1、.,第四章 換面法,第一節 概述,第二節 投影變換,.,第一節 概述,特殊位置的直線：,可直接反映實長、傾角問題,.,特殊位置的平面：,可直接反映實形、傾角問題,正平面,正垂面,.,特殊位置的幾何元素：,可直接反映度量、定位問題,距離,m,m,點到直線的距離,.,一、基本概念,改變空間幾何元素與投影面的相對位置，使它們相互之間處于某一特殊位置的情況，從而使問題簡化、得到解決投影變換。,二、投影變換的方法,輔助投影面法（換面法） 2. 旋轉法,.,.,第二節 變換投影面,一、 概念：,換面法：空間幾何元素不動，改變投影面的位置使其有利于解題。,.,二、基本條件,講解：點 線 面,.,a1,H,V

2、1,ax1,三、基本原理,1. 點的一次變換：, 變換規律： 1). 點的新投影到新軸之距=舊投影到原軸之距； 2). 點的新投影與被保留投影的連線新軸O1X1。,ax1,a1,.,.,.,點在V/H1體系中的投影,.,更換H面,求新投影的作圖方法,V,H,X,由點的不變投影向新投影軸作垂線，并在垂線上量取一段距離，使這段距離等于被代替的投影到原投影軸的距離。,a,a,ax,ax1,ax1,更換V面,作圖規律：,.,點的兩次變換,新投影體系的建立,按次序更換,A,a,V,H,a,ax,X,.,點的兩次變換,.,.,1、把一般位置直線變換成投影面的平行線,b1,a1,四、基本作圖,.,2.把投影

3、面的平行線變換成投影面的垂直線,a1 (b1),a1 (b1),.,3. 把一般位置直線變換成投影面垂直線,.,3. 把一般位置直線變換成投影面垂直線,空間分析：,a,b,a,b,X,V,H,作圖：,二次換面把投影面平行線變成投影面垂直線。,X2軸的位置？,與a1b1垂直,一次換面把直線變成投影面平行線；,.,把一般位置直線變為投影面垂直線,.,.,.,一般位置直線變換成投影面垂直線，需經幾次變換？,如果把平面內的一條直線變換成新投影面的垂直線，那么該平面則變換成新投影面的垂直面。,空間分析：,在平面內取一條投影面平行線，經一次換面后變換成新投影面的垂直線，則該平面變成新投影面的垂直面。,作圖

4、方法：,能否只進行一次變換？,思考： 若變換H面，需在面內取什么位置直線？,正平線！,4.把一般位置平面變換成投影面的垂直面,.,把一般位置平面變換成投影面的垂直面,d,d,a1,b1,d1(c1),.,把一般位置平面變換成投影面的垂直面,c,.,.,5.把投影面的垂直面變換成投影面的平行面,.,把投影面的垂直面變換成投影面的平行面,a1,b1,c1,.,6.把一般位置平面變換成投影面的平行面,V1,H2,a2,b2,c2,.,k1,b1,a1,k2,a2(b2),(t2),t1,t,t,求K點到直線AB之 距及兩面投影。,例題1：,.,求具有公共邊BC的ABC 和BCD的夾角。,例題2：,.

5、,C,D,S,T,B,b2,t2,a2,C2(s2) (d2),H2,V,H,X,O,b,d,a,c,c,d,a,b,V1,X1,H,O1,b1,a1,c1,d1,k1,g1,k,g,O2,X2,H2,V1,a2,b2,g,k,g2,距離,例3： 求交叉兩直線AB和CD間的距離。,.,b,例題4： 求兩直線AB與CD的公垂線 。,.,題5： 如何求兩直線AB與CD間的距離？,V,提示,.,b,a,a,b,c,d,例6：已知兩交叉直線AB和CD的公垂線的長度 為MN， 且AB為水平線，求CD及MN的投影。,空間及投影分析：,V,H,X,圓半徑=MN,作圖：,請注意各點的投影如何返回？,求m點是難

6、點。,.,c1,.,空間及投影分析：AB與CD都平行于投影面時，其投影的夾角才反映實角（60），因此需將AB與C點所確定的平面變換成投影面平行面。,例8: 過C點作直線CD與AB相交成60角。,a,b,a,c,b,X,V,H,c,作圖：,幾個解？,兩個解！,已知點C是等邊三角形的頂點，另兩個頂點在直線AB上，求等邊三角形的投影。,思考：,如何解？,解法相同！,D點的投影如何返回？,.,.,例10：已知點E在平面ABC上，距離A、B為15，求E點的投影。,.,a,a,X,b,b,c,d,c,d,題10： 已知兩直線AB/CD且相間距離為10,X,H2,V1,c1,d1,c,c2(d2),R=10

7、,.,例題11： 求點S到平面ABC的距離,.,例12：已知E到平面ABC的距離為N，求E點的正面投影e。,.,例13： 求點到平面ABC的距離,X1,b 1 d 1,c 1,a 1,k 1,k,k,.,.,.,.,小 結,本章主要介紹了投影變換的一種常用方法 換面法。,一、 換面法就是改變投影面的位置，使它與所給物 體或其幾何元素處于解題所需的特殊位置。,二、 換面法的關鍵是要注意新投影面的選擇條件， 即必須使新投影面與某一原投面保持垂直關系， 同時又有利于解題需要，這樣才能使正投影規 律繼續有效。,三、點的變換規律是換面法的作圖基礎，六個基本 問題是解題的基本作圖方法，必需熟練掌握。,.,換面法的基本問題：,2. 把一般位置直線變成投影面垂直線,1. 把一般位置直線變成投影面平行線,3. 把一般位置平面變成投影面垂直面,4. 把一般位置平面變成投影面平行面,變換一次投影面,變換一次投影面,變換兩次投影面,變換兩次投影面,需先在面內作一條投影面平行線,.,四、解題時一般要注意下面幾個問題：, 分析已給條件的空間情況，弄清原始條件中 物體與原投影面的相對位置，并把這些條件 抽象成幾何元素（點、線、面等）。, 根據要求得到的結果，確定出有關