1、四：導數(shù)的應用題【例1】 將邊長為的正三角形薄鐵皮沿一條平行于某邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記，則的最小值是 【關鍵詞】2010，江蘇，高考，題14【解析】 記剪下的三角形邊長為，則，梯形的周長為；梯形的面積為，故，從而，故在上單調遞減，在上單調遞增，當時取到極小值，也即最小值【答案】【例2】 設球的半徑為時間的函數(shù)若球的體積以均勻速度增長，則球的表面積的增長速度與球半徑（ ）A成正比，比例系數(shù)為 B成正比，比例系數(shù)為C成反比，比例系數(shù)為 D成反比，比例系數(shù)為【關鍵詞】2009，湖北，高考【解析】 由題意可知球的體積為，則，由此可得，而球的表面積為，所以球的表面積的增長速度，即，故選D【

2、答案】D【例3】 某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距米，余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩，經(jīng)測算，一個橋墩的工程費用為萬元；距離為米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為萬元，假設橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點，且不考慮其它因素記余下工程的費用為萬元 試寫出關于的函數(shù)關系式； 當米時，需新建多少個橋墩才能使最小？【關鍵詞】2009，湖南，高考【解析】 設需新建個橋墩，則，即，所以由知，令，得，所以當時，在區(qū)間內為減函數(shù)；當時，在區(qū)間內為增函數(shù)；所以在處取得最小值，此時故需新建9個橋墩才能使最小【答案】；需新建9個橋墩才能使最小【例4】 兩縣城和相距，現(xiàn)計劃在兩縣城外以為直徑的半圓弧上選

3、擇一點建造垃圾處理廠，其對城市的影響度與所選地點到城市的的距離有關，對城和城的總影響度為對城與城的影響度之和，記點到城的距離為，建在處的垃圾處理廠對城和城的總影響度為，統(tǒng)計調查表明：垃圾處理廠對城的影響度與所選地點到城的距離的平方成反比，比例系數(shù)為4；對城的影響度與所選地點到城的距離的平方成反比，比例系數(shù)為 ，當垃圾處理廠建在的中點時，對城和城的總影響度為 將表示成的函數(shù)； 討論中函數(shù)的單調性，并判斷弧上是否存在一點，使建在此處的垃圾處理廠對城和城的總影響度最小？若存在，求出該點到城的距離；若不存在，說明理由【關鍵詞】2009，山東，高考【解析】 根據(jù)題意，且建在處的垃圾處理廠對城的影響度為，

4、對城的影響度為，因此，總影響度為又因為垃圾處理廠建在弧的中點時，對城和城的總影響度為，所以解得，所以 因為由解得或（舍去），易知，隨的變化情況如下表：0極小值由表可知，函數(shù)在內單調遞減，在內單調遞增，此時，故在上存在點，使得建在此處的垃圾處理廠對城和城的總影響度最小該點與城的距離【答案】；存在，該點與城的距離【例5】 如圖，某地有三家工廠，分別位于矩形的兩個頂點、及的中點處，已知，為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在該矩形區(qū)域上（含邊界），且與、等距離的一點處，建造一個污水處理廠，并鋪設三條排污管道、設排污管道的總長度為設，將表示為的函數(shù)；請根據(jù)中的函數(shù)關系，確定污水處理廠的位置，使鋪設的排污管道的

5、總長度最短【關鍵詞】2008，江蘇，高考，題17【解析】 因為，所以在的垂直平分線上，取的中點，又是的中點，所以點在上因為，在中，故法一：因為，所以只要求函數(shù)的最小值那么，解得，取等號時，有最小值，此時，即污水處理廠的位置在的垂直平分線上距離邊處法二：由得，則當，所以函數(shù)在上是減函數(shù)當時，所以函數(shù)在上是增函數(shù)那么當時，函數(shù)取得最小值此時，（下略）設，將表示為的函數(shù)并且此關系式確定污水處理廠的位置，使鋪設的排污管道的總長度最短 因為，所以在中，故若選擇，則得，兩邊平方，化簡得由得，化得，解得 （舍去），或當時，（下略）【答案】；污水處理廠的位置在的垂直平分線上距離邊處【例6】 如圖，有一塊半橢圓

6、形鋼板，其半軸長為，短半軸長為，計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底是半橢圓的短軸，上底的端點在橢圓上，記，梯形面積為 求面積以為自變量的函數(shù)式，并寫出其定義域； 求面積的最大值【關鍵詞】2007，北京，高考，題19【解析】 依題意，以的中點為原點建立直角坐標系（如圖），則點的橫坐標為點的縱坐標滿足方程，解得，其定義域為 記，則令，得因為當時，；當時，所以是的最大值因此，當時，也取得最大值，最大值為即梯形面積的最大值為【答案】，其定義域為的最大值為【例7】 為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6

7、萬元該建筑物每年的能源消耗費用（單位：萬元）與隔熱層厚度（單位：）滿足關系：，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元設為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和求的值及的表達式；隔熱層修建多厚時，總費用達到最小，并求最小值【關鍵詞】2010，湖北，高考，題17【解析】 設隔熱層厚度為，由題設，每年能源消耗費用為，再由，得，因此，而建造費用為，最后得隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為，令，即解得，（舍去）當時，當時，故是的最小值點，對應的最小值為當隔熱層修建厚時，總費用達到最小值70萬元【答案】，；隔熱層修建厚時，總費用達到最小值70萬元【例8】 統(tǒng)計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小

8、時的耗油量（升）關于行駛速度（千米/小時）的函數(shù)解析式可以表示為：已知甲、乙兩地相距千米當汽車以千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？【關鍵詞】2006，福建，高考【解析】 當時，汽車從甲地到乙地行駛了小時，要耗沒（升）當速度為千米/小時時，汽車從甲地到乙地行駛了小時，設耗油量為升，依題意得，令得當時，是減函數(shù)；當時，是增函數(shù)當時，取到極小值因為在上只有一個極值，所以它是最小值答：當汽車以千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油升當汽車以千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少，最少為升【答案】升；當

9、汽車以千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少，最少為升【例9】 請您設計一個帳篷它下部的形狀是高為m的正六棱柱，上部的形狀是側棱長為m的正六棱錐（如右圖所示）試問當帳篷的頂點到底面中心的距離為多少時，帳篷的體積最大？OO1【關鍵詞】2006，江蘇，高考【解析】 設為m，則由題設可得正六棱錐底面邊長為：，（單位：m）故底面正六邊形的面積為：（單位：）帳篷的體積為：（單位：）求導得令，解得（不合題意，舍去），當時，為增函數(shù)；當時，為減函數(shù)當時，最大答：當為m時，帳篷的體積最大，最大體積為【答案】當為m時，帳篷的體積最大，最大體積為【例10】 某制造商制造并出售球型瓶裝的某種飲料瓶子的制造

10、成本是分，其中是瓶子的半徑，單位是厘米已知每出售ml的飲料，制造商可獲利分，且制造商能制作的瓶子的最大半徑為，瓶子的半徑多大時，能使每瓶飲料的利潤最大？瓶子的半徑多大時，每瓶的利潤最小？【解析】 當瓶子的半徑為時，每瓶飲料的利潤是令 解得（舍去）當時，；當時，當半徑時，它表示單調遞增，即半徑越大，利潤越高；當半徑時，它表示單調遞減，即半徑越大，利潤越低當瓶子半徑為時，利潤最小，這時，表示此種瓶內飲料的利潤還不夠瓶子的成本，此時利潤是負值當瓶子半徑為時，利潤最大換一個角度：如果我們不用導數(shù)工具，直接從函數(shù)的圖象上觀察，會有什么發(fā)現(xiàn)？由圖象知：當時，即瓶子的半徑為時，飲料的利潤與飲料瓶的成本恰好相等；當時，利潤才為正值當時，為減函數(shù)，其實際意義為：瓶子的半徑小于時，瓶子的半徑越大，利潤越小，半徑為時，利潤最小【答案】當瓶子半徑為時，利潤最大當瓶子半徑為時，利潤最小有甲、乙兩個工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊處，乙廠與甲廠在河的同側，乙廠位于離河岸的處，乙廠到河岸的垂足與相距，兩廠要在此岸邊合建一個供水站，從供水站到甲廠和乙廠的水管費用分別為每千米元和元，問供水站建在岸邊何處才能使水管費用最省？分析：根據(jù)題設條件作出圖形，分析各已知條件之間的