，y|x28e20，y(0，x0)時，y4xex在0，2內僅有一個零點x0，且x00，0.5。于是x0，x0，選d。(8)若ab1，0c1，則(a)acbc(b)abcbac(c)alogbcblogac(d)logaclogbc解：yxc(c0)為增函數，a錯；同理yx1c(1c0)也是增函數，b錯；又ylogcx(0c1)為減函數，d錯；選c。x(9)執行右面的程序圖，如果輸入的0，y1，n1，則輸出x，y的值滿足(a)y2x(b)y3x(c)

5、y4x(d)y5x解：x0，y1，n1x0，y1不滿足x2y236n2，x0.5，y2(x0，2)時，y不滿足x2y236n3，x1.5，y6滿足x2y236輸出x1.5，y6，選c。(10)以拋物線c的頂點為圓心的圓交c于a、b兩點，交c的準線于d、e兩點。已知|ab|42，|de|25，則c的焦點到準線的距離為(a)2(b)4(c)6(d)8解：不妨設拋物線的方程為y22px，則由勾股定理可得(5)2+()2=(22)2+(p(22)222p)2，解得p4，331解：畫圖即知sina1bdsin60，選a。(12)已知函數f(x)sin(x)(0，|)，x為f(x)的零點，x為yf(x)圖

6、像的對稱軸，且f(x)在，單調，則w的最大值為解：依題意，-+j=mp,mz，+j=np+,nz，兩式相減得2(nm)1，記作2k選b。(11)平面a過正方體abcda1b1c1d1的頂點a，a/平面cb1d1，a平面abcdm，a平面aba1b1n，則m、n所成角的正弦值為3(a)(b)(c)(d)22332ppp244p5p1836(a)11(b)9(c)7(d)5wpwpp442pp2k11。注意檢驗。z；又f(x)在，單調，1，knmp5pt5ppp-=183623618122k+112第ii卷本卷包括必考題和選考題兩部分。第(13)題第(21)題為必考題，每個試題考生都必須作答。第(

7、22)題第(24)題為選考題，考生根據要求作答。二、填空題：本大題共3小題，每小題5分|(13)設向量a(m，1)，b(1，2)，且|ab|2|a|2|b|2，則m解：ab|2|a|2|b|2，ab，故m2。x()(14)(2x+x)5的展開式中，3的系數是用數字填寫答案解：從5個括號中的某一個取2x，其余括號中取x相乘即可，系數為2c1=10。5(15)設等比數列an滿足a1a310，a2a45，則a1a2an的最大值為解：a1a310，a2a45，q，a18，于是aa2a=aq112n1nn(n-1)22=27n-n22664。(16)某高科技企業生產產品a和產品b需要甲、乙兩種新型材料。

8、生產一件產品a需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5個工時；生產一件產品b需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3個工時，生產一件產品a的利潤為2100元，生產一件產品b的利潤為900元。該企業現有甲材料150kg，乙材料90kg，則在不超過600個工時的條件下，生產產品a、產品b的利潤之和的最大值為元。解：設生產a產品x件，b產品y件，總利潤為z，1.3x+0.5y150340320300280260240220200180c則x+0.3y905x+3y600x,yn，且z2100x900y16014012010080b作出可行域如右圖，求得點b的坐標(60，100)，60z最大210

9、060900100216000(元)。三、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。(17)(本題滿分為12分)4020o-2050a100152025abc的內角a，b，c的對邊分別別為a，b，c，已知2cosc(acosbbcosa)c。(i)求c；-40-80(ii)若c7，abc的面積為332，求abc的周長。(2)=absinc=abab=6，又由余弦定理得7a2b22abcosc(ab)23ab，解：(1)acosbbcosac，由2cosc(acosbbcosa)c得2cosc1c603313224ab，從而abc的周長為abc5+7。(18)(本題滿分為12分)如圖，在以

10、a，b，c，d，e，f為頂點的五面體中，面abef為正方形，af2fd，afd90，且二面角dafe與二面角cbef都是60。(i)證明：平面abef平面efdc；(ii)求二面角ebca的余弦值。解：(1)abef為正方形，affe，又afd90，affd，而fefdf，af面efdc，再由af面abef即得平面abef平面efdc。fdaceb(2)affe，且affd，dfe60是二面角dafe的平面角，由beef及平面abef平面efdc，知be平面efdcbeec，因此cef60是二面角cbef的平面角。在平面efdc內過f作fzef，知fz平面abef，如圖所示，分別以fa、ae、

11、az為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系。再設fd2，af4(滿足af2fd)，則a(4，0，0)，b(4，4，0)，e(0，4，0)，又feabfe平面abcdfedc，因而c(0，3，3)，于是eb=(4,0,0),ec=(0,-1,3)，ab=(0,4,0),ac=(-4,3,3)，設平面ebc的法向量為n1(x，y，z)，則4x0，且y3z，取n1(0，3，1)，再設平面abcd的法向量為n2(a，b，c)，則4b0，且4a3b3c0，取n2(3，0，4)，于是cos03+30+1402+(3)2+12(3)2+02+42=219。19二面角ebca的余弦值為219。19(19)(本小

12、題滿分12分)500了某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰。機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元。在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個元。現需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數，得下面柱狀圖：頻數40200891011更換的易損零件數1x以這100臺機器更換的易損零件數的頻率代替臺機器更換的易損零件數發生的概率，記表示2n臺機器三年內共需更換的易損零件數，表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數。(i)求x的分布列；(ii)若要求p(xn)0.5，確定n的最小值；n8(ii

13、i)以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據，在19與n20之中選其一，應選用哪個？解：(1)依題意，三年內每臺機器更換易損零件數為、9、10、11的概率分別為0.2、0.4、0.2、0.2，所以，三年內2臺機器需要更換的易損零件數x可取16、17、18、19、20、21、22。并且p(x16)c20.22=0.04，p(x17)c10.20.4=0.16，22p(x18)c20.42+c10.22=0.24，p(x19)c10.22+c10.20.4=0.24，2222p(x20)c20.22+c10.20.4=0.20，p(x21)c10.22=0.08，222p(x22)c20.22=0

14、.04，2故x的分布列為：x16171819202122p(x)0.040.160.240.240.200.080.04(2)p(x18)0.44，p(x19)0.680.5，n19，n的最小值為19。(3)當n19時，所需費用y的分布列如下：y3800430048005300p(y)0.680.200.080.04e(y)38000.6843000.2048000.0853000.044040當n20時，所需費用z的分布列如下：z400045005000p(z)0.880.080.04e(z)40000.8845000.0850000.044080由e(y)e(z)知應選擇n19。20.(本

15、小題滿分12分)l設圓x2y22x150的圓心為a，直線l過點b(1，0)且與x軸不重合，交圓a于c、d兩點，過b作ac的平行線交ad于點e。(i)證明|ea|eb|為定值，并寫出點e的軌跡方程；(ii)設點e的軌跡為曲線c1，直線l交c1于m、n兩點，過b且與l垂直的直線與圓a交于p、q兩點，求四邊形mpnq面積的取值范圍。解：(1)如圖，acd為等腰三角形，be，ebd為等腰三角形，故ebed，于是|ea|eb|ea|ed|ad|4為定值。y由橢圓的定義知點e的軌跡方程為+=1。x2y243q(2)設l：(t為參數)，直線l的傾斜角(0，)，x=1+tcosay=tsinaend將直線l的

16、參數方程代入3x24y2120中，得(3sin2)t26tcos90，aobxt1t2-，t1t2-6cosa93+sin2a3+sin2a，mp因此|mn|t2t1|(t+t)-4tt=，3+sin2a1221212c由pql可知直線pq的參數方程為(s為參數)，代入x2y22x150中，于是s四邊mpnq|mn|pq|=12,83)。23+sin2ax=1-ssinay=scosa得s24ssin120，s1s24sin，s1s212，故|pq|s2s1|(s1+s2)2-4s1s2=43+sin2a，124形(21)(本小題滿分12分)已知函數f(x)(x2)exa(x1)2有兩個零點。

17、(i)求a的取值范圍；x(ii)設x1，x2是f(x)的兩個零點，證明：1x22。解：(1)f(x)ex(x2)ex2a(x1)(x1)(ex2a)，當a0時，由f(x)0得x1，于是f(x)在(，1)上遞減，在(1，)上遞增，并且x時，f(x)0，x時，f(x)，而f(1)e0，因而f(x)只有一個零點；當a0時，由f(x)0得x1，于是f(x)在(，1)上遞減，在(1，)上遞增，并且x時，f(x)，x時，f(x)，而f(1)e0，因而f(x)必有兩個零點；當a0時，由f(x)0得x1或xln(2a)，此時f(1)e0，f(ln(2a)ln(2a)2(2a)faln(2a)12aln2(2a

18、)4ln(2a)50，因此無論f(x)的單調性如何，(x)始終只有一個零點；綜上所述，a(0，)。如圖，oab是等腰三角形，aob120。以o為圓心，為半徑作圓。(2)由(1)可知a0，且f(x)的兩個零點分居x1的兩側，不妨設x11x2，則需證2x1x21，而f(x1)f(x2)0，且a0時f(x)在(1，)上遞增，可以考慮證明f(2x1)f(x2)f(x1)0，再化為證明f(2x1)f(x1)0。以上只是個人的設想，還沒有具體完成，也不知道是否行得通。請考生在22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分，做答時請寫清題號(22)(本小題滿分10分)選修41：幾何證明選講12(i)證明：直線ab與o相切；(ii)點c、d在o上，且a、b、c、d四點共圓，證明：abcd。dcoab在直線坐標系xoy中，曲線c1的參數方程為(t為參數，a0)。在以坐標原點為極點，解：(1)c1：(t為參數，a0)x2(y1)2a2c1是圓心在(0，1)，半徑為a的圓。(23)(本小題滿分10分)選修44：坐標系與參數方程x=acosty=1+asintcx軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線2：4cos。(i)說明c1