1、第,1,課時,組合與組合數公式,第,一,章,3,組,合,學習目標,1,理解組合及組合數的概念,2,能利用計數原理推導組合數公式，并會應用公式解決簡,單的組合問題,題型探究,問題導學,內容索引,當堂訓練,問題導學,思考,知識點一,組合的定義,從,3,5,7,11,中任取兩個數相除,從,3,5,7,11,中任取兩個數相乘,以上兩個問題中哪個是排列？與有何不同特點,答案,答案,是排列，中選取的兩個數是有序的，中選取的兩,個數無需排列,從,n,個不同元素中，任取,m,m,n,個元素,叫作從,n,個不同元素,中取出,m,個元素的一個組合,梳理,為一組,思考,1,知識點二,組合數與組合數公式,如何用分步乘

2、法計數原理求商的個數,答案,答案,第,1,步，從這四個數中任取兩個數，有,種方法,第,2,步，將每個組合中的兩個數排列，有,種排法,由分步乘法計數原理，可得商的個數為,12,從,3,5,7,11,中任取兩個數相除,C,2,4,A,2,2,C,2,4,A,2,2,思考,2,你能得出,的計算公式嗎,答案,答案,因為,A,2,4,C,2,4,A,2,2,所以,C,2,4,A,2,4,A,2,2,6,C,2,4,組合數定,義及表示,從,n,個不同元素中取出,m,m,n,個元素的,_,做從,n,個不同元素中取出,m,個元素的組合數,組合,數公,式,乘積,形式,_,階乘,形式,_,性質,_ _+_,備注,

3、n,m,N,且,m,n,規定,梳理,所有組合的個數,C,m,n,C,m,n,A,m,n,A,m,m,C,m,n,n,n,1,n,2,n,m,1,m,C,m,n,C,m,n,1,1,n,m,n,m,C,n,m,n,C,m,n,C,m,1,n,C,0,n,題型探究,例,1,判斷下列各事件是排列問題還是組合問題,1)8,個朋友聚會，每兩人握手一次，一共握手多少次,2)8,個朋友相互各寫一封信，一共寫了多少封信,類型一,組合概念的理解,解答,解,每兩人握手一次，無順序之分，是組合問題,解,每兩人相互寫一封信，是排列問題，因為發信人與收信人是有順序,區別的,3,從,1,2,3,9,這九個數字中任取,3,

4、個，組成一個三位數，這樣的三位,數共有多少個,4,從,1,2,3,9,這九個數字中任取,3,個，組成一個集合，這樣的集合有,多少個,解答,解,是排列問題，因為取出,3,個數字后，如果改變這,3,個數字的順序，便,會得到不同的三位數,解,是組合問題，因為取出,3,個數字后，無論怎樣改變這,3,個數字的順序,其構成的集合都不變,判斷一個問題是否是組合問題的流程,反思與感悟,解析,1)2,名學生完成的是同一件工作，沒有順序，是組合問題,2)2,名學生完成兩件不同的工作，有順序，是排列問題,3,單循環比賽要求每兩支球隊之間只打一場比賽，沒有順序，是組合問題,4,冠亞軍是有順序的，是排列問題,跟蹤訓練,

5、1,給出下列問題,1,從,a,b,c,d,四名學生中選,2,名學生完成一件工作，有多少種不同的選法,2,從,a,b,c,d,四名學生中選,2,名學生完成兩件不同的工作，有多少種不同,的選法,3,a,b,c,d,四支足球隊之間進行單循環比賽，共需賽多少場,4,a,b,c,d,四支足球隊爭奪冠亞軍，有多少種不同的結果,在上述問題中,_,是組合問題,_,是排列問題,解析,答案,1)(3,2)(4,命題角度,1,有關組合數的計算與證明,解答,7,6,5,210,210,0,類型二,組合數公式及性質的應用,例,2,1,計算,C,4,10,C,3,7,A,3,3,解,原式,C,4,10,A,3,7,10,

6、9,8,7,4,3,2,1,證明,2,求證,C,m,n,m,1,n,1,C,m,1,n,1,證明,因為右邊,m,1,n,1,C,m,1,n,1,m,1,n,1,n,1,m,1,n,m,n,m,n,m,C,m,n,左邊,C,m,n,所以左邊右邊，所以原式成立,反思與感悟,1,涉及具體數字的可以直接用公式,C,m,n,A,m,n,A,m,m,n,n,1,n,2,n,m,1,m,計算,2,涉及字母的可以用階乘式,C,m,n,n,m,n,m,計算,3,計算時常利用的組合數的兩個性質,C,m,n,C,n,m,n,C,m,n,1,C,m,n,C,m,1,n,跟蹤訓練,2,1,計算,C,98,100,C,1

7、99,200,_,解析,答案,5 150,解析,C,98,100,C,199,200,C,2,100,C,1,200,100,99,2,200,5 150,2,計算,C,3,4,C,3,5,C,3,6,C,3,2 015,的值為,A.C,4,2 015,B.C,5,2 015,C.C,4,2 016,1,D.C,5,2 015,1,解析,答案,解析,C,3,4,C,3,5,C,3,6,C,3,2 015,C,4,4,C,3,4,C,3,5,C,3,6,C,3,2 015,C,4,4,C,4,5,C,3,5,C,3,2 015,1,C,4,2 015,C,3,2 015,1,C,4,2 016,

8、1,命題角度,2,含組合數的方程或不等式,解答,例,3,1,已知,1,C,m,5,1,C,m,6,7,10C,m,7,求,C,m,8,C,5,m,8,解答,2,解不等式,C,4,n,C,6,n,解,由,C,4,n,C,6,n,得,n,4,n,4,n,6,n,6,n,6,n,2,9,n,100,n,6,1,n,10,n,6,又,n,N,該不等式的解集為,6,7,8,9,反思與感悟,C,m,n,與排列組合有關的方程或不等式問題要用到排列數、組合數公式，以,及組合數的性質，求解時，要注意由,中的,m,N,n,N,且,n,m,確定,m,n,的范圍，因此求解后要驗證所得結果是否適合題意,跟蹤訓練,3,解

9、方程,3C,x,7,x,3,5A,2,x,4,解答,解,原式可變形為,3C,4,x,3,5A,2,x,4,即,3,x,3,x,4,x,5,x,6,4,3,2,1,5,x,4,x,5,所以,x,3,x,6,5,4,2,8,5,所以,x,11,或,x,2,舍去負根,經檢驗符合題意，所以方程的解為,x,11,類型三,簡單的組合應用題,例,4,一個口袋內裝有大小相同的,7,個白球和,1,個黑球,1,從口袋內取出,3,個球，共有多少種取法,2,從口袋內取出,3,個球，使其中含有,1,個黑球，有多少種取法,解答,解,從口袋內的,8,個球中取出,3,個球，取法種數是,C,3,8,8,7,6,3,2,1,56

10、,解,從口袋內取出,3,個球有,1,個是黑球,于是還要從,7,個白球中再取出,2,個，取法種數是,C,1,1,C,2,7,7,6,2,1,21,解答,解,由于所取出的,3,個球中不含黑球,也就是要從,7,個白球中取出,3,個球,取法種數是,C,3,7,7,6,5,3,2,1,35,3,從口袋內取出,3,個球，使其中不含黑球，有多少種取法,解簡單的組合應用題，要首先判斷它是不是組合問題，即取出的元素,是,合成一組,還是,排成一列,其次要看這件事是分類完成還是,分步完成,反思與感悟,跟蹤訓練,4,現有,10,名教師，其中男教師,6,名，女教師,4,名,1,現要從中選,2,名去參加會議，有多少種不同

11、的選法,2,現要從中選出男、女教師各,2,名去參加會議，有多少種不同的選法,解答,解,從,10,名教師中選,2,名去參加會議的選法有,C,2,10,45,種,解,從,6,名男教師中選,2,名有,C,2,6,種選法，從,4,名女教師中選,2,名有,C,2,4,種,選法,根據分步乘法計數原理，共有選法,C,2,6,C,2,4,90,種,當堂訓練,2,3,4,5,1,1,下列四個問題屬于組合問題的是,A,從,4,名志愿者中選出,2,人分別參加導游和翻譯的工作,B,從,0,1,2,3,4,這,5,個數字中選取,3,個不同的數字，組成一個三位數,C,從全班同學中選出,3,名同學出席深圳世界大學生運動會開

12、幕式,D,從全班同學中選出,3,名同學分別擔任班長、副班長和學習委員,解析,解析,A,B,D,項均為排列問題，只有,C,項是組合問題,答案,2,3,4,1,2,集合,M,x,x,n,0,且,n,N,集合,Q,1,2,3,4,則下列結論正確,的是,A,M,Q,0,1,2,3,4,B,Q,M,C,M,Q,D,M,Q,1,4,答案,解析,C,n,4,解析,由,C,n,4,知,n,0,1,2,3,4,因為,C,0,4,1,C,1,4,4,C,2,4,4,3,2,6,C,3,4,C,1,4,4,C,4,4,1,所以,M,1,4,6,故,M,Q,1,4,5,2,3,4,1,3,滿足方程,的,x,值為,A.

13、1,3,5,7,B.1,3,C.1,3,5,D.3,5,答案,解析,解析,依題意，有,x,2,x,5,x,5,或,x,2,x,5,x,5,16,解得,x,1,或,5,x,7,或,x,3,經檢驗知,只有,x,1,或,x,3,符合題意,C,5,x,5,16,2,1,6,C,x,x,5,2,3,4,1,4,不等式,的解為,A.3,n,7,B.3,n,6,C,n,3,4,5,D,n,3,4,5,6,7,解析,解析,由題意知,3,n,12,且,n,N,C,n,3,10,C,n,2,10,由題意得,10,n,3,13,n,10,n,2,12,n,解得,n,7.5,n,3,4,5,6,7,答案,5,5,從,7,名志愿者中安排,6,人在周六、周日兩天參加社區公益活動，若每天,安排,3,人，則不同的安排方案共有,_,種,用數字作答,2,3,4,5,1,答案,140,解析,解析,安排方案分為兩步完成：從,7,名志愿者中選,3,人安排在周六參加社,區公益活動，有,種方法,再從剩下的,4,名志愿者中選,3,人安排在周日參加社區公益活動，有,種方,法,故不同的安排方案共有,5,7,4,140,種,C,3,7,C,3,4,C,3,7,C,3,4,規律與方