1、數(shù)學建模,Mathematical Modelling,1,課件教育,第六講 運載火箭發(fā)射衛(wèi)星數(shù)學模型,火箭是一個復雜的系統(tǒng)，為了使問題簡單明了，我們只從動力系統(tǒng)和整體結(jié)構(gòu)上分析，并且總假設(shè)火箭的推動力是足夠強大 的,一、為什么不能用一級火箭發(fā)射人造衛(wèi)星 二、理想火箭模型 三、多級火箭系統(tǒng),2,課件教育,1)模型假設(shè) 1.1 衛(wèi)星軌道是以地球中心為圓心的某個平面上的圓周，衛(wèi)星在此軌道上以地球引力作為向心力繞地球作平面勻速圓周運動； 1.2 地球是固定于空間中的一個均勻球體，其質(zhì)量集中于球心； 1.3 其它星球?qū)πl(wèi)星的引力忽略不計,1.衛(wèi)星能進入600km高空軌道,火箭必須的最低速度,一、為什么

2、不能用一級火箭發(fā)射人造衛(wèi)星,3,課件教育,設(shè)地球半徑為R， 中心為O，質(zhì)量為M，曲線C表示地球表面， C表示衛(wèi)星軌道，C的半徑為r，衛(wèi)星的質(zhì)量為m,1.衛(wèi)星能進入600km高空軌道,火箭必須的最低速度,一、為什么不能用一級火箭發(fā)射人造衛(wèi)星,4,課件教育,如果把衛(wèi)星放在地球表面，則由（1）式，得,2）建模與求解 根據(jù)假設(shè)1.2、1.3，衛(wèi)星只受地球引力，由牛頓萬有引力定律可知其引力大小為,1,5,課件教育,6,課件教育,2.火箭推進力及升空速度 火箭的簡單模型是由一臺發(fā)動機和一個燃料倉組成。燃料燃燒產(chǎn)生大量氣體從火箭末端噴出，給火箭一個向前的推力。火箭飛行要受地球引力、空氣阻力、地球自轉(zhuǎn)與公轉(zhuǎn)等

3、的影響，使火箭升空后作曲線運動,1.衛(wèi)星能進入600km高空軌道,火箭必須的最低速度,一、為什么不能用一級火箭發(fā)射人造衛(wèi)星,7,課件教育,1）模型假設(shè) 為使問題簡化，假設(shè)： 2.1 火箭在噴氣推動下作直線運動，火箭所受的重力和空氣阻力忽略不計； 2.2 在t時刻火箭質(zhì)量為m(t)，速度為v(t)，且均為時間t的連續(xù)可微函數(shù)； 2.3 從火箭末端噴出氣體相對火箭本身的速度u為常數(shù),即氣體相對于地球的速度為v(t)-u,8,課件教育,2）建模與分析 由于火箭在運動過程中不斷噴出氣體，使其質(zhì)量不斷減少，在t, t+t 內(nèi)的減少量可由微分公式表示為,即,9,課件教育,10,課件教育,因為噴出氣體相對地

4、球的速度為v(t)-u，則由動量守恒定律有,11,課件教育,12,課件教育,表明火箭所受推力等于燃料消耗速度與噴氣速度(相 對火箭)的乘積,表明，在一定的條件下，火箭升空速度由噴氣速度(相對火箭)及質(zhì)量比決定。這為提高火箭速度找到了正確途徑：盡可能提高火箭燃燒室產(chǎn)生的氣體噴出的速度，這需要從燃料上想辦法；盡可能減少在時刻火箭的質(zhì) 量，這要從結(jié)構(gòu)上想辦法,13,課件教育,3. 一級火箭末速度上限,火箭衛(wèi)星系統(tǒng)的質(zhì)量可分為三部分：凈載質(zhì)量(有效負載，如衛(wèi)星)mp, ， 燃料質(zhì)量mF ，結(jié)構(gòu)質(zhì)量(如外殼、燃料容器及推進器) mS。一級火箭末速度上限主 要是受目前技術(shù)條件的限制,1) 模型假設(shè) 3.1

5、 一般來說，結(jié)構(gòu)質(zhì)量mS在mS+ mF中占有一定的比例，在現(xiàn)有技術(shù)條件下，要使燃料與發(fā)動機的質(zhì)量和小于所載燃料的1/9是很難做到的。 目前技術(shù)條件下不妨設(shè)相對火箭的噴氣速度u=3km/s. 3.2 初速度v0忽略不計，即v0 =0,14,課件教育,2）建模與求解 因為升空火箭的最終(燃料已耗盡)質(zhì)量為mp+ms。然后將燃料倉和發(fā)動機丟棄，只剩下凈載體，由式(1)及假設(shè)3.2得到其末速度為,令 ，代入上式，得,由此可見，對于給定u值，當有效負荷mp=0時，火箭末速度達到最大，即火箭末速度上限的數(shù)學模型,2,3,15,課件教育,而衛(wèi)星能進入 600km 高空軌道, 火箭末速度最低為 7.6km/s

6、. 即便忽略空氣阻力、重力、不攜帶任何東西的情況下，火箭末速度最大才6.6km/s。因此，用一級火箭發(fā)射衛(wèi)星，在目前技術(shù)條件下無法達到在相應(yīng)高度所需的速 度，也就是說單級火箭不能用于發(fā)射衛(wèi)星,由假設(shè)3.1，取u =3km, ，便得火箭末速度上限,4,16,課件教育,這就是單級火箭設(shè)計方面的最大缺點，因此我們必須反思，有必要改進火箭的設(shè)計,3) 模型分析,單級火箭一直將將燃料倉和發(fā)動機帶到了末端，而未將這些丟棄,火箭發(fā)動機作了許多無用功。也就是說發(fā)動機必須把整個沉重的火箭加速到最后,但是當燃料耗盡時,發(fā)動機加速的僅僅是一個空的燃料倉,17,課件教育,上面我們對問題分析可以看出：火箭推進力自始至終

7、在加速著整個火箭，然而隨著燃料的不斷消耗，所出現(xiàn)的無用結(jié)構(gòu)質(zhì)量也在隨之不斷加速，作了無用功，效益低，浪費大。所謂理想火箭，就是能夠隨著燃料的 燃燒不斷拋棄火箭的無用結(jié)構(gòu),二、理想火箭模型,一、為什么不能用一級火箭發(fā)射人造衛(wèi)星,18,課件教育,在t 時刻動量為m(t) v(t) ，而在t+t 時刻的動量為,2）建模與分析,1）模型假設(shè) 在t, t+t 時段丟棄的結(jié)構(gòu)質(zhì)量與燒掉的燃料質(zhì)量以與1- 的比例同時進行,19,課件教育,根據(jù)動量守恒定律，有,20,課件教育,21,課件教育,22,課件教育,由上式可知，當燃料耗盡，結(jié)構(gòu)質(zhì)量拋完全棄時，便只剩下衛(wèi)星質(zhì)量mp，從而最終速度的數(shù)學模型為,當m0足夠

8、大，便可使衛(wèi)星達到我們所希望它具有的任意速度。例如，考慮到空氣阻力和重力等因素，估計要使v=10.5km/s才行,如果取u=3km/s, =0.1,則可推出m0/mp =50，即發(fā)射1噸重的衛(wèi)星大約需50噸重的理想火箭,23,課件教育,理想火箭設(shè)想就是把無用的結(jié)構(gòu)質(zhì)量連續(xù)拋棄以達到最佳的升空速度,雖然在目前的技術(shù)條件下難以辦到,但它確為發(fā)展火箭技術(shù)指明了奮斗目標。目前已商業(yè)化的多級火箭衛(wèi)星系統(tǒng)便是朝著這種目標邁出的第一步。多級火箭是從末級開始，逐級燃燒,當?shù)趇級燃料燒盡時,第i+1級 火箭立即自動點火,并拋棄已經(jīng)無用的第i 級,三、多級火箭衛(wèi)星系統(tǒng),二、理想火箭模型,一、為什么不能用一級火箭發(fā)

9、射人造衛(wèi)星,24,課件教育,1）模型假設(shè),為了簡單起見，先作如下假設(shè)： (1)mi 用表示第i級火箭質(zhì)量，mp表示有效負載。 (2)設(shè)各級火箭具有相同的， mi表示第i級結(jié)構(gòu)質(zhì)量, (1- ) mi表示第i級的燃料質(zhì)量。 (3)噴氣相對火箭的速度u 相同,1. 多級火箭的速度,25,課件教育,火箭的初始質(zhì)量為,第一級火箭燃料消耗完畢時，火箭的質(zhì)量為,2）模型建立與求解,此時第一級火箭的速度為,將第一級火箭的結(jié)構(gòu)拋去，點燃第二級火箭，此時火箭的質(zhì)量為,26,課件教育,并且具有初速度v1 . 類似可求得第二級火箭燃料消耗完畢時，火箭的速度為,那么第n級火箭燃料消耗完畢時，火箭的末速度為,n級火箭的

10、速度,27,課件教育,2. 各級火箭質(zhì)量的分配,2) 模型假設(shè) 同前所述,28,課件教育,2) 模型建立,根據(jù)我們的分析，可以建立一個單目標，非線性約束的優(yōu)化問題,29,課件教育,3) 模型求解,令,ai 表示第i 級火箭點燃之前火箭系統(tǒng)的質(zhì)量與該級火箭被拋棄火箭系統(tǒng)質(zhì)量之比,那末將問題可以轉(zhuǎn)化為另一個優(yōu)化問題,30,課件教育,再令 ，那么,顯然,再將問題轉(zhuǎn)化為下面的優(yōu)化問題,31,課件教育,32,課件教育,令,根據(jù)Lagrange乘數(shù)法，令,33,課件教育,34,課件教育,當 時,取到極大值,最優(yōu)質(zhì)量比,35,課件教育,從圖中我們可以看到：多級火箭的最優(yōu)質(zhì)量比隨著火箭級數(shù)n的增加而減少,即以理想火箭的質(zhì)量比為極限,并且,36,課件教育,3) 三級火箭的最優(yōu)性,對于v=10.5km/s，u=3km/s, =0.1，利用公式,計算多級火箭的最優(yōu)質(zhì)量比,37,課件教育,從上表中我們看到：三級火箭的最優(yōu)質(zhì)量比幾乎是二級火箭最優(yōu)質(zhì)量比2倍，也就是與二級火箭相比，在達到相同效果的情況下，三級火箭幾乎節(jié)