1、2015年普通高等學校招生全國統一考試（湖北卷）數 學（理工類）本試題卷共6頁，22題，其中第15、16題為選考題。全卷滿分 150分。考試用時120分鐘。注意事項：1 答卷前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼 在答題卡上的指定位置。用 2B鉛筆將答題卡上試卷類型 A后的方框涂黑。2 選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效。3填空題和解答題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區域內。寫在試題卷、草 稿紙和答題卡上的非答題區域均無效。4 選考題的作答：先把所選題目的題號

2、在答題卡上指定的位置用2B鉛筆涂黑，再在答題卡上對應的答題區域內答題。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效。5 考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。-、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1. i為虛數單位，i607的共軛復數 為A. iB. -iC. 1D. -12我國古代數學名著數書九章有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1534石，驗得米內夾谷，抽樣取米一把，數得254粒內夾谷28粒，則這批米內夾谷約為A 134 石B 169 石C. 338 石D 1365 石3已知（1 x）n的展開式中第4項與第8項的

3、二項式系數相等，則奇數項的二項式系數和為D 2912 11 10A 2B 2C 2224設X N（f, G） , Y N（2, G），這兩個正態分布 密度曲線如圖所示下列結論中正確的是A P（Y _ 需）_P（Y _7）B P（X空 P（X 空口）C對任意正數t , P（X乞t） _P（Y遼t）D 對任意正數 t , P（X t） P（Y t）5設 ai,a2,|l|,an R , n _3若 p: ai,a2,|l|,an成等比數列；q：(al-a；a2)(a；- a3- | -a：)=但急-a?a3，川-玄.少)2，則A p是q的充分條件，但不是 q的必要條件B p是q的必要條件，但不是

4、q的充分條件C. p是q的充分必要條件D. p既不是q的充分條件，也不是 q的必要條件1, x 0,6. 已知符號函數 sgnx=?O, x=0, f(x)是 R 上的增函數，g(x)二 f (x) - f (ax) (a .1)，貝U-1, X 0.A sgng(x) =sgnxB. sgng(x) _ _sgnxC. sgng(x) =sgnf(x)D. sgng(x) -sgnf(x)1 17. 在區間0, 1上隨機取兩個數x,y，記a為事件x y丄- ”的概率，p?為事件|x-y|_ ”2 21的概率，p3為事件“ xy乞1 ”的概率，貝U2A p1： p2: p3B.p2: p3:

5、p1C P3： P1： P2D p3: P2： P1&將離心率為e的雙曲線G的實半軸長a和虛半軸長b(a=b)同時增加m (m 0)個單位長度，得到離心率為e2的雙曲線C2，貝UA 對任意的 a, b , ee2B當 a b 時，e 倉；當 a cb 時，e ce2C對任意的 a, b, 3：D.當 a b 時，3 ： ；當 a ： b 時， e29 已知集合 A=(x,y)x2+y2E1, x,y 乏 Z,B =( x, y) | x|蘭2 , | y |蘭 2, x, y 乏 Z,定義集合A二B二(洛X2,% y2)() A, gy) B，則A二B中元素的個數為A . 77B . 49C

6、. 45D . 3010 .設x R , x表示不超過x的最大整數.若存在實數t，使得t =1 , t2 =2，tn = n同時成立，則正整數n的最大值是A . 3B . 4C . 5D . 6二、填空題：本大題共6小題，考生需作答 5小題，每小題5分，共25分請將答案填在答題卡.對應題號的位置上.答錯位置，書寫不清，模棱兩可均不得分(一)必考題(11 14題)ii已知向量OTAB, |乩3，則忍忒2 xn12. 函數 f(x) =4cos cos( X -2sin x ln( x 1) | 的零點個數為13. 如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側一山頂 D在西偏北

7、30的方向上，行駛600m后到達B處，測得此山頂在西偏北 75的方向上，仰角為30；，則此山的高度CD =m.第13題圖第14題圏14.如圖，圓C與x軸相切于點T（1,0），與y軸正半軸交于兩點 A, B（ B在A的上方），且 AB =2 .（I）圓C的標準方程為；（H）過點 A任作一條直線與圓 O:x2，y2=1相交于M,N兩點，下列三個結論： NA； NB 嚴. NB . MA=2 2NBMB ；NA MB；NA MB其中正確結論的序號是 .（寫出所有正確結論的序號）（二）選考題（請考生在第15、16兩題中任選一題作答，請先在答題卡指定位置將你所選的題目序號后的方框用2B鉛筆涂黑如果全選，

8、則按第 15題作答結果計分.）15. （選修4-1 :幾何證明選講）如圖，FA是圓的切線，A為切點,ABBC =3PB，貝U 竺=AC16. （選修4-4:坐標系與參數方程） 在直角坐標系xOy中，以0為極點,(t為參數)，1與C相交于A,B方程為(sin v _3cos刃=0 ,曲線C的參數方程為兩點U |AB| 二 三、解答題：本大題共 6小題，共75分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17. (本小題滿分11分)某同學用“五點法”畫函數n.f(x) =Asin(x亠計(u -0, | :|)在某一個周期內的圖象時，列表并填入了部分數據，如下表:wx +半0n2n3n22 nxn3

9、5 n6Asin（cox 十申）0550(I)請將上表數據補充完整，填寫在答題卡上相應位置，并直接寫出函數f(x)的解析式;(n)將y =f(X)圖象上所有點向左平行移動二(二0)個單位長度，得到 y =g(x)的圖象若y =g(x)圖象的一個對稱中心為(2, o)，求日的最小值.1218.(本小題滿分12 分)設等差數列an的公差為d,前n項和為Sn，等比數列bj的公比為q =d , S10 =100 .第題圖(I)求數列an , bn的通項公式；a(n)當d 1時，記Cn n，求數列Cn的前n項和Tn .bn19. (本小題滿分12分)九章算術中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的 四

10、棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為 鱉臑.如圖，在陽馬P-ABCD中，側棱PD _底面ABCD，且PD =CD，過棱PC的中點E，作EF _ PB交PB于點F，連 接 DE , DF , BD, BE.(I)證明：PB _平面DEF .試判斷四面體 DBEF是否為鱉臑，若是，寫出其每個面的直角(只需寫出結論)；若不是，說明理由；(H)若面DEF與面ABCD所成二面角的大小為 n，求DC的值.3 BC20. (本小題滿分12分)某廠用鮮牛奶在某臺設備上生產 A,B兩種奶制品.生產1噸A產品需鮮牛奶2噸，使用設 備1小時，獲利1000元；生產1噸B產品需鮮牛奶1.5噸，使用設備1

11、.5小時，獲利1200元.要 求每天B產品的產量不超過 A產品產量的2倍，設備每天生產 A,B兩種產品時間之和不超過 12 小時假定每天可獲取的鮮牛奶數量 W (單位：噸)是一個隨機變量，其分布列為W121518P0.30.50.2該廠每天根據獲取的鮮牛奶數量安排生產，使其獲利最大，因此每天的最大獲利 Z (單位：元)是一個隨機變量.(I)求Z的分布列和均值；(n)若每天可獲取的鮮牛奶數量相互獨立，求3天中至少有1天的最大獲利超過 10000元的概率.21. (本小題滿分14分)一種作圖工具如圖1所示.0是滑槽AB的中點，短桿 ON可繞0轉動，長桿 MN通過N 處鉸鏈與ON連接，MN上的栓子D

12、可沿滑槽AB滑動，且DN =0N =1 , MN =3 .當栓子D 在滑槽AB內作往復運動時，帶動.N繞0轉動一周(D不動時，N也不動)，M處的筆尖畫出的 曲線記為C .以0為原點，AB所在的直線為x軸建立如圖2所示的平面直角坐標系.(I)求曲線C的方程；(n)設動直線I與兩定直線h：x-2y=0和l2：x，2y=0分別交于P, Q兩點.若直線I總與曲線C有且只有一個公共點，試探究： OPQ的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說明理由.22. (本小題滿分14分)1已知數列an的各項均為正數，bn(1 )nan (n- N ) , e為自然對數的底數.n1(I)求函數f (x

13、) =1 X ex的單調區間，并比較 (1 )n與e的大小；(n)計算nb1 , blb2 ,，由此推測計算盹A的公式，并給出證明；a1 ai a2a1a2 a3印比樸|a n(川)令c1na&Ulanf，數列an , 務的前n項和分別記為Sn,Tn,證明：Tn :：: eSn.絕密啟用前2015年普通高等學校招生全國統一考試（湖北卷）數學（理工類）試題參考答案一、選擇題（本大題共10小題，每小題5 分人共50分）1. A 2. B3. D 4. C 5. A6. B7. B8. D9. C10. B二、填空題（本大題共6小題，考生需作答5小題，每小題5分，共25分）11. 912. 213.

14、100.614. (I) (x -1)2 (y - 2)2 =2 ； (H)15.1216.2.5三、解答題（本大題共6小題，共75分）17. (11 分)（I）根據表中已知數據，解得A=5,=2, = -n.數據補全如下表:6ox0n2n3 n22nnn7 n5 n13x=n12312612Asi n(cox +申)050-50且函數表達式為f(x) =5sin(2x - n)6（n）由（I）知f（x）=5si n（ 2x-n），得 g（x） =5si n（2x+2 日-n）.6 6 因為y =sinx的對稱中心為（kn,0） , k Z .令 2x - 2 _n = kn,解得 x= .芒

15、-k Z .6 2 12由于函數y=g（x）的圖象關于點（5,0）成中心對稱，令 耳+丄-0 =55,12 2 12 12解得v -_n,Z .由，0可知，當k=1時，二取得最小值-2 3618. （12 分）(I)由題意有，10a1 45dm =2,=100,2a1 9d =20,即1=2,解得d二1,二 2,a = 9或 2d =-9an故bn=2n -1,n 1=2 一.an或bn1(2n 79),92 n 1=9 (扌一.d =1(H)由，an =2n _1 知，bn=2心故Cn2n -12 -3 579T =1亠n2342 2 2 2倉糸F炸川背-可得=2打川R號亠32n 3丁，故T

16、n2n 3=6 -19. (12 分)（解法1）(I)因為PD底面ABCD，所以PD _ BC ,由底面ABCD為長方形，有 BC _CD，而pdcd所以BC _平面PCD .而DE 平面PCD，所以BC _ DE 又因為PD =CD，點E是PC的中點，所以 DE _ PC.而PC “BC =C，所以DE _平面PBC.而PB 平面PBC，所以PB_ DE .又 PB _ EF，DE 門 EF 二 E，所以 PB _ 平面 DEF .由DE _平面PBC，PB_平面DEF，可知四面體 BDEF的四個面都是直角三角形，即四面體BDEF是一個鱉臑，其四個面的直角分別為/DEB, /DEF，EFB，

17、/ DFB .（H）如圖1，在面PBC內，延長BC與FE交于點G，則DG是平面DEF與平面 ABCD 的交線由（I）知， PB _平面DEF，所以PB _ DG .又因為PD _底面ABCD，所以PD _ DG 而PD PB =P，所以DG _平面PBD .故.BDF是面DEF與面ABCD所成二面角的平面角，設 PD =DC =1， BC = ，有 BD =：1 2，在 Rt PDB 中,由 DF _PB,得 DPF = FDB =-,3則 tanntan. DPF= 3,解得？；嚴訝.3 PD所以DCBC故當面DEF與面ABCD所成二面角的大小為 n時，DC =23 BC 2(解法2)(I)

18、如圖2,以D為原點，射線DA,DC,DP分別為x,y,z軸的正半軸，建立空間直角坐標系 設PD =DC =1，BC -，則 D(O,O,C), (0,0,1),(,B0)/ (010C，PB=(，,1,-1)，點 E 是 PC1 11 1的中點，所以 E(0, -, -) , DE =(0,-,-)2 22 2是 PB DE =0,即 PB _ DE又已知EF _PB , 因 PC =(0,1, 1),而DE EF =E，所以DE PC =0,貝y DE _PC,所以PB _ 平面 DEF DE _ 平面 PBC .由DE _平面PBC，PB_平面DEF，可知四面體BDEF的四個面都是直角三角

19、形,(H)由PD _平面ABCD，所以DP =(0, 0,1)是平面ABCD的一個法向量;由(I)知， PB _平面DEF，所以BP =( - , -1,1)是平面DEF的一個法向量若面DEF與面ABCD所成二面角的大小為 n3，-BP -DP1|BPn dp |J&2 +21n則 COS-二32，lDC解得衣F2 .所以BC故當面DEF與面ABCD所成二面角的大小為n時，DC 二3 BC 一 220. (12 分)(I)設每天 A,B兩種產品的生產數量分別為 x,y，相應的獲利為z，則有2x 1.5y 乞W,(1)x 1.5y 12,2x -y _0,x _0, y _0.目標函數為z =1

20、 0 0 0十1 2 yo0如QQ12第茂題解答圖I第20題解答圖3-第20題解答圖P當W =12時，(1)表示的平面區域如圖1,三個頂點分別為A(0, 0), B(2.4, 4.8), C(6, 0).將 z=1000x 1200y變形為 y = _5x 6 1200 當x =2.4, y =4.8時，直線l : y =-5x在y軸上的截距最大，6 1200最大獲利 Z =Zmax =2.4 10004.8 1200 =8160 .當W =15時，(1)表示的平面區域如圖2，三個頂點分別為A(0, 0), B(3, 6), C(7.5, 0).5 z 將 z=1000x 1200y 變形為

21、y x6 1200當x =3, y =6時，直線l : y - -5x z在y軸上的截距最大,6 1200最大獲利 Z 二zmax =3 10006 1200 =10200 .當W =18時，(1)表示的平面區域如圖3,四個頂點分別為 A(0, 0), B(3, 6), C(6, 4), D(9, 0).5 z 將 z=1000x 1200y 變形為 y x6 12005 z當x=6,y=4時，直線I : y=_5x 在y軸上的截距最大,6 1200最大獲利 Z =Zmax =6 10004 1200 =10800 .故最大獲利Z的分布列為z81601020010800P0.30.50.2因此

22、,E(Z) =8160 0.3 10200 0.5 10800 0.2 =9708.(n)由(I)知，一天最大獲利超過10000元的概率 訪=p(z .10000)=0.5 7.2 = 0.7,由二項分布，3天中至少有1天最大獲利超過10000元的概率為33p =1 _(1 pj-0.3 =0.973.21. (14 分)(I)設點 D(t,0)(|t|E2) , N(x0,y。)，M (x,y)，依題意,mD= 2DN，且 |DN |=|ON | = 1 ,第21題解答圖4 2 2所以(t(x-t)y =1,-x, - y) = 2(x0 -t, y0)，且 22、X0=1.t -x =2

23、x0 -21, 即且 t(t2xc)=0.y = -2丫0.由于當點D不動時，點N也不動，所以t不恒等于0,是 t =2x0，故 x =-,y0y，代入 xf y2 1，可得221.4即所求的曲線C的方程為22L丄162 2,164(n) ( 1)當直線I的斜率不存在時,直線、 1l 為 x=4 或 X-4，都有 S -OPQ4 4=8.2(2)當直線I的斜率存在時，設直線, y =kx m,222由 22消去 y，可得(1 4k )x 8kmx 4m -16=0.x 4y =16,因為直線I總與橢圓C有且只有一個公共點，所以厶-64k2m2 _4(1 4k2)(4m216) =0，即 m2

24、=16k2 - 4 ., =kx +m,2m又由x_2y=0,可得P(Rm2m m);冋理可得Q( ,).1 -2k1 2k 1 2k由原點0到直線PQ的距離為dm 2 和 PQ = 1 k2 Xp -Xq ，可得 ,1k21 1S opq 2 PQ d = 2 m Xp Xq2m21 4k22m 2m1匚2k 廠2k將代入得，SOPQ二22m1 _4k24k +124k -121 4k 12k 時，S opq =8(2) =8(12)8 ；4 4k -14k -10 _k214ku12:時，S opq =8(- =8(1t).4 1 -4k1 -4k0 2當且僅當12，則 0 ：:1 4k2 乞 1，2 -2，所以 S OPQ =8(-1 -41 -4kk =0時取等號2E8，所以當k =0時，S opq的最小值為8.OPQ的面積取得最小值綜合(1)(2)可知，當直線I與橢