1、13.4 課題學(xué)習(xí) 最短路徑問(wèn)題 楊柳池民族中學(xué) 許昌榮,如圖所示，從A地到B地有三條路可供選擇，你會(huì)選走哪條路最近？你的理由是什么？,兩點(diǎn)之間,線段最短, ,()兩點(diǎn)在一條直線異側(cè),已知：如圖，A，B在直線L的兩側(cè)，在L上求一點(diǎn)P，使得PA+PB最小。,P,連接AB,線段AB與直線L的交點(diǎn)P ，就是所求。,思考？ 為什么這樣做就能得到最短距離呢？,根據(jù)：兩點(diǎn)之間線段最短.,引言： 前面我們研究過(guò)一些關(guān)于“兩點(diǎn)的所有連線中，線 段最短”、“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段 中，垂線段最短”等的問(wèn)題，我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾?wèn) 題現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問(wèn)題，本節(jié) 將利用數(shù)學(xué)知識(shí)探究數(shù)

2、學(xué)史中著名的“將軍飲馬問(wèn)題”,引入新知,問(wèn)題1相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久 負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫有一天，一位將軍專程拜訪 海倫，求教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題： 從圖中的A 地出發(fā)，到一條筆直的河邊l 飲馬，然 后到B 地到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程 最短？,探索新知,精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對(duì)稱的 知識(shí)回答了這個(gè)問(wèn)題這個(gè)問(wèn)題后來(lái)被稱為“將軍飲馬 問(wèn)題” 你能將這個(gè)問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？,探索新知,追問(wèn)1這是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，你打算首先做什么？,將A，B 兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河l 抽象為一條直 線,探索新知,（1）從A 地出發(fā)，到河邊l 飲馬，然后到B 地； （2）在

3、河邊飲馬的地點(diǎn)有無(wú)窮多處，把這些地點(diǎn)與A， B 連接起來(lái)的兩條線段的長(zhǎng)度之和，就是從A 地 到飲馬地點(diǎn)，再回到B 地的路程之和；,探索新知,追問(wèn)2你能用自己的語(yǔ)言說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題的意思， 并把它抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？,探索新知,追問(wèn)2你能用自己的語(yǔ)言說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題的意思， 并把它抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？,（3）現(xiàn)在的問(wèn)題是怎樣找出使兩條線段長(zhǎng)度之和為最 短的直線l上的點(diǎn)設(shè)C 為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，上 面的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)C 在l 的什么位置時(shí)， AC 與CB 的和最?。ㄈ鐖D）,追問(wèn)1對(duì)于問(wèn)題2，如何 將點(diǎn)B“移”到l 的另一側(cè)B 處，滿足直線l 上的任意一點(diǎn) C，都保持CB 與CB的長(zhǎng)度 相等？,探索新知,問(wèn)

4、題2 如圖，點(diǎn)A，B 在直線l 的同側(cè)，點(diǎn)C 是直 線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C 在l 的什么位置時(shí)，AC 與CB 的和最??？,追問(wèn)2你能利用軸對(duì)稱的 有關(guān)知識(shí)，找到上問(wèn)中符合條 件的點(diǎn)B嗎？,探索新知,問(wèn)題2 如圖，點(diǎn)A，B 在直線l 的同側(cè)，點(diǎn)C 是直 線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C 在l 的什么位置時(shí)，AC 與CB 的和最?。?作法： （1）作點(diǎn)B 關(guān)于直線l 的對(duì)稱 點(diǎn)B； （2）連接AB，與直線l 相交 于點(diǎn)C 則點(diǎn)C 即為所求,探索新知,問(wèn)題2 如圖，點(diǎn)A，B 在直線l 的同側(cè)，點(diǎn)C 是直 線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C 在l 的什么位置時(shí)，AC 與CB 的和最?。?探索新知,問(wèn)題3你能用所學(xué)的知識(shí)證明

5、AC +BC最短嗎？,證明：如圖，在直線l 上任取一點(diǎn)C（與點(diǎn)C 不 重合），連接AC，BC，BC 由軸對(duì)稱的性質(zhì)知， BC =BC，BC=BC AC +BC = AC +BC = AB， AC+BC = AC+BC,探索新知,問(wèn)題3你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC +BC最短嗎？,探索新知,問(wèn)題3你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC +BC最短嗎？,證明：在ABC中， ABAC+BC， AC +BCAC+BC 即AC +BC 最短,若直線l 上任意一點(diǎn)（與點(diǎn) C 不重合）與A，B 兩點(diǎn)的距離 和都大于AC +BC，就說(shuō)明AC + BC 最小,探索新知,追問(wèn)1證明AC +BC 最短時(shí)，為什么要在直線l 上 任取一

6、點(diǎn)C（與點(diǎn)C 不重合），證明AC +BC AC +BC？這里的“C”的作用是什么？,探索新知,追問(wèn)2回顧前面的探究過(guò)程，我們是通過(guò)怎樣的 過(guò)程、借助什么解決問(wèn)題的？,1. 如圖，A.B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上建一座橋MN，橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假設(shè)河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）,A, B,作法：1.將點(diǎn)B沿垂直與河岸的方向平移一個(gè)河寬到E， 2.連接AE交河對(duì)岸于點(diǎn)M, 則點(diǎn)M為建橋的位置，MN為所建的橋。 證明：由平移的性質(zhì)，得 BEMN 且BE=MN, MN=CD, BDCE, BD=CE, 所以A.B兩地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+

7、MN, 若橋的位置建在CD處，連接AC.CD.DB.CE, 則AB兩地的距離為： AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN, 在ACE中，AC+CEAE, AC+CE+MNAE+MN, 即AC+CD+DB AM+MN+BN 所以橋的位置建在MN處，AB兩地的路程最短。,A,B,M,N,E,C,D,2. 如圖：C為馬廄，D為帳篷，牧馬人某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳篷，請(qǐng)你幫他確定這一天的最短路線。 作法：1.作點(diǎn)C關(guān)于直線 OA 的 對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)F, 2. 作點(diǎn)D關(guān)于直線 OB 的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)E, 3.連接EF分別交直線OA.OB于點(diǎn)G.H， 則CG+

8、GH+DH最短,F,A,O,B,D , C,E,G,H,證明：在直線OA 上另外任取一點(diǎn)G，在OB上取一點(diǎn)H,連接FG,EH,HG,CG,DH 點(diǎn)F,點(diǎn)C關(guān)于直線OA對(duì)稱，點(diǎn)G.M在OA上， GF=GC,FM=CM, 同理HD=HE，ND=NE, CM+MN+ND=FM+MN+NE=FE, CG+GH+HD=FG+GH+HE, 在四邊形EFGH中， FG+GH+HEFE（兩點(diǎn)之間，線段最短）， 即CG+GH+HDCM+MN+ND即CM+MN+ND最短,3.一點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部,已知：如圖A是銳角MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)B，C，組成三角形，使三角形周長(zhǎng)最小.,B,C,D,E,分析：當(dāng)AB、BC和AC三條邊的長(zhǎng)度恰好能夠體現(xiàn)在一條直線上時(shí)，三角