1、第3章 線性方程組,二、齊次線性方程組解的結構與解法,三、非齊次線性方程組解的結構與解法,下頁,一、線性方程組的同解變換,3.1 線性方程組的同解變換,含有m個方程n個未知量的線性方程組一般形式為,若b=(b1, b2, bm)o ，則稱(1)為非齊次線性方程組； 若b=(b1, b2, bm)o ，即,(2),則稱(2)為齊次線性方程組, 或(1) 的導出組.,下頁,(1),代數方程,可用矩陣形式表示為 AX= b,對應齊次方程組(2)可用矩陣形式表示為 AX=o.,其中，,下頁,含有m個方程n個未知量的線性方程組,(1),矩陣方程,可用向量形式表示為,對應齊次方程組(2)可用向量形式表示為

2、,其中，,下頁,含有m個方程n個未知量的線性方程組,(1),向量方程,稱為方程組的系數矩陣.,稱為方程組的增廣矩陣.,下頁,系數矩陣與增廣矩陣,方程組的解為,于是得到,x2 =3-2x3,=-1,=-7,x1=3+2x2-4x3,x3=2,解：,r1r2,r2-3r1,r3+r1,r3-2r2,消元法解方程組過程,下頁,由上述求解過程可看出，對方程組的化簡施行了三種運算：,用一個非零數乘以方程；,用某個數乘以某一方程然后加到另一方程上去.,互換兩個方程的位置；,我們稱上述三種運算為線性方程組的初等變換. 顯然，對方程 組施行初等變換得到的方程組與原方程組同解.,利用初等變換將方程組化為行階梯形

3、式的方程組，再利用回代法解出未知量的過程，叫做高斯消元法.,可以看出，對方程組（1）施行的初等變換，與未知量無關，只是對未知量的系數及常數項進行運算. 這些運算相當于對方程組 系數矩陣的增廣矩陣進行了一系列僅限于行的初等 變換.,下頁,線性方程組的初等變換.,例1.,r1r2,r3-2r2,用消元法解線性方程組的過程，實質上就是對該方程組 的增廣矩陣施以初等行變換的過程.,消元法與矩陣的初等行變換,下頁,消元法與矩陣的初等行變換,下頁,行最簡形矩陣,行階梯形矩陣,用消元法解線性方程組的過程，實質上就是對該方程組 的增廣矩陣施以初等行變換的過程.,總結:對方程組施行的初等行變換，與未知量無關，只

4、 是對未知量的系數及常數項進行運算. 這些運算相當于 對方程組系數矩陣的增廣矩陣進行了一系列僅限于行的 初等變換化為行最簡形矩陣.,下頁,消元法與矩陣的初等行變換,第2節 齊次線性方程組解的結構,2.1 齊次線性方程組有非零解的條件,齊次線性方程組為 AXo ,則AXo可表示為,若把矩陣A按列分塊為,根據向量組相關性的定義，有,定理1 齊次線性方程組AXo有非零解的充要條件是：矩陣 的列向量組a1, a2, ，an線性相關.,其中,即r(A)n.,下頁,齊次線性方程組AXo只有唯一零解的充要條件是： 矩陣的列向量組a1, a2, ，an線性無關. 即r(A)=n.,定理1 齊次線性方程組AXo

5、有非零解的充要條件是： 矩陣的列向量組a1, a2, ，an線性相關.,即r(A)n.,齊次線性方程組AXo只有唯一零解的充要條件是： 矩陣的列向量組a1, a2, ，an線性無關. 即r(A)=n.,推論1 如果齊次方程組中方程的個數小于未知量的個數，則該方程組必有非零解.,推論2 n個方程n個未知量的齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是方程組的系數行列式等于零.,下頁,2.2 齊次線性方程組解的性質,性質1 若x1，x2 都是齊次線性方程組AXo的解，則 X x1+x2也是它的解.,這是因為,A(x1+x2),Ax1Ax2,=o.,o o,性質2 若x是齊次線性方程組AXo的解，k為實數

6、，則Xkx 也是它的解.,這是因為,A(kx),k(Ax),o.,k(o),推論 如果x1, x2, , xs是齊次線性方程組AXo的解，則其 線性組合,仍是AXo的解.,為任意常數.,其中,下頁,基礎解系的概念,定義3 設x1, x2, , xs 都是AXo的解,并且 (1) x1, x2, , xs線性無關； (2) AXo的任一個解向量都能由x1, x2, , xs線性表示， 則稱x1, x2, , xs為線性方程組AXo的一個基礎解系.,定理2 設A是mn矩陣，若r(A)=rn，則齊次線性方程組 AXo的基礎解系含有n-r個解向量.,即當r(A)=rn時，齊次線 性方程組AXo解向量組

7、的秩為n-r.,下頁,2.3 齊次線性方程組解的結構,通解（方程組的全部解）可以表示為：,證：因為r(A)= r , 所以可利用 初等行變換把A化為行最簡形 矩陣, 不失一般性設其為：,由此得到原方程組的等價方 程組(同解方程組)：,進而得到方程組用自由未知 量表示的一般解：,下頁,從而得到方程組的 n-r個解向量:,由(*)式分別得到相應的解,令,由此得到方程組用自由未知 量表示的一般解：,下頁,下證,是方程組,的一個基礎解系.,由左下式可以看出,的后n-r個分量，就是n-r個n-r維 單位向量，它們是線性無關的， 因而添加了r 個分量的向量組也 是線性無關的.,下頁,從而得到方程組的 n-

8、r個解向量:,由(*)式分別得到相應的解,令,先證明向量組,線性無關.,再證明方程組的任意一個解,線性表示.,設,是方程組的任一解.,方程組的n-r 個解向量:,下頁,都可由,則,下頁,所以，,是方程組的一個基礎解系.,求解齊次線性方程組流程圖,下頁,系數矩陣A,階梯形矩陣B,r(A)=n,唯一零解,行最簡形矩陣C,令自由未知量構成的 向量取基本單位向量組,求出基礎解系,寫出通解,初等行變換,初 等 行 變 換,Y,N,方程組用自由未知 量表示的一般解,初等 行變換,確定方程組的約束未知量和自由未知量方法示意圖,下頁,對應的變量為約束未知量(r個),對應的變量為自由未知量(n-r個）,例1解線

9、性方程組,解：,由于r(A)=3=n,所以方程組只有零解，即,下頁,齊次方程組AX0，當r(A)=n時，只有零解.,因為秩(A)=24，所以方程組有非零解.,解：,下頁,解：,一般解為,令,得基礎解系,通解為,下頁,解：,一般解為,通解為,得基礎解系,令,下頁,根據向量組線性組合的定義，有,定理3 非齊次線性方程組AXb有解的充要條件是：列向量b是系數矩陣A的n個列向量a1, a2, ，an的線性組合.,.,下頁,第3節 非齊次線性方程組解的結構,非齊次線性方程組為 AXb ,則AXb可表示為,若把矩陣A按列分塊為,其中,3.1 非齊次線性方程組有解的條件,性質3 若h1，h2 是AXb的解，

10、則h1-h2 是其導出方程組 AXo的解.,這是因為,A(h1-h2),Ah1-Ah2,=o., b - b,性質4 若h是AXb的解，x導出方程組AXo的解, 則 x+h是AXb的解.,這是因為,A(xh),AxAh, ob = b .,下頁,3.2 非齊次線性方程組解的性質,其中，k1, k2, , kn -r 為任意常數.,定理4 設h0是AX=b的一個特解，x1, x2, , xn-r是其導出 方程組AX=o的基礎解系，則AX=b的通解為,下頁,3.3 非齊次線性方程組解的結構,證明: 設h是AX=b的任意一個解，則h -h0是其導出方程組 AX=o的一個解，從而可用AX=o的基礎解系

11、x1, x2, , xn-r表示， 即 h -h0k1x1k2x2+ kn-rxn-r , 于是AX=b的任一解可表示為 hh0+k1x1k2x2+ kn-rxn-r , k1, k2, , kn-r為任意常數.,定理3 非齊次線性方程組AXb有解的充要條件是：,求解非齊次線性方程組流程圖,下頁,增廣矩陣(Ab),階梯形矩陣B,r(Ab)=r(A),方程組無解,行最簡形矩陣C,確定自由未知量及約 束未知量,給出一般解,求AX=o的基礎解系,寫出通解,初等行變換,N,Y,r(Ab)=n,唯一解,初等行變換,Y,N,求AX=b的一個特解,例5解線性方程組,(A b)=,解：,下頁,顯然 r(A)=

12、2，r(Ab)=3,即r(A)=2r(Ab)，所以 方程組無解.,解：,(x2，x4為自由未知量)，,得方程組的特解為,由于 ，,令,方程組有無窮多組解，其一般 解為,對應齊次方程組的一般解為,令,下頁,基礎解系為,得方程組的特解為,令,對應齊次方程組的一般解為,令,方程的通解為,(k1，k2是任意常數) .,下頁,例7.已知線性方程組為,討論參數 p, t 取何值時,方程組 有解？無解？有解時求通解.,(1)當2t時，即t-2 時，方程組無解；,(2)當2t時，即t-2 時，方程組有解.,解：,(A b)=,下頁,當8p, 即p8時,通解為,(k為任意常數).,下頁,一般解為,(1)當2t時

13、，即t-2 時，方程組無解；,(2)當2t時，即t-2 時，方程組有解.,通解為, 當8p=,即p=8時,對應方程組的一般解為,(k1,k2為任意常數) .,下頁,例8 已知向量 是非齊線性方程組,的三個解，求該方程組的通解.,解 設該非齊線性方程組為AX=b. h1,h2,h3由于是AX=b的解，所以,是其對應齊次線性方程組AX=0的 解.因向量對應的分量不成比例，故,線性無關.因此,AX0的基礎解系所含向量的個 數(4-r(A)2，即r(A)2；,又由于A中有二階子式,則r(A)2.所以r(A)=2.,即AX0的基礎解系含有2個向量，,是AX0的基礎解系,所以AX=b的通解為,下頁,1.

14、設A為n階方陣，若齊次線性方程組AX=o有非零解，則 它的系數行列式（ ）,2. 設X是AXb的解， X是其對應齊次方程AXo的解， 則XX是（ ）的解,一、填空題,1. n元齊次線性方程組AXo存在非零解的充要條件是（ ） A的列線性無關； A的行線性無關； A的列線性相關； A的行線性相關,2. 設x，x是AX=o的解，h，h是AXb的解，則（ ） xh是AXo的解； hh為AXb的解； xx是AXo的解； x- x是AXb的解,二、單選題,=0,AX=b,下頁,三、判斷題 （1）無論對于齊次還是非齊次的線性方程組，只要系數矩陣的秩 等于未知量的個數，則方程組就有唯一解； （2）n個方程n

15、個未知量的線性方程組有唯一解的充要條件是方程 組的系數矩陣滿秩； （3）非齊次線性方程組有唯一解時，方程的個數必等于未知量的 個數； （4）若齊次線性方程組系數矩陣的列數大于行數，則該方程組有 非零解； （5）三個方程四個未知量的線性方程組有無窮多解； （6）兩個同解的線性方程組的系數矩陣有相同的秩.,(錯),(對),(對),(對),(錯),(錯),下頁,作業： 107頁 1(4)(5) (6) 3(2)(3) (4),結束,定理 給定n維列向量組b，a1，a2， ，am ，向量b可由向量組 a1，a2， ，am 線性表示的充要條件是方程組AK= b有解. 特別地，若方程組AK= b有唯一解，

16、則線性表示式是唯一的.,補充例 設,b能否用a1，a2，a3線性表示. 若能,寫出線性組合式.,解 設bk1a1k2a2 k3a3 ， 得非齊次線性方程組,由于 故方程組 有唯一解. b可由能否用a1，a2， a3唯一線性表示.解得,所以,下頁,例8 若A，B均為n階方陣，ABO，則r(A)+r(B)n. 證 設矩陣B的列向量為b1,b2,bn，則 A(b1,b2,bn)=(0,0,0)于是Abj0 （j1，2，n) 即B的列向量b1,b2,bn是齊次線性方程組AX=0的解向量. 設r(A)=r，則齊次線性方程組AX=0的基礎解系含有n-r 個解向量，于是 向量組b1,b2,bn的秩n-r，即

17、r(B)n-r，于是 r(A)+r(B)n.,下頁,例9 設 求一個秩為2的三階方陣，使AB=O.,解 設矩陣B的列向量為b1,b2,b3，由ABO得 A(b1,b2,b3)=(0,0,0) 由例8得, B的列向量是AXO的解向量.,易見r(A)=1, 于是可取AX=0的兩個線性無關的解向量作為B的前兩列，第三列可取的任一解向量. AX0基礎解系為,所以所求B為,下頁,第4章 矩陣的對角化與二次型的化簡,一、矩陣的特征值與特征向量,二、相似矩陣與矩陣的相似對角化,下頁,三、二次型的概念,五、正交變換與二次型的標準形,六、慣性定律與正定二次型,四、合同變換與二次型的標準形,方程(lE-A)Xo的

18、解都是特征值l的特征向量嗎？,定義1 設A是n階方陣，如果存在數l和n維非零列向量X滿足 AXlX， 則稱l為A的特征值，稱向量X為A的對應于特征值l的特征向量., |lE-A|0,矩陣 lE-A 稱為 A 的特征矩陣； l 的 n 次多項式 |lE-A| 稱為 A 的特征多項式； 方程 |lE-A|0 稱為 A 的特征方程.,(lE-A)Xo,AXlX,注意：如果X是A的對應于特征值l的特征向量，則,問題：,特征值l的特征向量有多少？,怎樣求矩陣的特征值和特征向量？, lX-AXo,下頁,第1節 矩陣的特征值與特征向量,1.1 特征值特征向量的概念與計算,方程 |lE-A|0 的每個根都是矩

19、陣A的特征值. 方程(lE-A)Xo的每個非零解都是l對應的特征向量.,解：矩陣的特征方程為,|lE-A|,=(l-4)(l+2)=0，,矩陣A的特征值為 l14，l2-2 ., 對于特征值l14,解齊 次線性方程組(4E-A)Xo，,于是，矩陣A對應于l14的 全部特征向量為,(c1不為0) .,下頁,解：矩陣的特征方程為,|lE-A|,=(l-4)(l+2)=0，,矩陣A的特征值為 l14，l2-2 .,對于特征值l2-2，解齊 次線性方程組(-2E-A)Xo，,于是，矩陣A對應于l2-2 的全部特征向量為,(c2不為0) .,下頁,方程 |lE-A|0 的每個根都是矩陣A的特征值. 方程

20、(lE-A)Xo的每個非零解都是l對應的特征向量.,解：矩陣的特征方程為,=(l-2)(l-1)2=0，,矩陣A的特征值為 l1l2=1 ，l32 ., 對于特征值l1 l2 1， 解線性方程組(E-A)Xo，,于是，A的對應于l1 l2 1 的全部特征向量為,(c1不為0) .,下頁,解：矩陣的特征方程為,l+1,-1,0,=(l-2)(l-1)2=0，,矩陣A的特征值為 l1l2=1 ，l32 ., 對于特征值l32，解線性方程組(2E-A)Xo，,于是，A的對應于l32的全 部特征向量為,(c2不為0) .,下頁,的特征值與特征向量.,|lE-A|,=(l+2)2(l-4)=0，,矩陣A

21、的特征值為 l1l2=-2, l34 ., 對于特征值l1l2=-2, 解線性方程組(-2E-A)Xo,解：矩陣的特征方程為,= (l+2),于是，A的對應于l1l2=-2 的全部特征向量為,(c1,c2不全為0) .,下頁, 對于特征值l3=4 ，解 線性方程組(4E-A)Xo，,于是，A的對應于l34的全 部特征向量為,解：矩陣的特征方程為,=(l+2)2(l-4)=0，,矩陣A的特征值為 l1l2=-2, l34 .,|lE-A|,的特征值與特征向量.,(c3不為0) .,下頁,性質1 如果n 階方陣A的全部特征值為l1,l2, ,ln (k重特征值 算作k個特征值)，則 l1+l2+

22、+ln= Tr(A); 其中,Tr(A)=a11+ a22+ a33+ ann , 稱為矩陣A的跡. l1l2 ln|A|,下頁,推論：n階方陣可逆的充分必要條件是A的特征值不等于零.,證明：,1.2 特征值與特征向量的性質,證明: 由性質2可知，若A是可逆矩陣，即|A|0，則A的 任一個特征值都不為零,若X是A的屬于特征值l的特征向量，則 Al， 兩端同乘A-1,并整理得 A-1X= l-1,即l-是A-的特征值，X也是A-的對應于l-的特征向量.,性質2 設l是可逆方陣A的一個特征值，X是它對應的特征 向量，則l0 ， l-1 是A-1的一個特征值，且X也是A-1的對應 于l-1的特征向量

23、,下頁,性質3設l是方陣A的一個特征值，X為對應的特征向量，m是 一個正整數，則lm是Am的一個特征值，X為對應的特征向量,下頁,證明: 由于Al，兩端都左乘A得 A2lA, 把Al代入上式得 A2l(l)= l2， 依次類推可得 Amlm， 即lm是Am一個特征值，為對應的特征向量,即 若f (x)是一個多項式，則f (l)是f (A)的特征值,下頁,推論 設l是方陣A的一個特征值， X為對應的特征向量，則,是矩陣,的一個特征值(m為正整數)， X為對應的特征向量.,特別，若,則必有，,證明：,證明: 因為A2=A ，所以A2-A=o, 設A的特征值為l ，則由性質 4之推論可得l 2- l

24、 =0，解得，l 10， l 21. 證畢.,例7. 設3階矩陣A的三個特征值分別為l1=1, l2=0, l3= -1, 求矩 陣B=A2+3A+2E的特征值.,下頁,例6. 設n階矩陣A滿足A2=A，證明A有特征值為0或1.,解：令B=f(A)=A2+3A+2E，則由性質4之推論可知f (l)是f (A) 的特征值，從而得矩陣B的三個特征值分別為：,性質4 設X1, X2, Xm都是矩陣A的對應于特征值l的特征向量, 如果它們的線性組合 k1X1+k2X2+ kmXmo, 則k1X1+k2X2+ kmXm也是矩陣A的對應于特征值l的特征向量,下頁,特征向量的性質,證明：,性質5 n階矩陣A互不相同的特征值l1，l2， ，lm，對應的特征向量X1，X2， ，Xm線性無關,下頁,證明:(用數學歸納法),性質5 n階矩陣A互不相同的特征值l1，l2， ，lm，對應的特征向量X1，X2， ，Xm線性無關,性質6 矩陣A的m個不同的特征值所對應的m組線性無關的特征向量組并在一起仍然是線性無關的。,性質7 設0是n階方陣A的一個t重特征值，則0對應的特征向量集合中線性無關的向量個數不超過t.,補充性質,下頁,由性質6和性質7知:n階方陣A至多有n個線性無關的特征向量.,性質8 設A為n階矩陣，則A與AT有相同的特征值,證明：,|