1、 第一章 小升初專項訓練 計算篇老師寄語：春去夏來，時光荏苒，我們將迎來人生中第一個重要階段性考試小升初考試，望同學們珍惜時間，和我們優秀的老師一道拼搏進取，您就有可能在未來的競爭中占據先機！ 我們帶給您考前復習的方法和成功的經驗，激起您戰勝自我，追求卓越的品質！期待您能夠擁有金色的五月，成就夢想，到達理想的彼岸！一、小升初考試熱點及命題方向計算是小學數學的基礎，近兩年的試卷又以考察分數的計算和巧算為明顯趨勢（分值大體在6分15分），學員應針對兩方面強化練習：一 分數小數的混合計算；二 分數的化簡和簡便運算； 二、歷年考點預測歷年的小升初考試將繼續考查分數和小數的四則運算，命題的熱點在分數的拆

2、分技巧以及換元法的運用，另外還應注意新的題型不斷出現例如通過觀察、歸納、總結，找出規律并計算的題型，這類題型為往往用到了等差數列的各類公式，希望同學們熟記。 三、考試常用公式公式需牢記 做題有信心！ 以下是總結的大家需要了解和掌握的常識，曾經在重要考試中用到過。1基本公式：2. 2462n=n2+n(這里的n表示項數)3.135(2n-1)=n2(這里的n表示項數)4、 講解練習：5、 6、 7、 22+42+62+（2n）2=48、 （成達杯考過2次，迎春杯考過1次）真題講解：化成小數后，小數點后面第歷位上的數字為_。 化成小數后，小數點后若干位數字和為1992，問n=_。9、1+2+3+4

3、（n-1）+n+（n-1）+4+3+2+1=n10、 講解練習：4321(1+2+3+48+4+3+2+1)是一個數的平方，則這個數是_11、等比數列求和偶爾會考 為首項n為項數為公比。練習：2+2+22=_（1）、代上面公式。（2）、建議用“差項求和”的方法：S=2+2+22 2S=2+22+2 兩式相減：S=2-2 （提醒學生不能再接著算了?。┩卣梗?-2=22-2=212、 講解練習：【編者注】：更多的知識需要大家活學活用，希望大家在學習過程中要注意總結歸納，不斷充實和鞏固自己的知識。四、典型例題解析1 、用四則運算法則和順序脫式計算(分數小數混和運算)【例1】（）（76）2（42）1.

4、35【來源】北京市第十屆“迎春杯”決賽第一題第2題【解】=【例2】2（75.75）22.510（2011年西工大附中入學題）【例3】（）計算6（2.75）1.4（2011師大附中入學題）【例4】【例5】【例6】【來源】第五屆“華杯賽”復賽第1題【解】=1=1=2、 龐大數字的四則運算 【例7】（）19+199+1999+=_。 【來源】第七屆華杯賽復賽第7題【解】原式= =【例8】（）【來源】第十屆小數報數學競賽決賽填空第1題【解】原式=() =【例9】（）【來源】北京市第十屆“迎春杯”決賽第二題第2題【解】 【鞏固】（）、下面是兩個1989位整數相乘： ，問：乘積的各位數字之和是多少?【解】

5、：在算式中乘以9，再除以9，則結果不變.因為能被9整除，所以將一個乘以9，另一個除以9，使原算式變成： ，得到的結果中有19809=220個和“”及一個“”和一個“”，所以各位數字之和為：(1+2+3+4+5+6+7+9)220+(9+8+7+6+5+4+3+2)220+(1+2+3+4+5+6+7+8)+(9+8+7+6+5+4+3+2+1)=17901.3、 分數的化簡 繁分數的化簡【例10】（）已知 ，那么x=_.【來源】2005小學數學奧林匹克預賽A卷第3題【解】 整體法 =, = , = 依次類推. 最后x=【例11】【鞏固】 變形約分【例12】（2011年西師大附中入學題） 【例1

6、3】【例14】【例15】【例16】4、龐大算式的四則運算 “裂差”型運算(一)裂項的技巧(1)對于分母可以寫作兩個因數乘積的分數，即形式的，這里我們把較小的數寫在前面，即，那么有(2)對于分母上為3個或4個連續自然數乘積形式的分數，即：，形式的，我們有：（二）、“裂和”型運算：常見的裂和型運算主要有以下兩種形式：（1） （2）裂和型運算與裂差型運算的對比：裂差型運算的核心環節是“兩兩抵消達到簡化的目的”，裂和型運算的題目不僅有“兩兩抵消”型的，同時還有轉化為“分數湊整”型的，以達到簡化目的。（三）整數裂項(1) (2) 【例17】?！緛碓础棵绹L島，小學數學競賽【解析】 原式提醒學生注意要乘以

7、(分母差)分之一，如改為：，計算過程就要變為：【例18】【考點】分數裂項【難度】3星【題型】計算【解析】 本題為典型的“隱藏在等差數列求和公式背后的分數裂差型裂項”問題。此類問題需要從最簡單的項開始入手，通過公式的運算尋找規律。從第一項開始，對分母進行等差數列求和運算公式的代入有， 原式【鞏固】【考點】分數裂項【難度】6星【題型】計算【來源】2008年，第6屆，走美杯，6年級，決賽【解析】 原式【例19】【考點】分數裂項【難度】2星【題型】計算【鞏固】 計算：【考點】分數裂項【難度】2星【題型】計算【來源】2009年，迎春杯，初賽，六年級原式【例20】計算：【考點】分數裂項【難度】3星【題型】

8、計算【來源】第五屆，小數報，初賽【解析】 原式【鞏固】 計算：=?！究键c】分數裂項【難度】2星【題型】計算【來源】2008年，學而思杯，6年級，1試【解析】 原式【鞏固】 計算：_。【考點】分數裂項【難度】2星【題型】計算【來源】2009年，學而思杯，6年級【解析】 原式【例21】【考點】分數裂項【難度】3星【題型】計算【解析】 首先分析出原式【鞏固】【考點】分數裂項【難度】3星【題型】計算【解析】 原式【例22】【考點】分數裂項【難度】3星【題型】計算【解析】 原式【例23】計算：【考點】分數裂項【難度】3星【題型】計算【解析】 如果式子中每一項的分子都相同，那么就是一道很常見的分數裂項的題

9、目但是本題中分子不相同，而是成等差數列，且等差數列的公差為2相比較于2，4，6，這一公差為2的等差數列(該數列的第個數恰好為的2倍)，原式中分子所成的等差數列每一項都比其大3，所以可以先把原式中每一項的分子都分成3與另一個的和再進行計算原式也可以直接進行通項歸納根據等差數列的性質，可知分子的通項公式為，所以，再將每一項的與分別加在一起進行裂項后面的過程與前面的方法相同 【例24】【考點】分數裂項【難度】4星【題型】計算【解析】 原式【例25】【考點】分數裂項【難度】4星【題型】計算【解析】 原式【鞏固】 計算：. 【考點】分數裂項【難度】4星【題型】計算【解析】 原式為階乘的形式，較難進行分析

10、，但是如果將其寫成連乘積的形式，題目就豁然開朗了原式【鞏固】【考點】分數裂項【難度】3星【題型】計算【解析】 原式（）（）（）（）【鞏固】 .【考點】分數裂項【難度】3星【題型】計算【來源】仁華學?！窘馕觥?這題是利用平方差公式進行裂項：，原式計算：【考點】分數裂項【難度】3星【題型】計算【解析】 原式【鞏固】【考點】分數裂項【難度】3星【題型】計算【解析】【鞏固】【考點】分數裂項【難度】3星【題型】計算【來源】第三屆，祖沖之杯，人大附中【解析】 原式=【鞏固】計算：【考點】分數裂項【難度】3星【題型】計算【解析】 原式【鞏固】【考點】分數裂項【難度】3星【題型】計算【解析】 原式【鞏固】【考

11、點】分數裂項【難度】3星【題型】計算【解析】 原式【鞏固】【考點】分數裂項【難度】3星【題型】計算【解析】 原式【鞏固】【考點】分數裂項【難度】3星【題型】計算【解析】 原式5、 改變運算順序簡化計算【例26】（）所有分母小于30并且分母是質數的真分數相加，和是_?！緛碓础康诎藢眯祱髷祵W競賽決賽填空題第2題【解】小于30的質數有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29共十個，分母為17的真分數相加，和等于=8= 。類似地，可以求出其它分母為質數的分數的和。因此，所求的和是= +1+2+3+5+6+8+9+11+14=【例27】（）分母為1996的所有最簡真分數之和是_?！緛碓础勘本?/p>

12、市第二屆“迎春杯”初賽第二第6題【解】因為1996=22499。所以分母為1996的最簡分數，分子不能是偶數，也不能是499的倍數，499與3499。因此，分母為1996的所有最簡真分數之和是=4986 、 觀察，找出規律并計算【例28】（）在下表中，所有數字的和為_.1 2 3 502 3 4.513 4.50 51 52 99 【來源】 2005年我愛數學夏令營活動試題【解】共有2500個數，這些數的平均數是50，所以總和是250050=12500【拓展】下面的方陣中所有數的和是19001901190219031949190119021903190419501902190319041905

13、19511948194919501951199719491950195119521998【來源】北京市第十五屆“迎春杯”初賽第二題第5題【解】共有2500個數，這些數的平均數是1949，所以總和是19492500【例29】如果1=1! 12=2! 123=3! 12399100=100!那么1!+2!+3!+100!的個位數字是_【來源】 北京市第四屆“迎春杯”決賽第二題第8題【解】因為5!=12345=120，因此對于所有大于4的自然數n,n!的個位數字是0，所以1!+2!+3!+100!的個位數字就是1!+2!+3!+4!=33的個位數字37、 換元法的運用【例30】（）【來源】（我愛數學

14、夏令營活動試題）【解】設=a那么原式=(a+1)(a+1/2000)-a(a+1+) =【鞏固】【來源】（2011鄭州市小升初試題）8、定義新運算【例31】（）設a、b都表示數，規定ab3a2b，求 32， 23；這個運算“”有交換律嗎？求（176）2，17（62）；這個運算“”有結合律嗎？如果已知4b2，求b.【例32】（）定義運算為：abab（ab），求57，75；求12（34），（123）4；如果3（5x）3，求x.【例33】（）假設ab=（a+b）+（a-b），求135和13（54）【例34】（）如果15=1+11+111+1111+11111,24=2+22+222+2222,33=

15、3+33+333,42=4+44，那么74=_；2102=_?！纠?5】規定：=123，=234，=345，=456，如果。那么，A是幾？【例36】已知1！=11=1；2！=21=2；3！=321=6。若A！=720，則A=？9、小數、分數估算策略【例37】求34個偶數的平均值是15.9（保留一位小數），如果保留兩位小數，得數最小是多少？（2010年交大附中、2009年西工大入學題）因為偶數之和仍為偶數，所以為偶數之和只能是540，【例38】老師在黑板上寫了13個自然數，讓小明計算它們的平均數（得數保留兩位小數）小明算出的答案是12.43。老師說：“最后一位數字錯了，其他數字都對。”正確的答案

16、是什么？（2010年西大附中、2008年高新一中入學題）正確答案在；【例39】的整數部分是 .取中間數當兩個數的和不變時,兩數越接近(即差越小)它們的積越大.【例40】,與最接近的整數是 .,因此與最接近的整數是11.【例41】記,那么比A小的最大自然數是多少？解答：因為，所以A的整數部分是9?！纠?2】的整數部分是 .【例43】這個數,最多可以拆成 個不同的自然數相加的和.若要拆成的不同自然數盡量多,應當從最小的自然數1開始,則.所以 當時,正好有,所以最多可以拆成1997個不同自然數的和.【例44】化簡后整數部分是多少？（2008年師大附中入學題）想兩頭，定范圍，取整數（放縮法）設A=由于

17、A的分母有十個不同的分數，最大，最??；假設10個數都為，和為；假設10個數都為，和為。則有，即,A的整數部分為1【例45】四個連續自然數的倒數之和等于,求這四個自然數的兩兩乘積之和.設這四個連續自然數分別為a,a+1,a+2, a+3, 則 , 所以 , a. 易知a=1,2,4均不合題意,故a=3,這四個自然數為3,4,5,6,其兩兩乘積之和為:.【例46】.已知,問的整數部分是 .解： 最后一個分數小于1,所以a的整數部分是101.【例47】用四舍五入法求出的用四舍五入法求出的1.16，最大為1.164，最小為1.155整理得嘗試： 【例48】估算的整數部分是多少？10、應用公式【例49】

18、計算1223344950【例50】計算192118221723139【例51】13355779171910 其他?？碱}型【例52】（）小剛進行加法珠算練習，用123，當數到某個數時，和是1000。在驗算時發現重復加了一個數，這個數是?！緛碓础勘本┦械谑痪艑谩坝罕笨惖?2題【解】1234344990，于是，重復計算的數是100099010。【拓展】小明把自己的書頁碼相加，從1開始加到最后一頁，總共為1050，不過他發現他重復加了一頁，請問是頁?！纠?3】（）某學生將乘以一個數a時，把誤看成1.23，使乘積比正確結果減少0.3。則正確結果應該是_?！緛碓础勘本┦械谝粚谩坝罕睕Q賽第一題第

19、9題【解】a1.23a0.3 即a0.3即a0.3，所以a=3000.3=90a=（1.2+）90=111【例54】11、單位分數的拆分：【例55】=分析：分數單位的拆分，主要方法是：從分母N的約數中任意找出兩個m和n,有：=本題10的約數有:1,10,2,5.。例如：選1和2，有：本題具體的解有：【例56】若，其中a、b都是四位數，且ab，那么滿足上述條件的所有數對（a,b）是【解析】 2004的約數有：1,2004,2,1002,3,668,4,501，滿足題意的分拆有：【例57】如果，均為正整數，則最大是多少？【解析】 從前面的例題我們知道，要將按照如下規則寫成的形式：，其中和都是的約數

20、。如果要讓盡可能地大，實際上就是讓上面的式子中的盡可能地小而盡可能地大，因此應當取最大的約數，而應取最小的約數，因此，所以.【附加題】（）【例58】是三個最簡真分數，如果這三個分數的分子都加上c，則三個分數的和為6，求這三個真分數。【來源】第三屆“從小愛數學”邀請賽第2題【解】a最大為2，b最大為3，c最大為5，因為是三個最簡真分數，所以得到3, 即，又因為c6，從而得到c=5。所以很容易得到這三個真分數就是。【例59】從1到1999這1999個自然數中，有_個數與5678相加，至少發生一次進位?！窘狻坎贿M位的選擇個位是0-1 十位是0-2 百位0-3 千位0-1 總數 2342-1=47個

21、因為要去掉0這個數 發生進位的是 1999-47=1952個小結本講主要接觸到以下幾種典型題型：1）分數，小數的混合計算。2）龐大數字的四則運算。3）龐大算式的四則運算。（拆分和裂項的技巧）4）繁分數的化簡。5）改變運算順序簡化計算。6）觀察，找出規律并計算。7）換元法的運用。8）定義新運算9）小數、分數估算策略10）應用公式11）其他?？碱}型【課外知識】1965年，一位韓國學生到劍橋大學主修心理學。在喝下午茶的時候，他常到學校的咖啡廳或茶座聽一些成功人士聊天。這些成功人士包括諾貝爾獎獲得者，某一些領域的學術權威和一些創造了經濟神話的人，這些人幽默風趣，舉重若輕，把自己的成功都看得非常自然和順

22、理成章。時間長了，他發現，在國內時，他被一些成功人士欺騙了。那些人為了讓正在創業的人知難而退，普遍把自己的創業艱辛夸大了，也就是說，他們在用自己的成功經歷嚇唬那些還沒有取得成功的人。作為心理系的學生，他認為很有必要對韓國成功人士的心態加以研究。1970年，他把成功并不像你想像的那么難作為畢業論文，提交給現代經濟心理學的創始人威爾布雷登教授。布雷登教授讀后，大為驚喜，他認為這是個新發現，這種現象雖然在東方甚至在世界各地普遍存在，但此前還沒有一個人大膽地提出來并加以研究。驚喜之余，他寫信給他的劍橋校友當時正坐在韓國政壇第一把交椅上的人樸正熙。他在信中說，“我不敢說這部著作對你有多大的幫助，但我敢肯定它比你的任何一個政令都能產生震