1、夜風非常冷整理數學運算經典題型總結訓練一、容斥原理容斥原理關鍵就兩個公式：1. 兩個集合的容斥關系公式：a+b=ab+ab2. 三個集合的容斥關系公式：a+b+c=abc+ab+bc+ca-abc請看例題：【例題 1】某大學某班學生總數是 32 人，在第一次考試中有 26 人及格，在第二次考試中有 24 人及格，若兩次考試中，都沒及格的有 4 人，那么兩次考試都及格的人數是( )a.22 b.18 c.28 d.26【解析】設 a=第一次考試中及格的人數(26 人),b=第二次考試中及格的人數(24 人),顯然,a+b=26+24=50；ab=32-4=28，則根據 ab=a+b-ab=50-

2、28=22。答案為 a。【例題 2】電視臺向 100 人調查前一天收看電視的情況，有 62 人看過 2 頻道，34 人看過 8 頻道，11 人兩個頻道都看過。問兩個頻道都沒看過的有多少人？【解析】設 a=看過 2 頻道的人(62)，b=看過 8 頻道的人(34)， 顯然，a+b=62+34=96；ab=兩個頻道都看過的人(11)，則根據公式 ab=a+b-ab=96-11=85，兩個頻道都沒看過的人數為 100-85=15 人。二、作對或做錯題問題【例題】某次考試由 30 到判斷題，每作對一道題得 4 分，做錯一題倒扣 2 分，小周共得 96 分，問他做錯了多少道題？a.12b.4c.2d.5

3、【解析】作對一道可得 4 分,如果每作對反而扣 2 分,這一正一負差距就變成了 6 分.30 道題全做對可得 120 分,而現在只得到 96 分,意味著差距為 24 分,用 246=4 即可得到做錯的題,所以可知選擇 b 三、植樹問題核心要點提示：總路線長間距(棵距)長棵數。只要知道三個要素中的任意兩個要素，就可以求出第三個。【例題 1】李大爺在馬路邊散步，路邊均勻的栽著一行樹，李大爺從第一棵數走到第 15 棵樹共用了 7 分鐘，李大爺又向前走了幾棵樹后就往回走，當他回到第 5 棵樹是共用了 30 分鐘。李大爺步行到第幾棵數時就開始往回走？a.第 31 棵b.第 32 棵c.第 33 棵d.第

4、 34 棵解析：李大爺從第一棵數走到第 15 棵樹共用了 7 分鐘，也即走14 個棵距用了 7 分鐘，所以走每個棵距用 0.5 分鐘。當他回到第 5 棵樹時，共用了 30 分鐘，計共走了 300.5=60 個棵距，所以答案為 b。第一棵到第 33 棵共 32 個棵距，第 33 可回到第 5 棵共 28 個棵距，32+28=60 個棵距。【例題 2】為了把 2008 年北京奧運會辦成綠色奧運，全國各地都在加強環保，植樹造林。某單位計劃在通往兩個比賽場館的兩條路的(不相交)兩旁栽上樹，現運回一批樹苗，已知一條路的長度是另一條路長度的兩倍還多 6000 米，若每隔 4 米栽一棵，則少 2754 棵；

5、 若每隔 5 米栽一棵，則多 396 棵，則共有樹苗：( ）a.8500 棵b.12500 棵c.12596 棵d.13000 棵解析：設兩條路共有樹苗棵，根據栽樹原理，路的總長度是不變的，所以可根據路程相等列出方程：(+2754-4)4=(-396- 4)5(因為 2 條路共栽 4 排，所以要減 4)解得=13000，即選擇 d。四、濃度問題【例 1】(2008 年北京市應屆第 14 題)甲杯中有濃度為 17%的溶液 400 克，乙杯中有濃度為 23%的溶液600 克。現在從甲、乙兩杯中取出相同總量的溶液，把從甲杯中取出的倒入乙杯中，把從乙杯中取出的倒入甲杯中，使甲、乙兩杯溶液的濃度相同。問

6、現在兩杯溶液的濃度是多少( )a.20%b.20.6%c.21.2%d.21.4%【答案】b。解析：只要抓住了整個過程最為核心的結果“甲、乙兩杯溶液的濃度相同”，問題就變得很簡單了。因為兩杯溶液最終濃度相同，因此整個過程可以等效為將甲、乙兩杯溶液混合均勻之后，再分開成為 400 克的一杯和 600 克的一杯。因此這道題就簡單的變成了“甲、乙兩杯溶液混合之后的濃度是多少”這個問題了。五抽屜問題（1）3 個蘋果放到 2 個抽屜里，那么一定有 1 個抽屜里至少有 2 個蘋果。（2）5 塊手帕分給 4 個小朋友，那么一定有 1 個小朋友至少拿了 2塊手帕。（3）6 只鴿子飛進 5 個鴿籠，那么一定有

7、1 個鴿籠至少飛進 2 只鴿子。由上可以得出：抽屜原理 1：把多于 n 個的物體放到 n-1 個抽屜里，則至少有一個抽屜里有 2 個或 2 個以上的物體。再看下面的兩個例子：（4） 把 30 個蘋果放到 6 個抽屜中，問：是否存在這樣一種放法， 使每個抽屜中的蘋果數都小于等于 5？（5） 把 30 個以上的蘋果放到 6 個抽屜中，問：是否存在這樣一種放法，使每個抽屜中的蘋果數都小于等于 5？解答:（4）存在這樣的放法。即：每個抽屜中都放 5 個蘋果；（5）不存在這樣的放法。即：無論怎么放，都會找到一個抽屜，它里面至少有 6 個蘋果。從上述兩例中我們還可以得到如下規律：抽屜原理 2：把多于 mn

8、 個的物體放到 n 個抽屜里，則至少有一個抽屜里有 m1 個或多于 ml 個的物體。可以看出，“原理 1”和“原理 2”的區別是：“原理 1”物體多，抽屜少，數量比較接近；“原理 2”雖然也是物體多，抽屜少，但是數量相差較大，物體個數比抽屜個數的幾倍還多幾。解此類問題的重點就是要找準“抽屜”，只有“抽屜”找準了，“蘋果”才好放。我們先從簡單的問題入手：（1）3 只鴿子飛進了 2 個鳥巢，則總有 1 個鳥巢中至少有幾只鴿子？（答案：2 只）（2） 把 3 本書放進 2 個書架，則總有 1 個書架上至少放著幾本書？（答案：2 本）（3） 把 3 封信投進 2 個郵筒，則總有 1 個郵筒投進了不止幾

9、封信？（答案：1 封）（4）1000 只鴿子飛進 50 個巢，無論怎么飛，我們一定能找到一個含鴿子最多的巢，它里面至少含有幾只鴿子？（答案： 10005020，所以答案為 20 只）（5） 從 8 個抽屜中拿出 17 個蘋果，無論怎么拿。我們一定能找到一個拿蘋果最多的抽屜，從它里面至少拿出了幾個蘋果？（答案： 17821，213，所以答案為 3）（6） 從幾個抽屜中（填最大數）拿出 25 個蘋果，才能保證一定能找到一個抽屜，從它當中至少拿了 7 個蘋果？（答案：256，可見除數為 4，余數為 1，抽屜數為 4，所以答案為 4個）上面（4）、（5）、（6）題的規律是：物體數比抽屜數的幾倍還多幾的

10、情況，可用“蘋果數”除以“抽屜數”，若余數不為零，則“答案”為商加 1；若余數為零，則“答案”為商。其中第（6）題是已知“蘋果數”和“答案”來求“抽屜數”。抽屜問題的用處很廣，如果能靈活運用，可以解決一些看上去相當復雜、覺得無從下手，實際上卻是相當有趣的數學問題。例 1：某班共有 13 個同學，那么至少有幾人是同月出生？（ ）a. 13b. 12c. 6d. 2解 1：找準題中兩個量，一個是人數，一個是月份例 2：某班參加一次數學競賽，試卷滿分是 30 分。為保證有 2 人的得分一樣，該班至少得有幾人參賽？（ ）a. 30 b. 31 c. 32 d. 33解 2：滿分是 30 分，則一個人可

11、能的得分有 31 種情況（從 0 分到30 分），所以“蘋果”數應該是 31132。【已知蘋果和抽屜，用 “抽屜原理 2”】例 3.在某校數學樂園中，五年級學生共有 400 人，年齡最大的與年齡最小的相差不到 1 歲，我們不用去查看學生的出生日期，就可斷定在這 400 個學生中至少有兩個是同年同月同日出生的，你知道為什么嗎？解 3：因為年齡最大的與年齡最小的相差不到 1 歲，所以這 400 名學生出生的日期總數不會超過 366 天，把 400 名學生看作 400 個蘋果，366 天看作是 366 個抽屜，（若兩名學生是同一天出生的，則讓他們進入同一個抽屜，否則進入不同的抽屜）由“抽屜原則 2”

12、知“無論怎么放這 400 個蘋果，一定能找到一個抽屜，它里面至少有2（40036611，112）個蘋果”。即：一定能找到 2 個學生，他們是同年同月同日出生的。例 4：有紅色、白色、黑色的筷子各 10 根混放在一起。如果讓你閉上眼睛去摸，（1）你至少要摸出幾根才敢保證至少有兩根筷子是同色的？為什么？（2）至少拿幾根，才能保證有兩雙同色的筷子，為什么？解 4：把 3 種顏色的筷子當作 3 個抽屜。則：（1） 根據“抽屜原理 1”，至少拿 4 根筷子，才能保證有 2 根同色筷子；（2） 從最特殊的情況想起，假定 3 種顏色的筷子各拿了 3 根，也就是在 3 個“抽屜”里各拿了 3 根筷子，不管在哪

13、個“抽屜”里再拿 1 根筷子，就有 4 根筷子是同色的，所以一次至少應拿出33110（根）筷子，就能保證有 4 根筷子同色。例 5. 證明在任意的 37 人中，至少有 4 人的屬相相同。解 5：將 37 人看作 37 個蘋果，12 個屬相看作是 12 個抽屜，由“抽屜原理 2”知，“無論怎么放一定能找到一個抽屜，它里面至少有 4個蘋果”。即在任意的 37 人中，至少有4（371231，314）人屬相相同。例 6：某班有個小書架，40 個同學可以任意借閱，試問小書架上至少要有多少本書，才能保證至少有 1 個同學能借到 2 本或 2 本以上的書？解 6：將 40 個同學看作 40 個抽屜，書看作是

14、蘋果，由“抽屜原理1”知：要保證有一個抽屜中至少有 2 個蘋果，蘋果數應至少為40141（個）。即：小書架上至少要有 41 本書。例 7：有紅、黃、藍、白珠子各 10 粒，裝在一個袋子里，為了保證摸出的珠子有兩顆顏色 相同，應至少摸出幾粒？（ ）a3b4c5d6解 7：把珠子當成“蘋果”，一共有 10 個，則珠子的顏色可以當作 “抽屜”，為保證 摸出的珠子有 2 顆顏色一樣，我們假設每次摸出的分別都放在不同的“抽屜”里，摸了 4 個顏色不同的珠子之后， 所有“抽屜”里都各有一個，這時候再任意摸 1 個，則一定有 一個“抽屜”有 2 顆，也就是有 2 顆珠子顏色一樣。例 8：從一副完整的撲克牌中

15、，至少抽出（ ）張牌，才能保證至少6 張牌的花色相同？a21b22c23d24解 8：完整的撲克牌有 54 張，看成 54 個“蘋果”，抽屜就是 6 個（黑桃、紅桃、梅花、方塊、大王、小王），為保證有 6 張花色一樣，我們假設現在前 4 個“抽屜”里各放了 5 張，后兩個“抽屜”里各放了 1 張，這時候再任意抽取 1 張牌，那么前 4 個“抽屜”里必然有 1 個“抽屜”里有 6 張花色一樣。答案選 c。歸納小結：解抽屜問題，最關鍵的是要找到誰為“蘋果”，誰為“抽屜”，再結合兩個原理進行相應分析。可以看出來，并不是每一個類似問題的“抽屜”都很明顯，有時候“抽屜”需要我們構造，這個“抽屜”可以是日

16、期、撲克牌、考試分數、年齡、書架等等變化的量。行測：數學運算類試題精解一、數學運算測驗特點分析想要做好本項測驗，必須要熟悉數學中的一些基本概念。另外， 還必須掌握一些基本的計算方法和技巧，當然，這還需要做一定量 的題來逐漸積累。數學運二、數學運算題解題方法及規律由于這類題型只涉及加、減、乘、除等基本運算法則，主要是數字的運算，所以，解題關鍵在于找捷徑和簡便方法。解答這類題目，應當注意以下幾點：一是要準確理解和分析文字表述，準確把握題意，不要為題中一些枝節所誘導；二是掌握一些常用的數學運算技巧、方法和規律，一般來講，行政職業能力測驗中出現的題目并不需要花費大量計算功夫的，應當首先想簡便運算的方法

17、；三是要熟練掌握一些題型及其解題方法。(如比例問題、百分數問題、行程問題、工程問題等)。還要學會使用排除法來提高命中率，可以根據選項中數值的大小、尾數、位數等方面來排除，提高答對題的概率。三、數學運算典型規律例析(一)尾數觀察法【例 1】 425683544828 的值是( )。a.2488b.2486c.2484d.2480【解析】該題中各項的個位數相加=534+820，尾數為0，4 個選項中只有一個尾數也為 0，故正確選項為 d。(二) 湊整法【例題 2】9948 的值是()a.4 752b.4652c.4762d.4 862【解答】此題可將 99+1=100,再乘以 48,得 4 800

18、,然后再減 48。(三) 比例分配問題【例題 3】一所學校一、二、三年級學生總人數為 450 人，三個年級的學生比例為 234，問學生人數最多的年級有多少人？() a.100b.150c.200d.250【解答】答案為 c。解答這種題，可以把總數看做包括了 2+3+4=9份，其中人數最多的肯定是占 4/9 的三年級，所以答案是 200 人。(四) 路程問題【例題 4】某人從甲地步行到乙地，走了全程的 2/5 之后，離中點還有 2.5 公里。問甲乙兩地距離多少公里？()a.15b.25c.35d.45【解答】全程的中點即為全程的 2.5/5 處，離 2/5 處為 0.5/5，這段路有 2.5 公

19、里，因此很快可以算出全程為 25 公里。(五) 工程問題【例題 5】一件工程，甲隊單獨做，15 天完成；乙隊單獨做，10 天完成。兩隊合作，幾天可以完成？()a.5 天b.6 天c.7.5 天d.8 天【解答】工程問題一般的數量關系及結構是：工作總量工作效率= 工作時間，可以把全工程看做“1”，工作要 n 天完成推知其工作效率為 1/n,兩組共同完成的工作效率為(1/n1)+(1/n2),根據這個公式很快可以得到答案為 6 天。(六) 植樹問題【例題 6】若一米遠栽一棵樹，問在 345 米的道路上栽多少棵樹？( ) a.343b.344c.345d.346【解答】本題要考慮到起點和終點兩處都要

20、栽樹，所以答案為346。(七) 對分問題【例題 7】一根繩子長 40 米，將它對折剪斷；再對折剪斷；第三次對折剪斷，此時每根繩子長多少米？( )a.5 米b.10 米c.15 米d.20 米【解答】對分一次為 2 等份，對分兩次為 22 等份，對分三次為222 等份，答案為 a。(八) 跳井問題【例題 8】青蛙在井底向上爬，井深 10 米，青蛙每次跳上 5 米，又滑下來 4 米，像這樣青蛙需跳幾次方可出井？( )a.6 次b.5 次c.9 次d.10 次【解答】不要被題中的枝節所蒙蔽，每次跳上 5 米滑下 4 米實際上 就是每次跳 1 米，因為跳到第 6 次的時候，就出了井口，不再下滑。(九) 會議問題【例題 9】某單位召開一次會議，會議前制定了費用預算。后來由于會期縮短了 3 天，因此節省了一些費用，僅伙食費一項就節約了5 000 元，這筆錢占預算伙食費的 1/3。伙食費預算占會議總預算的3/5，問會議的總預算是多少元？()a.20 000b.25 000c.30 000d.35 000【解答】答案為 b。預算伙食費用為：5 0001/315 000 元。15 000 元占總預算的 3/5，則總預算為 15000(3/5)=25000 元。“”“”at the end