1、精品文檔 2017高考數學一輪考點訓練-導數及其應用 第三章導數及其應用 考綱鏈接 1.了解導數概念的實際背景 2通過函數圖象直觀理解導數的幾何意義 3能根據導數的定義求函數yc(c為常數)，yx，y1x，yx2，yx3，yx的導數 4能利用以下給出的基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則求簡單函數的導數 常見的基本初等函數的導數公式： (c)0(c為常數);(xn)nxn1(nN)； (sinx)cosx;(cosx)sinx； (ex)ex;(ax)axlna(a0，且a1)； (lnx)1x；(logax)1xlogae(a0，且a1) 常用的導數運算法則： 法則1：u(x)v(x)

2、u(x)v(x) 法則2：u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x) 法則3： u（x）v（x）u（x）v（x）u（x）v（x）v2（x）(v(x)0) 5了解函數的單調性與導數的關系；能利用導數研究函數的單調性，會求函數的單調區間(其中多項式函數不超過三次) 6了解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數求函數的極大值、極小值(其中多項式函數不超過三次)；會求閉區間上函數的最大值、最小值(其中多項式函數不超過三次) 7會用導數解決實際問題 3.1導數的概念及運算 1導數的概念 (1)定義 如果函數yf(x)的自變量x在x0處有增量x，那么函數y相應地有增量yf(x0x)f(x0

3、)，比值yx就叫函數yf(x)從x0到x0x之間的平均變化率，即yxf（x0x）f（x0）x.如果當x0時，yx有極限，我們就說函數yf(x)在點x0處，并把這個極限叫做f(x)在點x0處的導數，記作或，即f(x0)yxf（x0x）f（x0）x. (2)導函數 當x變化時，f(x)便是x的一個函數，我們稱它為f(x)的導函數(簡稱導數)yf(x)的導函數有時也記作y，即f(x)yf（xx）f（x）x. (3)用定義求函數yf(x)在點x0處導數的方法 求函數的增量y； 求平均變化率yx； 取極限，得導數f(x0)yx. 2導數的幾何意義 函數yf(x)在點x0處的導數的幾何意義，就是曲線yf(

4、x)在點P(x0，f(x0)處的切線的斜率也就是說，曲線yf(x)在點P(x0，f(x0)處的切線的斜率是相應的切線方程為 3基本初等函數的導數公式 (1)c(c為常數)， (x)(Q*)； (2)(sinx)_， (cosx)_； (3)(lnx)， (logax)； (4)(ex)_， (ax). 4導數運算法則 (1)f(x)g(x)_. (2)f(x)g(x)_； 當g(x)c(c為常數)時，即cf(x)_. (3)f（x）g（x）(g(x)0) 自查自糾： 1(1)可導f(x0) (3)f(x0x)f(x0)f（x0x）f（x0）x 2f(x0)yy0f(x0)(xx0) 3(1)0

5、x1(2)cosxsinx(3)1x1xlna (4)exaxlna 4(1)f(x)g(x)(2)f(x)g(x)f(x)g(x)cf(x) (3)f（x）g（x）f（x）g（x）g（x）2 若曲線yx3在點P處的切線的斜率為3，則點P的坐標為() A(1，1) B(1，1) c(1，1)或(1，1) D(1，1) 解：y3x2，令3x23，得x1.當x1時，y1；當x1時，y1.故選c. 曲線ysinxex在點(0，1)處的切線方程是() Ax3y30Bx2y20 c2xy10D3xy10 解：ysinxex，ycosxex，y|x0cos0e02，曲線ysinxex在點(0，1)處的切線

6、方程為y12(x0)，即2xy10.故選c. (2015保定調研)已知曲線ylnx的切線過原點，則此切線的斜率為() AeBec.1eD1e 解：ylnx的定義域為(0，)，且y1x，設切點(x0，lnx0)，則1x0，切線方程為ylnx01x0(xx0)，因為切線過點(0，0)，所以lnx01，解得x0e，故此切線的斜率為1e.故選c. (2015天津)已知函數f(x)axlnx，x(0，)，其中a為實數，f(x)為f(x)的導函數，若f(1)3，則a的值為_ 解：因為f(x)a(1lnx)，所以f(1)a3.故填3. (2014廣東)曲線y5ex3在點(0，2)處的切線方程為_ 解：由y5

7、ex3y5ex，于是切線方程為y25(x0)，即y5x2.故填y5x2. 類型一導數的概念 用定義法求函數f(x)x22x1在x1處的導數 解法一：yf(xx)f(x) (xx)22(xx)1(x22x1) x22xxx22x2x1x22x1 (2x2)xx2， 所以yx（2x2）xx2x (2x2)x 2x2. 所以函數f(x)x22x1在x1處的導數為 f(x)|x12120. 解法二：yf(1x)f(1) (1x)22(1x)1(12211) 12xx222x12x2， 所以yxx2xx0. 故f(x)|x10. 點撥： 利用導數定義求函數在某一點處的導數，首先寫出函數在該點處的平均變化

8、率yx，再化簡平均變化率，最后判斷當x0時，yx無限趨近于哪一常數，該常數即為所求導數，這是定義法求導數的一般過程 航天飛機發射后的一段時間內，第ts時的高度h(t)5t330t245t4(單位：) (1)求航天飛機在第1s內的平均速度； (2)用定義方法求航天飛機在第1s末的瞬時速度 解：(1)航天飛機在第1s內的平均速度為 h（1）h（0s. (2)航天飛機第1s末高度的平均變化率為 h（1t）h（1）t 5（1t）330（1t）245（1t）484t 5t345t2120tt 5t245t120， 當t0時，5t245t120120， 所以航天飛機在第1s末的瞬

9、時速度為120/s. 類型二求導運算 求下列函數的導數： (1)y(x1)(x2)(x3)； (2)ysinx212cos2x4； (3)y3xex2xe； (4)ylnxx21. 解：(1)解法一：y(x23x2)(x3)x36x211x6，y3x212x11. 解法二：y(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x3) (x1)(x2)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2) (x2x1)(x3)(x1)(x2) 3x212x11. (2)ysinx2cosx212sinx， y12sinx12(sinx)12cosx. (3)y(3xex)(2x)e (3x)ex3x(ex)(2x) 3

10、xexln33xex2xln2 (ln31)(3e)x2xln2. (4)y（lnx）（x21）lnx（x21）（x21）2 1x（x21）2xlnx（x21）2x2（12lnx）1x（x21）2. 點撥： 求導運算，一是熟記公式及運算法則，二是要注意在求導前對可以化簡或變形的式子進行化簡或變形，從而使求導運算更簡單 求下列函數的導數： (1)yexcosx； (2)yxx21x1x3； (3)ylnxex. 解：(1)y(ex)cosxex(cosx)ex(cosxsinx) (2)yx311x2，y3x22x3. (3)y（lnx）ex（ex）lnx（ex）2 1xexexlnx（ex）2

11、1xlnxex1xlnxxex. 類型三導數的幾何意義 已知曲線y13x343. (1)求滿足斜率為1的曲線的切線方程； (2)求曲線在點P(2，4)處的切線方程； (3)求曲線過點P(2，4)的切線方程 解：(1)yx2，設切點為(x0，y0)， 故切線的斜率為kx201， 解得x01，故切點為1，53，(1，1) 故所求切線方程為y53x1和y1x1， 即3x3y20和xy20. (2)yx2，且P(2，4)在曲線y13x343上， 在點P(2，4)處的切線的斜率ky|x24. 曲線在點P(2，4)處的切線方程為y44(x2)， 即4xy40. (3)設曲線y13x343與過點P(2，4)

12、的切線相切于點Ax0，13x3043，又切線的斜率kx20， 切線方程為y13x3043x20(xx0)， 即yx20x23x3043. 點P(2，4)在切線上，42x2023x3043， 即x303x2040，x30x204x2040， x20(x01)4(x01)(x01)0， (x01)(x02)20，解得x01或x02， 故所求的切線方程為4xy40或xy20. 點撥： 曲線切線方程的求法： (1)以曲線上的點(x0，f(x0)為切點的切線方程的求解步驟： 求出函數f(x)的導數f(x)； 求切線的斜率f(x0)； 寫出切線方程yf(x0)f(x0)(xx0)，并化簡 (2)如果已知點

13、(x1，y1)不在曲線上，則設出切點(x0，y0)，解方程組y0f（x0），y1y0x1x0f（x0），得切點(x0，y0)，進而確定切線方程 注意：求切線方程時，要注意判斷已知點是否滿足曲線方程，即是否在曲線上與曲線只有一個公共點的直線不一定是曲線的切線，曲線的切線與曲線的公共點不一定只有一個 已知函數f(x)x3x16. (1)求曲線yf(x)在點(2，6)處的切線方程； (2)直線l為曲線yf(x)的切線，且經過原點，求直線l的方程及切點坐標； (3)如果曲線yf(x)的某一切線與直線y14x3垂直，求切點坐標與切線的方程 解：(1)可判定點(2，6)在曲線yf(x)上 f(x)(x3x

14、16)3x21. f(x)在點(2，6)處的切線的斜率為kf(2)13. 切線方程為y13(x2)(6)， 即y13x32. (2)解法一：設切點為(x0，y0)， 則直線l的斜率為f(x0)3x201， 直線l的方程為 y(3x201)(xx0)x30x016， 又直線l過點(0，0)， 0(3x201)(x0)x30x016， 整理得，x308，x02， y0(2)3(2)1626， k3(2)2113， 直線l的方程為y13x，切點坐標為(2，26) 解法二：設直線l的方程為ykx，切點為(x0，y0)， 則斜率ky00x00x30x016x0， 又kf(x0)3x201， x30x01

15、6x03x201，解得x02，k13. 直線l的方程為y13x，切點坐標為(2，26) (3)切線與直線y14x3垂直， 切線的斜率k4. 設切點的坐標為(x0，y0)， 則f(x0)3x2014，x01. x01，y014或x01，y018， 即切點坐標為(1，14)或(1，18)， 切線方程為y4(x1)14或y4(x1)18， 即y4x18或y4x14. 1“函數在點x0處的導數”“導函數”“導數”的區別與聯系 (1)函數在點x0處的導數f(x0)是一個常數，不是變量 (2)函數的導函數(簡稱導數)，是針對某一區間內任意點x而言的函數f(x)在區間(a，b)內每一點都可導，是指對于區間(

16、a，b)內的每一個確定的值x0，都對應著一個確定的導數f(x0)，根據函數的定義，在開區間(a，b)內就構成了一個新的函數，也就是函數f(x)的導函數f(x) (3)函數yf(x)在點x0處的導數f(x0)就是導函數f(x)在點xx0處的函數值 2函數yf(x)在xx0處的導數f(x0)的兩種常用求法 (1)利用導數的定義，即求 f（x0x）f（x0）x的值； (2)求導函數在x0處的函數值：先求函數yf(x)在開區間(a，b)內的導函數f(x)，再將x0(x0(a，b)代入導函數f(x)，得f(x0) 3關于用導數求曲線的切線問題 (1)圓是一種特殊的封閉曲線，注意圓的切線的定義并不適用于一

17、般的曲線 (2)求曲線在某一點處的切線方程，這里的某一點即是切點，求解步驟為先求函數在該點的導數，即曲線在該點的切線的斜率，再利用點斜式寫出直線的方程 (3)求過某點的曲線的切線方程，這里的某點可能是切點(點在曲線上的情形)，也可能不是切點，即便點在曲線上，切線也不一定唯一，如本節例3(3)，就極易漏掉切線xy20. 1函數f(x)x3sinx的導數f(x)() Ax2cosxB3x2cosx cx2cosxD3x2cosx 解：f(x)3x2cosx.故選D. 2(2015鄭州檢測)已知曲線yx223lnx的一條切線的斜率為2，則切點的橫坐標為() A3B2c1D.13 解：設切點坐標為(x

18、0，y0)，且x00，由yx3x，得kx03x02，解得x03.故選A. 3已知函數f(x)的導函數為f(x)，且滿足f(x)2xf(1)lnx，則f(1)等于() AeB1c1De 解：由f(x)2xf(1)lnx，得f(x)2f(1)1x. f(1)2f(1)1，則f(1)1.故選B. 4函數f(x)excosx的圖象在點(0，f(0)處的切線的傾斜角為() A0B.4c1D.2 解：由f(x)excosx，得f(x)excosxexsinx.所以f(0)e0cos0e0sin01，即傾斜角滿足tan1.根據0，)，得4.故選B. 5已知f1(x)sinxcosx，fn1(x)是fn(x)

19、的導函數，即f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，fn1(x)fn(x)，nN*，則f2016(x)等于() AsinxcosxBsinxcosx csinxcosxDsinxcosx 解：f1(x)sinxcosx，f2(x)f1(x)cosxsinx，f3(x)f2(x)sinxcosx，f4(x)f3(x)cosxsinx，f5(x)f4(x)sinxcosxf1(x)，而20165044，f2016(x)f4(x)cosxsinx.故選B. 6若函數f(x)cosx2xf6，則f3與f3的大小關系是() Af3f3Bf3f3 cf3f3D不確定 解：依題意得f(x)sinx2f6

20、， f6sin62f6，得f612， f(x)sinx1， 當x2，2時，f(x)0,f(x)cosxx在2，2上是增函數，又2332， f3f3.故選c. 7若函數f(x)12x2axlnx存在垂直于y軸的切線，則實數a的取值范圍是_ 解：f(x)12x2axlnx，f(x)xa1x. f(x)存在垂直于y軸的切線，f(x)存在零點， 即x1xa0有解，x0，則ax1x2. 故填2，) 8已知曲線c：f(x)x3axa，若過曲線c外一點A(1，0)引曲線c的兩條切線，它們的傾斜角互補，則實數a的值為_ 解：設切點坐標為(t，t3ata) 切線的斜率為ky|xt3t2a， 所以切線方程為y(t

21、3ata)(3t2a)(xt)， 將點(1，0)代入式得(t3ata)(3t2a)(1t)，解之得t0或t32.分別將t0和t32代入式，得ka或k274a，由它們互為相反數得a278.故填278. 9求函數f(x)x34x4圖象上斜率為1的切線的方程 解：設切點坐標為(x0，y0)， f(x0)3x2041，x01. 切點為(1，1)或(1，7) 切線方程為xy20或xy60. 10(2015浙江聯考)已知點是曲線y13x32x23x1上任意一點，曲線在點處的切線為l，求： (1)斜率最小的切線方程； (2)切線l的傾斜角的取值范圍 解：(1)yx24x3(x2)211， 當x2時，y1為斜

22、率最小值，此時y53， 斜率最小的切線過2，53，斜率k1， 所求切線方程為xy1130. (2)由(1)得k1，tan1， 0，234，. 11f(x)ax1x，g(x)lnx，x0，常數aR. (1)求曲線yg(x)在點P(1，g(1)處的切線l. (2)是否存在常數a，使(1)中的切線l也是曲線yf(x)的一條切線，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由 解：(1)由題意知，g(1)0，又g(x)1x，g(1)1，所以直線l的方程為yx1. (2)f(x)a1x2，設yf(x)在xx0處的切線為l，則有 ax01x0x01，a1x201，解得x02，a34，此時f(2)1， 即當a34

23、時，l是曲線yf(x)在點Q(2，1)處的切線 (2014安徽)若直線l與曲線c滿足下列兩個條件：(1)直線l在點P(x0，y0)處與曲線c相切；(2)曲線c在點P附近位于直線l的兩側，則稱直線l在點P處“切過”曲線c.下列命題正確的是_(寫出所有正確命題的編號) 直線l：y0在點P(0，0)處“切過”曲線c：yx3 直線l：x1在點P(1，0)處“切過”曲線c：y(x1)2 直線l：yx在點P(0，0)處“切過”曲線c：ysinx 直線l：yx在點P(0，0)處“切過”曲線c：ytanx 直線l：yx1在點P(1，0)處“切過”曲線c：ylnx 解：對于，y(x3)3x2，y|x00，所以l

24、：y0是曲線c：yx3在點P(0，0)處的切線，畫圖可知曲線c：yx3在點P(0，0)附近位于直線l的兩側，正確； 對于，l：x1顯然不是曲線c：y(x1)2在點P(1，0)處的切線，錯誤； 對于，y(sinx)cosx，y|x01，曲線在點P(0，0)處的切線為l：yx，畫圖可知曲線c：ysinx在點P(0，0)附近位于直線l的兩側，正確； 對于，y(tanx)sinxcosx1cos2x，y|x01cos201，曲線在點P(0，0)處的切線為l：yx，畫圖可知曲線c：ytanx在點P(0，0)附近位于直線l的兩側，正確； 對于，y(lnx)1x，y|x11，在點P(1，0)處的切線為l：y

25、x1，令h(x)x1lnx(x0)，可得h(x)11xx1x，所以h(x)inh(1)0，故x1lnx，可知曲線c：ylnx在點P(1，0)附近位于直線l的下方，錯誤故填. 3.2導數的應用(一) 1函數的單調性與導數 在某個區間(a，b)內，如果f(x)0，那么函數yf(x)在這個區間內_；如果f(x) 2函數的極值與導數 (1)判斷f(x0)是極大值，還是極小值的方法： 一般地，當f(x0)0時， 如果在x0附近的左側f(x)0，右側f(x)0，那么f(x0)是極大值； 如果在x0附近的左側_，右側_，那么f(x0)是極小值 (2)求可導函數極值的步驟： 求f(x)； 求方程_的根； 檢查

26、f(x)在上述根的左右對應函數值的符號如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得_；如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得_ 3函數的最值與導數 (1)在閉區間a，b上圖象連續不斷的函數f(x)在a，b上必有最大值與最小值 (2)若函數f(x)在a，b上單調遞增，則_為函數在a，b上的最小值，_為函數在a，b上的最大值；若函數f(x)在a，b上單調遞減，則_為函數在a，b上的最大值，_為函數在a，b上的最小值 (3)設函數f(x)在a，b上圖象連續不斷，在(a，b)內可導，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步驟如下： 求f(x)在(a，b)內的極值； 將f(x)的各極值與端點處的函數值_，

27、_進行比較，其中最大的一個是_，最小的一個是_ 自查自糾： 1單調遞增單調遞減常數函數 2(1)f(x)0f(x)0 (2)f(x)0極大值極小值 3(2)f(a)f(b)f(a)f(b) (3)f(a)f(b)最大值最小值 關于函數的極值，下列說法正確的是() A導數為0的點一定是函數的極值點 B函數的極小值一定小于它的極大值 cf(x)在定義域內最多只能有一個極大值，一個極小值 D若f(x)在(a，b)內有極值，那么f(x)在(a，b)內不是單調函數 解：導數為0的點不一定是極值點(如yx3，在x0處)，而極值點的導數一定為0.極值是局部概念，因此極小值可能有多個且有可能大于極大值極值點是

28、單調性的轉折點故選D. (2015北京海淀區模擬)函數f(x)x22lnx的單調遞減區間是() A(0，1)B(1，) c(，1)D(1，1) 解：f(x)2x2x2（x1）（x1）x(x0) 當x(0，1)時f(x)0，f(x)為減函數； 當x(1，)時，f(x)0，f(x)為增函數故選A. 設函數f(x)2xex1，則() Ax1為f(x)的極大值點 Bx1為f(x)的極小值點 cx1為f(x)的極大值點 Dx1為f(x)的極小值點 解：求導得f(x)2ex2xex2ex(x1)，令f(x)2ex(x1)0，解得x1，易知x1是函數f(x)的極小值點故選D. 函數f(x)13x34x4在0

29、，3上的最大值為_，在0，3上的最小值為_ 解：f(x)x24(x2)(x2)， 令f(x)0，得x2或x2； 令f(x)0，得2x2. 所以f(x)在(，2)，(2，)上單調遞增；在(2，2)上單調遞減，而f(2)43，f(0)4，f(3)1，故f(x)在0，3上的最大值是4，最小值是43.故填4；43. 若函數f(x)kxlnx在區間(1，)上單調遞增，則實數k的取值范圍是_ 解：依題意得f(x)k1x0在(1，)上恒成立，即k1x在(1，)上恒成立，x1，01x1，k1.故填1，) 類型一導數法判斷函數的單調性 已知函數yf(x)的圖象如圖所示，則其導函數yf(x)的圖象可能是() 解：

30、由題意得函數yf(x)在(0，)上單調遞減，則其導函數在(0，)上恒小于0，排除B，D；又函數yf(x)在(，0)上先單調遞增，后單調遞減，再單調遞增，則其導函數在(，0)上先大于0，后小于0，再大于0，排除c，故選A. 點撥： 導函數的圖象在哪個區間位于x軸上方(下方)，說明導函數在該區間大于0(小于0)，那么它對應的原函數在那個區間就單調遞增(單調遞減) (2014北京聯考)如圖是函數yf(x)的導函數yf(x)的圖象，則下面判斷正確的是() A在(2，1)上f(x)是增函數 B在(1，3)上f(x)是減函數 c當x2時，f(x)取極大值 D當x4時，f(x)取極大值 解：由yf(x)的圖

31、象可得yf(x)的大致圖象如圖 由圖可知，A，B，D均錯故選c. 類型二導數法研究函數的單調性 (2015荊州質檢)設函數f(x)13x3a2x2bxc，曲線yf(x)在點(0，f(0)處的切線方程為y1. (1)求b，c的值； (2)若a0，求函數f(x)的單調區間 解：(1)函數的定義域為(，)，f(x)x2axb， 由題意得f（0）1，f（0）0，即c1，b0. (2)由(1)得，f(x)x2axx(xa)(a0)， 當x(，0)時，f(x)0，當x(0，a)時，f(x)0， 當x(a，)時，f(x)0. 所以函數f(x)的單調遞增區間為(，0)，(a，)；單調遞減區間為(0，a) 點撥

32、： 利用導數研究函數的單調性的關鍵在于準確判定導數的符號，當f(x)含參數時，需依據參數取值對不等式解集的影響進行分類討論 (2014山東)設函數f(x)exx2k2xlnx(k0，k為常數，e2.71828是自然對數的底數)，求函數f(x)的單調區間 解：函數yf(x)的定義域為(0，) f(x)x2ex2xexx4k2x21x xex2exx3k（x2）x2 （x2）（exkx）x3. 由k0可得exkx0， 所以當x(0，2)時，f(x)0，函數yf(x)單調遞減， x(2，)時，f(x)0，函數yf(x)單調遞增 所以f(x)的單調遞減區間為(0，2)，單調遞增區間為(2，) 類型三導

33、數法研究函數的極值問題 (2014重慶)已知函數f(x)x4axlnx32，其中aR，且曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線垂直于直線y12x. (1)求a的值； (2)求函數f(x)的單調區間與極值 解：(1)對f(x)求導得f(x)14ax21x，由f(x)在點(1，f(1)處的切線垂直于直線y12x知f(1)34a2，解得a54. (2)由(1)知f(x)x454xlnx32， 則f(x)x24x54x2. 令f(x)0，解得x1或x5. 因為x1不在f(x)的定義域(0，)內，故舍去 當x(0，5)時，f(x)0，故f(x)在(0，5)上為減函數； 當x(5，)時，f(x)0，故f

34、(x)在(5，)上為增函數 由此知函數f(x)在x5時取得極小值f(5)ln5. 點撥： 找函數的極值點，即先找導數的零點，但并不是說導數的零點就是極值點(如yx3)，還要保證該零點為變號零點 已知函數f(x)12x3cx在x1處取得極值 (1)求函數f(x)的解析式； (2)求函數f(x)的極值 解：(1)f(x)32x2c，當x1時，f(x)取得極值， 則f(1)0，即32c0，得c32. 故f(x)12x332x. (2)f(x)32x23232(x21)32(x1)(x1)， 令f(x)0，得x1或1. x，f(x)，f(x)的變化情況如下表： x(，1)1(1，1)1(1，) f(x

35、)00 f(x) 極大值 極小值 因此，f(x)的極大值為f(1)1，極小值為f(1)1. 類型四導數法研究函數的最值問題 已知函數f(x)ax22，g(x)x3bx.若曲線yf(x)與曲線yg(x)在它們的交點(1，c)處具有公共切線 (1)求a，b的值； (2)求函數f(x)g(x)的單調區間，并求其在區間(，1上的最大值 解：(1)f(x)2ax，g(x)3x2b， f(1)g(1)，f(1)g(1)， a21b，且2a3b，解得a4，b5. (2)設h(x)f(x)g(x)x34x25x2， 則h(x)3x28x5(3x5)(x1) x，h(x)，h(x)的變化情況如下表： x，53

36、53 53，1 1(1，) h(x)00 h(x) 極大值 極小值 所以f(x)在，53，(1，)上單調遞增，在53，1上單調遞減 h53427，h(1)12，12427， f(x)g(x)在(，1上的最大值為12. 點撥： 函數在限定區間內最多只有一個最大值和一個最小值，如果存在最大或最小值，最大值一般是在端點或極大值點取得，最小值一般是在端點或極小值點取得 設函數f(x)alnxbx2(x0)，若函數yf(x)的圖象在x1處與直線y12相切 (1)求實數a，b的值； (2)求函數f(x)在1e，e上的最大值 解：(1)f(x)ax2bx， 函數yf(x)的圖象在x1處與直線y12相切， f

37、（1）a2b0，f（1）b12，解得a1，b12. (2)f(x)lnx12x2，f(x)1xx1x2x， 當1exe時，令f(x)0，得1ex1； 令f(x)0，得1xe， f(x)在1e，1上單調遞增，在1，e上單調遞減， f(x)在1e，e上的最大值為f(1)12. 類型五實際應用問題(優化問題) (2013重慶)某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池(不計厚度)，設該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米假設建造成本僅與表面積有關，側面的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12000元(為圓周率) (1)將V表示成r的函數V(r)，

38、并求該函數的定義域； (2)討論函數V(r)的單調性，并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大 解：(1)蓄水池側面的總成本為1002rh200rh元，底面的總成本為160r2元， 蓄水池的總成本為(200rh160r2)元 又據題意200rh160r212000， 所以h15r(3004r2)，從而V(r)r2h5(300r4r3) r0，又由h0可得r 故函數V(r)的定義域為(0，53) (2)V(r)5(300r4r3)，故V(r)5(30012r2) 令V(r)0，解得r15，r25(舍去) 當r(0，5)時，V(r)0，故V(r)在(0，5)上為增函數； 當r(5，53)時，V(r)

39、 由此可知，V(r)在r5處取得最大值，此時h8. 即當r5，h8時，該蓄水池的體積最大 點撥： 解此類應用問題，應以讀題、建模、求解、作答這四個步驟為主線，同時還應注意實際問題中函數的定義域 某商場銷售某種商品的經驗表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價格x(單位：元/千克)滿足關系式yax310(x6)2，其中3 (1)求a的值； (2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大 解：(1)因為x5時，y11，所以a21011，a2. (2)由(1)可知，該商品每日的銷售量y2x310(x6)2. 所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤 f

40、(x)(x3)2x310（x6）2 10x3150x2720x1078(3 從而f(x)30(x4)(x6) 于是，當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表： x(3，4)4(4，6) f(x)0 f(x)單調遞增極大值42單調遞減 由上表可得，x4是函數f(x)在區間(3，6)內的極大值點，也是最大值點所以，當x4時，函數f(x)取得最大值，且最大值等于42. 答：當銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大 1用導數判斷單調性 用導數判斷函數的單調性時，首先應確定函數的定義域，然后在函數的定義域內，通過討論導數的符號，來判斷函數的單調區間在對函數劃分單調區間時，除了必

41、須確定使導數等于0的點外，還要注意定義區間內的間斷點 2導數值為0的點不一定是函數的極值點，“函數在某點的導數值為0”是“函數在該點取得極值”的必要不充分條件 3極值與最值的區別 (1)“極值”反映函數在某一點附近的大小情況，刻畫的是函數的局部性質；“最值”是個整體概念，是整個區間上的最大值或最小值，具有絕對性 (2)從個數上看，最值若存在，則必定是惟一的，而極值可以同時存在若干個或不存在，且極大(小)值并不一定比極小(大)值大(小) (3)從位置上看，極值只能在定義域內部取得，而最值卻可以在區間的端點處取得；有極值未必有最值，有最值未必有極值 4實際問題中的最值 (1)要從問題的實際意義出發

42、確定函數的定義域 (2)在實際問題中，如果函數在區間內只有一個極值點，那么只要根據實際意義判定是最大值還是最小值即可，不必再與端點的函數值比較 1(2014新課標)函數f(x)在xx0處導數存在若p：f(x0)0，q：xx0是f(x)的極值點，則() Ap是q的充分必要條件 Bp是q的充分條件，但不是q的必要條件 cp是q的必要條件，但不是q的充分條件 Dp既不是q的充分條件，也不是q的必要條件 解：由條件知由q可推出p，而由p推不出q.故選c. 2函數f(x)(x3)ex的單調遞增區間是() A(，2)B(0，3) c(1，4)D(2，) 解：f(x)(x3)ex(x3)(ex)(x2)ex

43、，令f(x)0，解得x2，故選D. 3已知函數f(x)ex2x1(其中e為自然對數的底數)，則yf(x)的圖象大致為() 解：依題意得f(x)ex2.當xln2時，f(x)0，f(x)是減函數，此時f(x)f(ln2)12ln2，而12ln20；當xln2時，f(x)0，f(x)是增函數，因此對照各選項知，c正確故選c. 4(2015濰坊期末)函數f(x)exx(e為自然對數的底數)在區間1，1上的最大值是() A11eB1ce1De1 解：因為f(x)exx，所以f(x)ex1.令f(x)0，得x0.且當x0時，f(x)ex10；x0時，f(x)ex10，即函數f(x)在x0處取得極小值，f

44、(0)1，又f(1)1e1，f(1)e1，比較得函數f(x)ex1在區間1，1上的最大值是e1.故選D. 5(2013福建)設函數f(x)的定義域為R，x0(x00)是f(x)的極大值點，以下結論一定正確的是() AxR，f(x)f(x0) Bx0是f(x)的極小值點 cx0是f(x)的極小值點 Dx0是f(x)的極小值點 解：f(x)的圖象與f(x)的圖象關于原點對稱，(x0，f(x0)是極大值點，那么(x0，f(x0)就是極小值點故選D. 6(2015陜西)對二次函數f(x)ax2bxc(a為非零整數)，四位同學分別給出下列結論，其中有且只有一個結論是錯誤的，則錯誤的結論是() A1是f(

45、x)的零點 B1是f(x)的極值點 c3是f(x)的極值 D點(2，8)在曲線yf(x)上 解：由A知abc0；由B知f(1)2ab0；對于c，f(x)2axb，令f(x)0可得xb2a，則fb2a3，則4acb24a3；由D知4a2bc8.假設A選項錯誤，則abc0，a0，2ab0，4acb24a3，4a2bc8，得a5，b10，c8.滿足題意，故A結論錯誤同理易知當B或c或D選項錯誤時，不符合題意故選A. 7已知x3是函數f(x)alnxx210x的一個極值點，則實數a_. 解：f(x)ax2x10，由f(3)a36100得a12，經檢驗滿足題設條件故填12. 8已知圓柱的體積為16c3，則當底面半徑r_c時，圓柱的表面積最小 解：圓柱的體積為Vr2h16r2h16，圓柱的表面積S2rh2r232r2r2216rr2， 由S216r22r0