1、.對兩個重要極限的重要性的認識摘要 ：通過對兩個重要極限重要性的理解和認識, 總結有關兩個重要極限的論文成果，指出兩個重要極限在微積分的計算過程中起到了重要的橋梁紐帶作用，主張學習數學知識不僅局限于課本，要培養提高探究問題的能力，系統全面的看待問題，深刻細致的體會微積分思想的嚴謹性。關鍵詞 ： 重要極限；重要性；證明；應用1. 緒論 兩個重要極限在微積分的計算和整個微積分思想中起著舉足輕重的作用，目前，關于這方面的分析已經很成熟，有關于它們的來源，證明，應用和深入擴展，本文系統的總結了部分具有代表性的成果，從而可以直觀全面的認識和體會兩個重要極限的重要性，對剛接觸極限理論，沒有深入認識兩個重要

2、極限的學生來說，具有指導意義。 數學分析課程在講述關于兩個重要極限 和時，著重強調了它在整個極限計算中有重要地位。 它能將許多復雜的極限計算迅速簡化, 應用非常靈活。因此，這兩個重要的極限可以說是全部微積分學計算的基礎, 其重要性就不難理解了。試想, 若沒有它們, 那么只要遇見微積分相關的計算題, 必須用最基本的方法，有些還不一定求得出來，更不用說由它們推廣出的更復雜的應用了。2.兩個重要極限的證明 兩個重要極限是極限理論的重要內容, 也是解決極限問題的一種有效方法, 在學生的學習中, 起著重要作用，了解它們的證明方法對充分理解和認識它們是十分必要的，它的證明過程也是對兩邊夾定理及單調有界數列

3、必有極限這一準則的恰當應用。2.1第一個重要極限：證明：作單位圓，如圖1：圖1設為圓心角，并設見圖不難發現：，即：，即 ， （因為，所以上不等式不改變方向） 當改變符號時，及1的值均不變，故對滿足的一切，有。 又因為， 所以 而 ，證畢。2.2第二個重要極限：先考慮取正整數時的情形：對于，有不等式：，即：， 即：（i）現令，顯然，因為將其代入，所以，所以為單調數列，記作。（ii）又令，所以 ，即對， 又對所以是有界的。由單調有界定理知 存在，并使用來表示，即3.兩個重要極限在微分學中的重要性在函數的學習中，我們熟悉的基本初等函數有以下五類：冪函數(),指數函數，對數函數()，三角函數y=sin

4、 x, y=cos x，y=tan x, y=cot x,反三角函數y=arc sinx, y=arc cosx, y=arc tanx, y=arc cotx。 由基本初等函數經過有限次四則混合運算與符合運算所得到的函數，統稱為初等函數，微積分中我們經常需要計算初等函數的導數，微分學的基本概念導數是建立在極限概念基礎上的。即求一個函數f(x)在點x處的導數 ，就是計算極限 （3.1）當這一極限存在時，其值就是 。但這僅僅是停留在導數定義上的，如果求函數的導數都要計算極限3.1的話，顯然是非常復雜和繁瑣的，勢必限制導數的廣泛應用。事實上，在求函數的導數時，并不都需要計算極限3.1，而只需根據基

5、本初等函數的求導公式及求導法則就可以很方便地求得任何一個初等函數的導數。因此，兩個重要極限對于以上六類基本初等函數的求導起到了至關重要的作用。 關于基本初等函數的求導，我們可以大致分為三類函數：第一類是冪函數，第二類是三角函數和反三角函數，第三類是指數函數和對數函數。對于第一類函數的求導，要利用二項式定理和導數定義便求得。對于第二類函數的求導，需要利用到 這個重要極限。對于第三類函數的求導，需要利用到 這個極限。下面來看一看基本求導公式是如何得來的。3.1 重要極限在三角函數求導過程中的作用以正弦函數sin x的求導公式的推導為例.由導數的定義 其中應用了第一個重要極限，即（令）。求得(sin

6、 x)=后，其余的三角函數和反三角函數的導數公式就可以利用多個求導法則得到了。3.2 重要極限在指數函數和冪函數求導過程中的作用其次，再看看對數函數logx的求導公式的推導過程。由導數定義其中應用了第二個重要極限，即（令）。求得了以后，指數函數和冪函數的求導公式就容易得出了。 可見，兩個重要極限在導出基本初等函數的求導公式的過程中，特別是涉及三角函數的過程中起到了關鍵性的作用，沒有這兩個重要極限，兩類函數的求導公式就不可能得出。兩個重要極限在初等函數求導過程中起到了重要的紐帶作用，因為推倒正弦函數和指數函數的導數公式的過程中要用到這兩個極限，而所有的初等函數都可以從這兩類函數以及它們的反函數出

7、發，經過有限的四則運算復合得到。因此，從這兩類函數的導數出發，利用函數的四則運算、復合和反函數求導法則，就能求得全部初等函數的導數。再由于積分是微分的逆運算，可以得到基本積分表，依靠他們能算出大量初等函數的積分?？梢哉f，兩個重要極限可以說是全部微分積分學的基礎，在微積分的計算過程中起到了重要的橋梁紐帶作用，所以這兩個重要極限極其重要。4.兩個重要極限在計算中的應用 4.1兩個重要極限在一元極限中的應用 第一個重要極限實際上是兩個無窮小之比的極限。若分子分母分別求極限便得 這一不定的結果，因此稱這一類型的極限為 型未定式。類似地，第二個重要極限是屬于型未定式。綜上所述，可以得出這樣的結論，凡是含

8、有三角函數的 型未定式和型未定式，我們都可不妨用兩個重要極限來試試，看能否求出它的結果，以下舉例來說明如何應用這兩個重要極限于極限運算中的。例1 求 解:=例2 求 解:= =例3 求解:令=t，則x=當x時t0，于是=e 2例4 求解:令=1+u，則x=2當x時u0，于是=e -1例5 求解:設t=tanx，則cotx當x0時t0，于是=e4.2兩個重要極限在二元函數極限中的應用4.2.1重要極限的應用 極限是一元函數第一個重要極限的推廣，其中，時，把看作新變量，考慮極限過程。例1 求極限解：極限運算過程中第一個等號是一個恒等變形。我們設，定義域是。再設定義域顯然有?？梢钥吹?，從函數到定義域

9、變小了，但，分別在各自的定義域D與內，當時，可以證明極限都是存在的，證明如下： （1）以下是對在定義域內極限的證明。因為當時，有：所以由夾逼準則得 =0 (2)對在定義域內極限的存在性，由極限的四則運算法則容易知道，并且其值易算得為0.既然在定義域內極限存在，那么極限必唯一。我們可以在D內任找的方式來計算出極限值。由D與的關系（），知道在中兩函數相等，所以在求極限找的方式時，我們可以在中找，顯然，兩函數的極限是相等的。，但是， =是成立的。所以在時，兩函數的極限是相等的。同理可以計算下面例子。例2 求極限解：。 在一元函數中由第一個重要極限可以得到幾個常用的等價無窮小，推廣到二元函數中得到：

10、同一元函數一樣，等價無窮小代換只能在乘法和除法中應用。 例3 求極限解：=0例4 求極限解：=4.2.2 重要極限 極限是一元函數中第二個重要極限的推廣。下面舉例說明它的應用。例5 求極限解：= 對于二元函數極限的運算方法除了利用兩個重要極限以外，還有多種方法，比如利用不等式，使用夾逼準則；利用初等函數的連續性及極限的運算法則；同時還可以用路徑的方法判斷極限不存在，但是在使用這些方法時往往不是孤立使用的，通常會多種方法綜合使用，來解決二元函數的極限問題。本文通過舉例主要討論了兩個重要極限在二元函數極限中的應用，并給出了二元函數極限運算中幾個常見的無窮小的等價代換公式及其應用，更加深了對兩個重要極限在二元函數極限運算中作用的理解，以便更好的解決二元函數的極限問題。5.總結關于兩個重要極限的公式本身十分簡單， 但由它們上面卻引出許多的話題. 關于它的證明方法還有很多，本文選取了最能體現數學思想的證法，還談及了它們的一些應用，這些話題都反映一個共同思想: 在研究函數在一點的無窮小領域內的變化性態時, 用某個與自變量增量成比例的量( 即微分) , 替代函數的增量, 常常是簡化并解決問題的辦法. 這就是微分學的基本思想, 對于微積分, 只有深入理解和掌握了這一思想, 才會深刻理解