1、2019 年遼寧省沈陽市鐵西區中考數學一模試卷 一、選擇題1計算：（5）+3 的結果是（ ）a8 b2 c2 d82把多項式 m29m 分解因式，結果正確的是（ ）am（m9） b（m+3）（m3）cm（m+3）（m3） d（m3）23在下面幾何體中，其俯視圖是三角形的是（ ）a bc d4 2016 年國慶節期間，沈陽共接待游客約 657.9 萬人次，657.9 萬用科學記數法表示為（ ） a0.6579103 b6.579102 c6.579106 d65.791055 某校調查了 20 名男生某一周參加籃球運動的次數，調查結果如表所示，那么這20 名男生該周參 加籃球運動次數的平均數是（

2、 ）次數人數223241056a3 次 b3.5 次 c4 次 d4.5 次6在平面直角坐標系中，點 a 在第一象限，點 b 在 x 軸正半軸上，aob60，oa8點 a 的坐 標是（ ）a（4，8） b（4，4 ） c（4 ，4） d（8，4）7如圖，正五邊形 abcde 的對角線 bd.ce 相交于點 f，則下列結論正確的是（ ）abce36 bbcf 是直角三角形cbcdcde dabbd8分式方程 的解是（ ）ax2 bx3 cx2 dx39已知點 a（2，y1）、b（4，y2）都在反比例函數 y （k0）的圖象上，則 y1.y2 的大小 關系為（ ）ay1y2 by1y2 cy1y2

3、 d無法確定10二次函數 yax2+bx+c 的圖象如圖所示，下列結論：a+cb；4acb2；2a+b0其中 正確的有（ ）a b c d二、填空題11 計算：2a3a_12 學校準備從甲、乙、丙、丁四個科創小組中選出一組代表學校參加青少年科技創新大賽，各組 的平時成績的平均數 （單位：分）及方差 s2 如表所示：s2甲71乙81.2丙81丁71.8如果要選出一個成績較好且狀態穩定的組去參賽，那么應選的組是_13 若關于 x 的一元二次方程 x24x+m0 有兩個不相等的實數根，則 m 的取值范圍為_14 如圖，abcd，點 e 是線段 cd 上的一點，be 交 ad 于點 f，efbf，cd

4、10，ab8，ce_15不等式組的所有整數解的和是_-16如圖，在平面直角坐標系中，矩形oabc 的頂點 a.c 分別在 x 軸和 y 軸上，點 b 的坐標為（2，3），直線 y x1 與 oc.ab 分別交于點 d.e，點 p 在矩形的邊 ab 或 bc 上，作 pfed 于點 f， 連接 pd，當pfd 是等腰三角形時，點 p 的坐標為_三、（6 分、8 分、8 分）17 已知 x，y 滿足方程組 ，求代數式（xy）2（x+2y）（x2y）的值18 如圖，在abc 中，acb90，m、n 分別是 ab.ac 的中點，延長 bc 至點 d，使 cd bd， 連接 dn、mn若 ab6（1）

5、求證：mncd；（2） 求 dn 的長19甲、乙兩個不透明的口袋，甲口袋中裝有2 個分別標有數字 1，2 的小球，乙口袋中裝有 3 個分 別標有數字 3，4，5 的小球，它們的形狀、大小完全相同，（1） 隨機從乙口袋中摸出一個小球，上面數字是奇數的概率為_（2） 現隨機從甲口袋中摸出一個小球記下數字，再從乙口袋中摸出一個小球記下數字請用列表或樹狀圖的方法，求出兩個數字之和能被 5 整除的概率四、（8 分、8 分）20某市為提倡節約用水，準備實行自來水“階梯計費”方式，用戶用水不超出基本用水量的部分享受基本價格，超出基本用水量的部分實行加價收費為更好地決策，自來水公司隨機抽取了部分用戶的用水量數

6、據，并繪制了如下不完整的統計圖（每組數據包括右端點但不包括左端點）請你根據統計圖解答下列問題：（1）此次抽樣調查的總戶數是_戶；扇形圖中“10 噸15 噸”部分的圓心角的度數是_度； （2）求“15 噸20 噸”部分的戶數，并補全頻數分布直方圖；（3）如果自來水公司將基本用水量定為每戶 25 噸，那么該地區 120 萬用戶中約有多少用戶的用水 全部享受基本價格？21某水果批發商計劃用 8 輛汽車裝運甲、乙兩種水果共 22 噸（每種水果不少于一車）到外地銷售，每輛汽車載滿時能裝甲種水果 2 噸或乙種水果 3 噸，每輛汽車規定滿載，并且只能裝一種水果，求 裝運甲、乙兩種水果的汽車各多少輛？五、（1

7、0 分、10 分、12 分、12 分）22如圖，以 abcd 的邊 ab 為直徑作o，邊 cd 與o 相切于點 e，邊 ad 與o 相交于點 f，已知 ab12，c60（1） 求弧 ef 的長；（2） 線段 ce 的長為_23如圖，在平面直角坐標系中，直線 yx+3 與 x 軸交于點 b，與直線 cd 交于點 a（ 點 d 的坐標為（0， ），點 c 在 x 軸上（1） 求 a 的值；（2） 求直線 cd 的解析式；（3） 若點 e 是直線 cd 上一動點（不與點 c 重合），當cbecod 時，求點 e 的坐標，a），24abc 中，acb90，以 ab 為一邊作等邊abd，且點 d 與點

8、c 在直線 ab 同側，平面內有一點 e 與點 d 分別在直線 ab 兩側，且 bebc，abedbc，連接 cd.ae，ac5，bc3 （1）求證：cdae；（2） 點 e 關于直線 ab 的對稱點為點 f，判斷bfc 的形狀，并說明理由；（3） 在（2）的條件下，當線段 cd 最短時，請直接寫出四邊形 aebf 的面積25在平面直角坐標系中，拋物線 yax2+bx3 經過點 a（1，0）和點 b（2，1），交 y 軸于點 c，bdx 軸于點 d，連接 ab.ac（1） 求拋物線的函數表達式；（2） 點 p 是拋物線上在直線 ab 下方的動點，直線 phx 軸，交 ab 于點 h，當 ph

9、時，求點 p 的 坐標；（3） 將aoc 沿 y 軸向上平移，將abd 沿 x 軸向左平移，兩個三角形同時開始平移，且平移的速度相同設aoc 平移的距離為 t，平移過程中兩個三角形重疊部分的面積為 s，當 0t 時，請直接寫出 s 與 t 的函數表達式及自變量 t 的取值范圍參考答案一、選擇題1計算：（5）+3 的結果是（ ）a8 b2 c2 d8【分析】根據有理數的加法法則，求出（5）+3 的結果是多少即可【解答】解：（5）+3 的結果是2故選：b【點評】此題主要考查了有理數的加法的運算方法，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確有理數 的加法法則2把多項式 m29m 分解因式，結果正確的是（

10、）am（m9） b（m+3）（m3）cm（m+3）（m3） d（m3）2【分析】直接找出公因式 m，提取分解因式即可【解答】解：m29mm（m9）故選：a【點評】此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題關鍵3在下面幾何體中，其俯視圖是三角形的是（ ）a bc d【分析】根據俯視圖是從上邊看得到的圖形，可得答案【解答】解：a.圓柱的俯視圖是圓，故 a 不符合題意；b. 圓錐的俯視圖是圓，故 b 不符合題意；c. 正方體的俯視圖是正方形，故 c 不符合題意；d. 三棱柱的俯視圖是三角形，故 d 符合題意；故選：d【點評】本題考查了簡單幾何體的三視圖，熟記常見幾何體的三視圖是解題關鍵

11、42016 年國慶節期間，沈陽共接待游客約 657.9 萬人次，657.9 萬用科學記數法表示為（ ） a0.6579103 b6.579102 c6.579106 d65.79105【分析】利用科學記數法的表示形式為 a10n 的形式，其中 1|a|10，n 為整數確定 n 的值時，要看把原數變成 a 時，小數點移動了多少位，n 的絕對值與小數點移動的位數相同當原數絕對值 1 時，n 是正數；當原數的絕對值1 時，n 是負數【解答】解：657.9 萬用科學記數法表示為：6.579106故選：c【點評】此題考查了科學記數法的表示方法科學記數法的表示形式為 a10n 的形式，其中 1|a| 10

12、，n 為整數，表示時關鍵要正確確定 a 的值以及 n 的值5某校調查了 20 名男生某一周參加籃球運動的次數，調查結果如表所示，那么這20 名男生該周參 加籃球運動次數的平均數是（ ）次數人數223241056a3 次 b3.5 次 c4 次 d4.5 次【分析】加權平均數：若 n 個數 x1，x2，x3，xn 的權分別是 w1，w2，w3，wn，則（x1w1+x2w2+ +xnwn）（w1+w2+wn）叫做這 n 個數的加權平均數，依此列式計算即可求解【解答】解：（22+32+410+56）20（4+6+40+30）2080204（次）答：這 20 名男生該周參加籃球運動次數的平均數是 4

13、次【點評】本題考查的是加權平均數的求法本題易出現的錯誤是求 2，3，4，5 這四個數的平均數， 對平均數的理解不正確6在平面直角坐標系中，點 a 在第一象限，點 b 在 x 軸正半軸上，aob60，oa8點 a 的坐 標是（ ）a（4，8） b（4，4 ） c（4 ，4） d（8，4）【分析】根據直角三角形的性質得出點 a 的橫坐標為 4，再用勾股定理得出點 a 的縱坐標為 4 從而得出答案【解答】解：點 a 在第一象限，點 b 在 x 軸正半軸上，aob60，oa8，點 a 的橫坐標為 4，由勾股定理得點 a 的縱坐標為4 ，點 a 坐標（4，4），故選：b【點評】本題考查了坐標與圖象的特征

14、，掌握直角三角形的性質以及勾股定理是解題的關鍵 7如圖，正五邊形 abcde 的對角線 bd.ce 相交于點 f，則下列結論正確的是（ ）abce36 bbcf 是直角三角形cbcdcde dabbd【分析】在正五邊形 abcde 中，易知 bccdde，bcdcde108，由此可 bcdcde 解決問題【解答】解：在正五邊形 abcde 中，易知 bccdde，bcdcde108，在bcd 和cde 中，bcdcde，故選：c【點評】本題考查全等三角形的判定和性質、正五邊形的性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學 知識解決問題，記住正五邊形的有關性質，屬于中考常考題型8分式方程 的解是（ ）a

15、x2 bx3 cx2 dx3【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，經檢驗即可得到分式方 程的解【解答】解：去分母得：x3x6，解得：x3，經檢驗 x3 是分式方程的解，故選：d【點評】此題考查了解分式方程，利用了轉化的思想，解分式方程注意要檢驗9已知點 a（2，y1）、b（4，y2）都在反比例函數 y （k0）的圖象上，則 y1.y2 的大小 關系為（ ）ay1y2 by1y2 cy1y2 d無法確定【分析】直接利用反比例函數的增減性分析得出答案【解答】解：點 a（2，y1）、b（4，y2）都在反比例函數 y （k0）的圖象上，每個象限內，y 隨 x 的增大而增

16、大，24y1y2，故選：a【點評】此題主要考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，正確把握反比例函數的性質是解題關鍵10二次函數 yax2+bx+c 的圖象如圖所示，下列結論：a+cb；4acb2；2a+b0其中 正確的有（ ）a b c d【分析】分別根據 x1 時 y0 和拋物線與 x 軸的交點、拋物線的對稱軸在 x1 右側列式即可得 【解答】解：由圖象知，當 x1 時，yab+c0即 a+cb，故錯誤；拋物線與 x 軸有 2 個交點，b24ac0，即 4acb2，故正確；拋物線的對稱軸 x 1，且 a0，b2a，即 2a+b0，故正確；故選：c【點評】此題主要考查圖象與二次函數系數之間的關系

17、，會利用對稱軸的范圍求2a 與 b 的關系，以 及二次函數與方程之間的轉換，根的判別式的熟練運用是解題關鍵二、填空題11計算：2a3a 2a2 【分析】根據同底數冪的除法法則即可求出答案【解答】解：原式2a2，故答案為：2a2，【點評】本題考查整式的除法，解題的關鍵是正確理解整式除法的法則，本題屬于基礎題型12學校準備從甲、乙、丙、丁四個科創小組中選出一組代表學校參加青少年科技創新大賽，各組 的平時成績的平均數 （單位：分）及方差 s2 如表所示：s2甲71乙81.2丙81丁71.8如果要選出一個成績較好且狀態穩定的組去參賽，那么應選的組是 丙組 【分析】先比較平均數得到乙組和丙組成績較好，然

18、后比較方差得到丙組的狀態穩定，于是可決定 選丙組去參賽【解答】解：乙組、丙組的平均數比甲組、丁組大，應從乙和丙組中選，丙組的方差比乙組的小，丙組的成績較好且狀態穩定，應選的組是丙組；故答案為：丙組【點評】本題考查了方差：一組數據中各數據與它們的平均數的差的平方的平均數，叫做這組數據的方差方差是反映一組數據的波動大小的一個量方差越大，則平均值的離散程度越大，穩定性 也越小；反之，則它與其平均值的離散程度越小，穩定性越好13若關于 x 的一元二次方程 x24x+m0 有兩個不相等的實數根，則 m 的取值范圍為 m4 【分析】根據判別式的意義得到（4）24m0，然后解不等式即可【解答】解：關于 x

19、的一元二次方程 x24x+m0 有兩個不相等的實數根，（4）24m0，解得：m4故答案為：m4【點評】此題考查了一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根的判別式b24ac： 0，方程有兩個不相等的實數根；當0，方程有兩個相等的實數根；當0，方程沒有實數根14如圖，abcd，點 e 是線段 cd 上的一點，be 交 ad 于點 f，efbf，cd10，ab8，ce 2 【分析】首先證明abfdef，利用全等三角形的性質可得 deab，易得 ce 的長 【解答】解：abcd，bfed，在abf 和def 中，abfdef， abde8cd10，cecdde1082， 故答案為：2【點評】本題考

20、查全等三角形的判定和性質，平行線的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握全等三 角形的判斷和性質，熟練掌握平行線的性質，屬于基礎題，中考常考題型15不等式組的所有整數解的和是 1 【分析】先求出不等式組的解集，再求出不等式組的整數解，最后求出答案即可【解答】解：解不等式得；x2，解不等式得；x ，不等式組的解集為2x ，不等式組的整數解為1，0，1+01，故答案為1【點評】本題考查了解一元一次不等式組，求不等式組的整數解的應用，解此題的關鍵是求出不等 式組的解集，難度適中16如圖，在平面直角坐標系中，矩形oabc 的頂點 a.c 分別在 x 軸和 y 軸上，點 b 的坐標為（2，3），直線 y x1

21、 與 oc.ab 分別交于點 d.e，點 p 在矩形的邊 ab 或 bc 上，作 pfed 于點 f， 連接 pd，當pfd 是等腰三角形時，點 p 的坐標為 （ ，3）或（2， ） 【分析】由于點 p 的位置不確定，所以需要分情況討論，一是點p 在 ab 邊上，二是點 p 在 bc 邊上， 然后根據等腰三角形的性質即可求出 p 的坐標【解答】解：當 p 在 ab 上時，設直線 ed 與 x 軸交于點 g， 設 pfdfx，令 y0 和 x2 代入 y x1 x2 和 y2g（2，0），e（2，2）， ag4，ae2，tanpef ，ef ，edx+ ，令 x0 代入 y x1， d（0，1）

22、edx ，由勾股定理可知：pe ，apaepe2 此時 p 的坐標為（2， ） 當點 p 在 bc 邊上時，過點 d 作 pdpd，垂足為 d，過點 p 作 phy 軸，垂足為 h，易證：pdhdcph2，dhodoh1 cdocod312pc ，p的坐標為（ ，3）故答案為：（ ，3）或（2， ）【點評】本題考查等腰三角形的性質，涉及相似三角形的判定與性質，勾股定理等知識，綜合程度 較高，需要學生靈活運用知識三、（6 分、8 分、8 分）17已知 x，y 滿足方程組 ，求代數式（xy）2（x+2y）（x2y）的值【分析】先求出方程組的解，再算乘法，合并同類項，最后代入求出即可【解答】解：解方

23、程組得： ，所以（xy）2（x+2y）（x2y） x22xy+y2x2+4y22xy+5y223（1）+5（1）211【點評】本題考查了解二元一次方程組、整式的混合運算和求值等知識點，能正確根據整式的運算 法則進行化簡是解此題的關鍵18如圖，在abc 中，acb90，m、n 分別是 ab.ac 的中點，延長 bc 至點 d，使 cd bd， 連接 dn、mn若 ab6（1） 求證：mncd；（2） 求 dn 的長【分析】（1）根據三角形中位線定理得到 mn bc，根據題意證明；（2）根據平行四邊形的判定定理得到四邊形 mcdn 是平行四邊形，得到 dncm，直角三角形的性質 計算即可【解答】（

24、1）證明：m、n 分別是 ab.ac 的中點，mn bc，mnbc，cd bd，cd bc，mncd；（2）解：連接 cm，mncd，mncd，四邊形 mcdn 是平行四邊形，dncm，acb90，m 是 ab 的中點，cm ab，dn ab3【點評】本題考查的是三角形中位線定理的應用、直角三角形的性質，掌握三角形的中位線平行于 第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關鍵19甲、乙兩個不透明的口袋，甲口袋中裝有2 個分別標有數字 1，2 的小球，乙口袋中裝有 3 個分 別標有數字 3，4，5 的小球，它們的形狀、大小完全相同，（1） 隨機從乙口袋中摸出一個小球，上面數字是奇數的概率為（2） 現隨

25、機從甲口袋中摸出一個小球記下數字，再從乙口袋中摸出一個小球記下數字請用列表或 樹狀圖的方法，求出兩個數字之和能被 5 整除的概率【分析】（1）用數字為奇數的球的個數除以球的總個數即可得；（2）畫樹狀圖列出所有情況，依據概率公式求解可得【解答】解：（1）乙口袋中共有 3 個小球，其中數字為奇數的有 2 個，上面數字是奇數的概率為 ，故答案為： ；（2）畫樹狀圖如下：兩個數字之和能被 5 整除的概率為 【點評】此題考查了列表法與樹狀圖法，用到的知識點為：概率所求情況數與總情況數之比 四、（8 分、8 分）20某市為提倡節約用水，準備實行自來水“階梯計費”方式，用戶用水不超出基本用水量的部分享受基本

26、價格，超出基本用水量的部分實行加價收費為更好地決策，自來水公司隨機抽取了部分用戶的用水量數據，并繪制了如下不完整的統計圖（每組數據包括右端點但不包括左端點）請你根據統計圖解答下列問題：（1）此次抽樣調查的總戶數是 100戶；扇形圖中“10 噸15 噸”部分的圓心角的度數是 36度；（2） 求“15 噸20 噸”部分的戶數，并補全頻數分布直方圖；（3） 如果自來水公司將基本用水量定為每戶 25 噸，那么該地區 120 萬用戶中約有多少用戶的用水 全部享受基本價格？【分析】（1）根據統計圖可知“10 噸15 噸”的用戶 10 戶占 10%，從而可以求得此次調查抽取的 戶數，進而求得扇形圖中“15

27、噸20 噸”部分的圓心角的度數；（2） 根據（1）中求得的用戶數與條形統計圖可以得到“15 噸20 噸”的用戶數；（3） 根據前面統計圖的信息可以得到該地區 120 萬用戶中約有多少用戶的用水全部享受基本價格 【解答】解：（1）此次抽樣調查的總戶數是 1010%100（戶），扇形圖中“10 噸15 噸”部分的圓心角的度數是 36010%36，故答案為：100，36；（2）“15 噸20 噸”部分的戶數為 100（10+38+24+8）20（戶），補全圖形如下：（3）120 81.6（萬戶），答：該地區 120 萬用戶中約有 81.6 萬用戶的用水全部享受基本價格【點評】本題考查頻數分布直方圖、

28、扇形統計圖、用樣本估計總體，解題的關鍵是明確題意，找出 所求問題需要的條件21某水果批發商計劃用 8 輛汽車裝運甲、乙兩種水果共 22 噸（每種水果不少于一車）到外地銷售，每輛汽車載滿時能裝甲種水果 2 噸或乙種水果 3 噸，每輛汽車規定滿載，并且只能裝一種水果，求 裝運甲、乙兩種水果的汽車各多少輛？【分析】設裝運甲種水果的汽車有 x 輛，裝運乙種水果的汽車有 y 輛，根據 8 輛汽車裝運甲、乙兩 種水果共 22 噸，即可得出關于 x，y 的二元一次方程組，解之即可得出結論【解答】解：設裝運甲種水果的汽車有 x 輛，裝運乙種水果的汽車有 y 輛，依題意，得： ，解得： 答：裝運甲種水果的汽車有

29、 2 輛，裝運乙種水果的汽車有 6 輛【點評】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關 鍵五、（10 分、10 分、12 分、12 分）22如圖，以 abcd 的邊 ab 為直徑作o，邊 cd 與o 相切于點 e，邊 ad 與o 相交于點 f，已知 ab12，c60（1） 求弧 ef 的長；（2） 線段 ce 的長為 2 +6 【分析】（1）首先證明aof 是等邊三角形求出扇形的圓心角eof 即可解決問題（2）作 bmcd 于 m易證四邊形 oemb 是正方形，oeembmob6，在 cbm 中，求出 cm 即可【解答】解：（1）如圖，連接 of、oe四邊

30、形 abcd 是平行四邊形， ac60，cdab，oaof，aof 是等邊三角形，aof60，cd 是o 切線，oecd，cdab，oeab，aoe90，eof30，的長為 （2）作 bmcd 于 m易證四邊形 oemb 是正方形，oeembmob6， 在 cbm 中，c60，bm6，tan60 ，cm2，cecm+em2故答案為 2 +6+6，【點評】本題考查切線的性質、平行四邊形的性質、等邊三角形的判定和性質、扇形的面積公式、解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，靈活運用知識解決問題，屬于中考常考題型23如圖，在平面直角坐標系中，直線 yx+3 與 x 軸交于點 b，與直線

31、cd 交于點 a（ 點 d 的坐標為（0， ），點 c 在 x 軸上（1） 求 a 的值；（2） 求直線 cd 的解析式；（3） 若點 e 是直線 cd 上一動點（不與點 c 重合），當cbecod 時，求點 e 的坐標，a），【分析】（1）將點 a 的橫坐標代入直線 yx+3 中即可求出 a；（2） 用待定系數法直接求出直線 cd 的解析式；（3） 先由兩三角形相似即可得出cbe90，進而得出點 e 的橫坐標，再代入直線 cd 的解析式中， 即可得出結論【解答】解：（1）點 a（，a）在直線 yx+3 上，a+3a，（2）d（0， ），設直線 cd 的解析式為 ykx+ （k0），由（1）知

32、，aa（ ，），點 a 在直線 cd 上， k+ ， k ，直線 cd 的解析式為 y x+ ；（3）點 b 是直線 yx+3 與 x 軸的交點， b（3，0），cbecod，cbecod90，點 e 的橫坐標為3，當 x3 時，y （3）+ ，e（3， ）【點評】此題是一次函數綜合題，主要考查了待定系數法求直線解析式，相似三角形的性質，解本 題的關鍵是求出直線 cd 的解析式，是一道比較簡單的題目24abc 中，acb90，以 ab 為一邊作等邊abd，且點 d 與點 c 在直線 ab 同側，平面內有一點 e 與點 d 分別在直線 ab 兩側，且 bebc，abedbc，連接 cd.ae，a

33、c5，bc3 （1）求證：cdae；（2） 點 e 關于直線 ab 的對稱點為點 f，判斷bfc 的形狀，并說明理由；（3） 在（2）的條件下，當線段 cd 最短時，請直接寫出四邊形 aebf 的面積【分析】（1）根據 sas 判定abedbc，即可得出 cdae；（2） 根據軸對稱的性質以及全等三角形的性質，即可得出 bfbc，cbf60，進而判 bcf 是等邊三角形；（3） 根據 af+fcac，即可得到 af+35，即 af2，因而得到 af 的最小值為 2，即 cd 的最小值為2，此時 af+fcac，即點 f 在 ac 上，再過 b 作 bgac 于 g，則 bfg 中，fbg30，

34、求 abf 的面積，即可得到四邊形 aebf 的面積【解答】解：（1）如圖，abd 是等邊三角形， abdb，在abe 和dbc 中，abedbc（sas），cdae；（2）bfc 是等邊三角形，理由：如圖，點 e 關于直線 ab 的對稱點為點 f，ab 垂直平分 ef，bfbe，abeabf，又bcbe，abedbc，bfbc，abfdbc，abdabf+dbf60，dbc+dbf60，即cbf60，bcf 是等邊三角形；（3）點 e 關于直線 ab 的對稱點為點 f，abedbc， afae，aedc，afcd，由（2）可得，等邊三角形 bcf 中，fcbc3，af+fcac，af+35，即 af2，af 的最小值為 2，即 cd 的最小值為 2，此時 af+fcac，即點 f 在 ac 上，如圖所示，過 b 作 bgac 于 g，則 bfg 中，fbg30，fg bf ，bg fg ，abf 的