第一章三角函數11任意角和弧度制111任意角一、教學目標1、知識與技能（1）推廣角的概念、引入大于角和負角；（2）理解并掌握正角、負角、零角的定360義；（3）理解任意角以及象限角的概念；4掌握所有與角終邊相同的角（包括角）的表示方法；（5）樹立運動變化觀點，深刻理解推廣后的角的概念；（6）揭示知識背景，引發學生學習興趣（7）創設問題情景，激發學生分析、探求的學習態度，強化學生的參與意識2、過程與方法通過創設情境“轉體，逆（順）時針旋轉”，角有大于角、零角和旋轉方720360向不同所形成的角等，引入正角、負角和零角的概念；角的概念得到推廣以后，將角放入平面直角坐標系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出幾個終邊相同的角，畫出終邊所在的位置，找出它們的關系，探索具有相同終邊的角的表示；講解例題，總結方法，鞏固練習3、情態與價值通過本節的學習，使同學們對角的概念有了一個新的認識，即有正角、負角和零角之分角的概念推廣以后，知道角之間的關系理解掌握終邊相同角的表示方法，學會運用運動變化的觀點認識事物二、教學重、難點重點理解正角、負角和零角的定義，掌握終邊相同角的表示法難點終邊相同的角的表示三、學法與教學用具之前的學習使我們知道最大的角是周角,最小的角是零角通過回憶和觀察日常生活中實際例子,把對角的理解進行了推廣把角放入坐標系環境中以后,了解象限角的概念通過角終邊的旋轉掌握終邊相同角的表示方法我們在學習這部分內容時,首先要弄清楚角的表示符號,以及正負角的表示另外還有相同終邊角的集合的表示等教學用具電腦、投影機、三角板四、教學設想【創設情境】思考你的手表慢了5分鐘，你是怎樣將它校準的假如你的手表快了125小時，你應當如何將它校準當時間校準以后，分針轉了多少度取出一個鐘表,實際操作我們發現，校正過程中分針需要正向或反向旋轉，有時轉不到一周，有時轉一周以上,這就是說角已不僅僅局限于之間，這正是我們這節課036要研究的主要內容任意角【探究新知】1初中時，我們已學習了角的概念，它是如何定義的呢036展示投影角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形如圖111，一條射線由原來的位置，繞著它的端點按逆時針方向旋轉到終止OAO位置，就形成角旋轉開始時的射線叫做角的始邊，叫終邊，射線的端點OBB叫做叫的頂點2如上述情境中所說的校準時鐘問題以及在體操比賽中我們經常聽到這樣的術語“轉體”（即轉體2周），“轉體”（即轉體3周）等,都是遇到大于的角720108360以及按不同方向旋轉而成的角同學們思考一下能否再舉出幾個現實生活中“大于的角或按不同方向旋轉而成的角”的例子,這些說明了什么問題又該如何區分和表示這些角呢展示課件如自行車車輪、螺絲扳手等按不同方向旋轉時成不同的角,這些都說明了我們研究推廣角概念的必要性為了區別起見，我們規定按逆時針方向旋轉所形成的角叫正角POSITIVEANGLE,按順時針方向旋轉所形成的角叫負角NEGATIVEANGLE如果一條射線沒有做任何旋轉,我們稱它形成了一個零角ZEROANGLE展示課件如教材圖1131中的角是一個正角,它等于；圖1132中，正角750，負角；這樣，我們就把角的概念推廣到了任意角（ANY210150,6ANGLE）,包括正角、負角和零角為了簡單起見，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可簡記為3在今后的學習中，我們常在直角坐標系內討論角，為此我們必須了解象限角這個概念角的頂點與原點重合，角的始邊與軸的非負半軸重合。那么，角的終邊（除端點外）X在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角QUADRANTANGLE如教材圖114中的角、30角分別是第一象限角和第三象限角要特別注意如果角的終邊在坐標軸上,就認為這210個角不屬于任何一個象限,稱為非象限角4展示投影練習1口答銳角是第幾象限角第一象限角一定是銳角嗎再分別就直角、鈍角來回答這兩個問題2回答今天是星期三那么天后的那一天是星期幾天前的那7KZ7KZ一天是星期幾100天后的那一天是星期幾5探究將角按上述方法放在直角坐標系中后,給定一個角,就有唯一的一條終邊與之對應反之,對于直角坐標系中任意一條射線如圖115,以它為終邊的角是否唯一如OB果不惟一,那么終邊相同的角有什么關系請結合42口答加以分析展示課件不難發現,在教材圖115中,如果的終邊是,那么32OB角的終邊都是,而,3289328160932160設,則角都是的元素,角也是|3260SKZ,S的元素因此,所有與角終邊相同的角,連同角在內,都是集合的元素；反過32來，集合的任一元素顯然與角終邊相同一般地,我們有所有與角終邊相同的角,連同角在內,可構成一個集合,即任一與角終邊相同的角,都可以表示成角與整數個|360,SKZ周角的和6展示投影例題講評例1例1在范圍內，找出與角終邊相同的角，并判定它是第幾95012象限角（注是指）036036例2寫出終邊在軸上的角的集合Y例3寫出終邊直線在上的角的集合,并把中適合不等式XS360的元素寫出來7207展示投影練習教材第3、4、5題6P注意（1）；（2）是任意角（正角、負角、零角）；（3）終邊相同的角不KZ一定相等；但相等的角，終邊一定相同；終邊相同的角有無數多個，它們相差的整數60倍8學習小結1你知道角是如何推廣的嗎2象限角是如何定義的呢3你熟練掌握具有相同終邊角的表示了嗎會寫終邊落在軸、軸、直XY線上的角的集合YX五、評價設計1作業習題11A組第1,2,3題2多舉出一些日常生活中的“大于的角和負角”的例子，熟練掌握他們的表示，360進一步理解具有相同終邊的角的特點112弧度制一、教學目標1、知識與技能（1）理解并掌握弧度制的定義；（2）領會弧度制定義的合理性；（3）掌握并運用弧度制表示的弧長公式、扇形面積公式；（4）熟練地進行角度制與弧度制的換算；（5）角的集合與實數集之間建立的一一對應關系6使學生通過弧度制的學習，理解并認識到R角度制與弧度制都是對角度量的方法，二者是辨證統一的，而不是孤立、割裂的關系2、過程與方法創設情境,引入弧度制度量角的大小,通過探究理解并掌握弧度制的定義,領會定義的合理性根據弧度制的定義推導并運用弧長公式和扇形面積公式以具體的實例學習角度制與弧度制的互化,能正確使用計算器3、情態與價值通過本節的學習，使同學們掌握另一種度量角的單位制弧度制，理解并認識到角度制與弧度制都是對角度量的方法，二者是辨證統一的，而不是孤立、割裂的關系角的概念推廣以后,在弧度制下,角的集合與實數集之間建立了一一對應關系即每一個角都有R唯一的一個實數即這個角的弧度數與它對應；反過來，每一個實數也都有唯一的一個角（即弧度數等于這個實數的角）與它對應，為下一節學習三角函數做好準備二、教學重、難點重點理解并掌握弧度制定義；熟練地進行角度制與弧度制地互化換算；弧度制的運用難點理解弧度制定義，弧度制的運用三、學法與教學用具在我們所掌握的知識中，知道角的度量是用角度制，但是為了以后的學習，我們引入了弧度制的概念，我們一定要準確理解弧度制的定義，在理解定義的基礎上熟練掌握角度制與弧度制的互化教學用具計算器、投影機、三角板四、教學設想【創設情境】有人問?？诘饺齺営卸噙h時，有人回答約250公里，但也有人回答約160英里，請問那一種回答是正確的（已知1英里16公里）顯然，兩種回答都是正確的，但為什么會有不同的數值呢那是因為所采用的度量制不同，一個是公里制，一個是英里制他們的長度單位是不同的，但是，他們之間可以換算1英里16公里在角度的度量里面，也有類似的情況，一個是角度制，我們已經不再陌生,另外一個就是我們這節課要研究的角的另外一種度量制弧度制【探究新知】1角度制規定將一個圓周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等弧度制是什么呢1弧度是什么意思一周是多少弧度半周呢直角等于多少弧度弧度制與角度制之間如何換算請看課本，自行解決上述問題67P2弧度制的定義展示投影長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度角，記作1，或1弧RAD度，或1單位可以省略不寫3探究如圖,半徑為的圓的圓心與原點重合,角的終邊與軸的正半軸重合,交圓RX于點,終邊與圓交于點請完成表格AB弧的長B旋轉的方向O的弧度數AO的度數ABR逆時針方向2逆時針方向120180我們知道，角有正負零角之分，它的弧度數也應該有正負零之分，如，2等等，YXAOB一般地,正角的弧度數是一個正數，負角的弧度數是一個負數，零角的弧度數是0,角的正負主要由角的旋轉方向來決定4思考如果一個半徑為的圓的圓心角所對的弧長是,那么的弧度數是多少RLA角的弧度數的絕對值是，其中，L是圓心角所對的弧長，是半徑R5根據探究中填空180RAD,度1_RAD1_顯然,我們可以由此角度與弧度的換算了6例題講解例1按照下列要求,把化成弧度67301精確值；2精確到0001的近似值例2將314換算成角度用度數表示,精確到0001RAD注意角度制與弧度制的換算主要抓住,另外注意計算器計算非特殊角的180RAD方法7填寫特殊角的度數與弧度數的對應表度03452120120弧度33角的概念推廣以后,在弧度制下,角的集合與實數集之間建立了一一對應關系即每R一個角都有唯一的一個實數即這個角的弧度數與它對應；反過來，每一個實數也都有唯一的一個角（即弧度數等于這個實數的角）與它對應8例題講評例3利用弧度制證明下列關于扇形的公式123LR21SR12SLR其中是半徑,是弧長,為圓心角,是扇形的面積L0例4利用計算器比較和的大小SIN15I8注意弧度制定義的理解與應用,以及角度與弧度的區別9練習教材10P9學習小結1你知道角弧度制是怎樣規定的嗎2弧度制與角度制有何不同,你能熟練做到它們相互間的轉化嗎五、評價設計1作業習題11A組第7,8,9題2要熟練掌握弧度制與角度制間的換算,以及異同能夠使用計算器求某角的各三角函數值121任意角的三角函數一一、教學目標1、知識與技能（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數的定義域和函數值在各象限的符號）；（2）理解任意角的三角函數不同的定義方法；（3）了解如何利用與單位圓有關的有向線段，將任意角的正弦、余弦、正切函數值分別用正弦線、余弦線、正切線表示出來；（4）掌握并能初步運用公式一；（5）樹立映射觀點，正確理解三角函數是以實數為自變量的函數2、過程與方法初中學過銳角三角函數就是以銳角為自變量,以比值為函數值的函數引導學生把這個定義推廣到任意角,通過單位圓和角的終邊,探討任意角的三角函數值的求法,最終得到任意角三角函數的定義根據角終邊所在位置不同,分別探討各三角函數的定義域以及這三種函數的值在各象限的符號最后主要是借助有向線段進一步認識三角函數講解例題，總結方法，鞏固練習3、情態與價值任意角的三角函數可以有不同的定義方法，而且各種定義都有自己的特點過去習慣于用角的終邊上點的坐標的“比值”來定義，這種定義方法能夠表現出從銳角三角函數到任意角的三角函數的推廣，有利于引導學生從自己已有認知基礎出發學習三角函數，但它對準確把握三角函數的本質有一定的不利影響，“從角的集合到比值的集合”的對應關系與學生熟悉的一般函數概念中的“數集到數集”的對應關系有沖突，而且“比值”需要通過運算才能得到，這與函數值是一個確定的實數也有不同，這些都會影響學生對三角函數概念的理解本節利用單位圓上點的坐標定義任意角的正弦函數、余弦函數這個定義清楚地表明了正弦、余弦函數中從自變量到函數值之間的對應關系，也表明了這兩個函數之間的關系二、教學重、難點重點任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數的定義域和函數值在各象限的符號）；終邊相同的角的同一三角函數值相等（公式一）難點任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數的定義域和函數值在各象限的符號）；三角函數線的正確理解三、學法與教學用具任意角的三角函數可以有不同的定義方法，本節利用單位圓上點的坐標定義任意角的正弦函數、余弦函數表明了正弦、余弦函數中從自變量到函數值之間的對應關系，也表明了這兩個函數之間的關系另外，這樣的定義使得三角函數所反映的數與形的關系更加直接，數形結合更加緊密，這就為后續內容的學習帶來方便，也使三角函數更加好用了教學用具投影機、三角板、圓規、計算器四、教學設想第一課時任意角的三角函數（一）【創設情境】提問銳角O的正弦、余弦、正切怎樣表示借助右圖直角三角形，復習回顧引入銳角三角函數就是以銳角為自變量，以比值為函數值的函數。數,你能用直角坐標系中角的終邊上點的坐標來表示銳角三角函數嗎如圖,設銳角的頂點與原點重合,始邊與軸的正半軸重合,那X么它的終邊在第一象限在的終邊上任取一點,它與原點的距離過作PAB20RABP軸的垂線,垂足為,則線段的長度為,線XMOA段的長度為則SINRCOSOAPRTB思考對于確定的角，這三個比值是否會隨點在的終邊上的位置的改變而改變呢顯然，我們可以將點取在使線段的長OP的特殊位置上，這樣就可以得到用直角坐標系內的點的坐標表示銳角三角函數1RSINMBOPCOSATNMPBA思考上述銳角的三角函數值可以用終邊上一點的坐標表示那么,角的概念推廣以后，我們應該如何對初中的三角函數的定義進行修改，以利推廣到任意角呢本節課就研究這個問題任意角的三角函數【探究新知】1探究結合上述銳角的三角函數值的求法,我們應如何求解任意角的三角函數值呢顯然,我們只需在角的終邊上找到一個點,使這個點到原點的距離為1,然后就可以類似銳角求得該角的三角函數值了所以,我們在此引入單位圓的定義在直角坐標系中,我們稱以原點為圓心,以單位長度為半徑的圓O2思考如何利用單位圓定義任意角的三角函數的定義如圖,設是一個任意角,它的終邊與單位圓交于點,那么PXY1叫做的正弦SINE,記做,即；YSINI（2）叫做的余弦COSSINE,記做,即；XCOS（3）叫做的正切TANGENT,記做,即TAT0YX注意當是銳角時，此定義與初中定義相同（指出對邊，鄰邊，斜邊所在）；當不是銳角時，也能夠找出三角函數，因為，既然有角，就必然有終邊，終邊就必然與單位圓有交點，從而就必然能夠最終算出三角函數值,PXY3思考如果知道角終邊上一點,而這個點不是終邊與單位圓的交點,該如何求它的三角函數值呢前面我們已經知道,三角函數的值與點在終邊上的位置無關，僅與角的大小有關我PYP（A，B）ROMA的終邊PX,YOXY們只需計算點到原點的距離,那么,2RXY2SINYX2COSXY所以，三角函數是以為自變量,以單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數值的TANYX函數，又因為角的集合與實數集之間可以建立一一對應關系，故三角函數也可以看成實數為自變量的函數4例題講評例1求的正弦、余弦和正切值53例2已知角的終邊過點，求角的正弦、余弦和正切值03,4P教材給出這兩個例題，主要是幫助理解任意角的三角函數定義我也可以嘗試其他方法如例2設則3,XY25R于是,4SIN53COSX4TAN3YX5鞏固練習第1,2,3題17P6探究請根據任意角的三角函數定義,將正弦、余弦和正切函數的定義域填入下表；再將這三種函數的值在各個象限的符號填入表格中定義域三角函數角度制弧度制第一象限第二象限第三象限第四象限SINCOTA7例題講評例3求證當且僅當不等式組成立時，角為第三象限角SIN0TA8思考根據三角函數的定義,終邊相同的角的同一三角函數值有和關系顯然終邊相同的角的同一三角函數值相等即有公式一SIN2SINK其中COCOKZTATAK9例題講評例4確定下列三角函數值的符號,然后用計算器驗證1234COS250SIN4TAN672TAN3例5求下列三角函數值123SIN1489COS1TA6利用公式一,可以把求任意角的三角函數值,轉化為求到或到角的三02360角函數值另外可以直接利用計算器求三角函數值,但要注意角度制的問題10鞏固練習第4,5,6,7題17P11學習小結1本章的三角函數定義與初中時的定義有何異同2你能準確判斷三角函數值在各象限內的符號嗎3請寫出各三角函數的定義域；4終邊相同的角的同一三角函數值有什么關系你在解題時會準確熟練應用公式一嗎五、評價設計1作業習題12A組第1,2題2比較角概念推廣以后,三角函數定義的變化思考公式一的本質是什么要做到熟練應用另外,關于三角函數值在各象限的符號要熟練掌握,知道推導方法第二課時任意角的三角函數（二）【復習回顧】1、三角函數的定義；2、三角函數在各象限角的符號；3、三角函數在軸上角的值；4、誘導公式（一）終邊相同的角的同一三角函數的值相等；5、三角函數的定義域要求記憶并指出，三角函數沒有定義的地方一定是在軸上角，所以，凡是碰到軸上角時，要結合定義進行分析；并要求在理解的基礎上記憶【探究新知】1引入角是一個圖形概念，也是一個數量概念（弧度數）作為角的函數三角函數是一個數量概念（比值），但它是否也是一個圖形概念呢換句話說，能否用幾何方式來表示三角函數呢2邊描述邊畫以坐標原點為圓心，以單位長度1為半徑畫一個圓，這個圓就叫做單位圓（注意這個單位長度不一定就是1厘米或1米）當角為第一象限角時，則其終邊與單位圓必有一個交點，過點作軸交軸于點,PXYPMX，則請你觀察M根據三角函數的定義；|SIN|Y|COS|OXOXYA角的終邊PTMA隨著在第一象限內轉動，、是否也跟著變化MPO3思考（1）為了去掉上述等式中的絕對值符號，能否給線段、規定一個MPO適當的方向，使它們的取值與點的坐標一致（2）你能借助單位圓，找到一條如、一樣的線段來表示角的正切值嗎我們知道，指標坐標系內點的坐標與坐標軸的方向有關當角的終邊不在坐標軸時,以為始點、為終點，規定O當線段與軸同向時，的方向為正向，且有正值；當線段與軸反XOXX向時，的方向為負向，且有正值；其中為點的橫坐標這樣,無論那種情況都有MXPCOSM同理,當角的終邊不在軸上時,以為始點、為終點，規定當線段與軸同向時，的方向為正向，且有正值；當線段與軸反向PYYMPY時，的方向為負向，且有正值；其中為點的橫坐標這樣,無論那種情況都有YSINP4像這種被看作帶有方向的線段，叫做有向線段（DIRECTLINESEGMENT）MO、5如何用有向線段來表示角的正切呢如上圖,過點作單位圓的切線,這條切線必然平行于軸,設它與的終邊交于點10A,請根據正切函數的定義與相似三角形的知識,借助有向線段,我們有TOAT、TANYTX我們把這三條與單位圓有關的有向線段,分別叫做角的正弦線、余MP、弦線、正切線，統稱為三角函數線6探究（1）當角的終邊在第二、第三、第四象限時，你能分別作出它們的正弦線、余弦線和正切線嗎（2）當的終邊與軸或軸重合時，又是怎樣的情形呢XY7例題講解例1已知，試比較的大小42,TANSI,CO處理師生共同分析解答,目的體會三角函數線的用處和實質8練習第1,2,3,4題19P9學習小結1了解有向線段的概念2了解如何利用與單位圓有關的有向線段，將任意角的正弦、余弦、正切函數值分別用正弦線、余弦線、正切線表示出來3體會三角函數線的簡單應用【評價設計】1作業比較下列各三角函數值的大小不能使用計算器1、（2）、（3）、SIN5TA1COS1508CS215TAN2練習三角函數線的作圖122同角三角函數的基本關系一、教學目標1、知識與技能1使學生掌握同角三角函數的基本關系；2已知某角的一個三角函數值，求它的其余各三角函數值；3利用同角三角函數關系式化簡三角函數式；4利用同角三角函數關系式證明三角恒等式；（5）牢固掌握同角三角函數的三個關系式并能靈活運用于解題，提高學生分析，解決三角問題的能力；（6）靈活運用同角三角函數關系式的不同變形，提高三角恒等變形的能力，進一步樹立化歸思想方法；（7）掌握恒等式證明的一般方法2、過程與方法由圓的幾何性質出發,利用三角函數線,探究同一個角的不同三角函數之間的關系；學習已知一個三角函數值，求它的其余各三角函數值；利用同角三角函數關系式化簡三角函數式；利用同角三角函數關系式證明三角恒等式等通過例題講解，總結方法通過做練習,鞏固所學知識3、情態與價值通過本節的學習，牢固掌握同角三角函數的三個關系式并能靈活運用于解題，提高學生分析，解決三角問題的能力；進一步樹立化歸思想方法和證明三角恒等式的一般方法二、教學重、難點重點公式及的推導及運用（1）已知某任意角1COSSIN22TANCSI的正弦、余弦、正切值中的一個，求其余兩個；（2）化簡三角函數式；（3）證明簡單的三角恒等式難點根據角終邊所在象限求出其三角函數值；選擇適當的方法證明三角恒等式三、學法與教學用具利用三角函數線的定義,推導同角三角函數的基本關系式及1COSSIN22,并靈活應用求三角函數值,化減三角函數式,證明三角恒等式等TANCOSI教學用具圓規、三角板、投影四、教學設想【創設情境】與初中學習銳角三角函數一樣，本節課我們來研究同角三角函數之間關系，弄清同角各不同三角函數之間的聯系，實現不同函數值之間的互相轉化【探究新知】1探究三角函數是以單位圓上點的坐標來定義的,你能從圓的幾何性質出發,討論一下同一個角不同三角函數之間的關系嗎如圖以正弦線,余弦線和半徑三者的長構MPOP成直角三角形,而且由勾股定理由,121M因此,即2XY22SINCOS根據三角函數的定義,當時,有AKZSINTACO這就是說,同一個角的正弦、余弦的平方等于1，商等于角的正切2例題講評例6已知,求的值3SIN5COS,TAN三者知一求二,熟練掌握I,COTA3鞏固練習頁第1,2,3題23P4例題講評例7求證COS1INISX通過本例題,總結證明一個三角恒等式的方法步驟5鞏固練習頁第4,5題23P6學習小結（1）同角三角函數的關系式的前提是“同角”，因此，1COSSIN22COSINTA（2）利用平方關系時，往往要開方，因此要先根據角所在象限確定符號，即要就角所在象限進行分類討論五、評價設計1作業習題12A組第10,13題2熟練掌握記憶同角三角函數的關系式,試將關系式變形等,得到其他幾個常用的關系式注意三角恒等式的證明方法與步驟OXYPM1A1,0第二章平面向量本章內容介紹向量這一概念是由物理學和工程技術抽象出來的，是近代數學中重要和基本的數學概念之一，有深刻的幾何背景，是解決幾何問題的有力工具向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可轉化為向量的加（減）法、數乘向量、數量積運算，從而把圖形的基本性質轉化為向量的運算體系向量是溝通代數、幾何與三角函數的一種工具，有著極其豐富的實際背景在本章中，學生將了解向量豐富的實際背景，理解平面向量及其運算的意義，學習平面向量的線性運算、平面向量的基本定理及坐標表示、平面向量的數量積、平面向量應用五部分內容能用向量語言和方法表述和解決數學和物理中的一些問題本節從物理上的力和位移出發，抽象出向量的概念，并說明了向量與數量的區別，然后介紹了向量的一些基本概念（讓學生對整章有個初步的、全面的了解）第1課時21平面向量的實際背景及基本概念教學目標1了解向量的實際背景，理解平面向量的概念和向量的幾何表示；掌握向量的模、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量等概念；并會區分平行向量、相等向量和共線向量2通過對向量的學習，使學生初步認識現實生活中的向量和數量的本質區別3通過學生對向量與數量的識別能力的訓練，培養學生認識客觀事物的數學本質的能力教學重點理解并掌握向量、零向量、單位向量、相等向量、共線向量的概念，會表示向量教學難點平行向量、相等向量和共線向量的區別和聯系學法本節是本章的入門課，概念較多，但難度不大學生可根據在原有的位移、力等物理概念來學習向量的概念，結合圖形實物區分平行向量、相等向量、共線向量等概念教具多媒體或實物投影儀，尺規授課類型新授課教學思路一、情景設置如圖，老鼠由A向西北逃竄，貓在B處向東追去，設問貓能否追到老鼠（畫圖）結論貓的速度再快也沒用，因為方向錯了分析老鼠逃竄的路線AC、貓追逐的路線BD實際上都是有方向、有長短的量引言請同學指出哪些量既有大小又有方向哪些量只有大小沒有方向二、新課學習ABCD（一）向量的概念我們把既有大小又有方向的量叫向量（二）請同學閱讀課本后回答（可制作成幻燈片）1、數量與向量有何區別2、如何表示向量3、有向線段和線段有何區別和聯系分別可以表示向量的什么4、長度為零的向量叫什么向量長度為1的向量叫什么向量5、滿足什么條件的兩個向量是相等向量單位向量是相等向量嗎6、有一組向量，它們的方向相同或相反，這組向量有什么關系7、如果把一組平行向量的起點全部移到一點O，這是它們是不是平行向量這時各向量的終點之間有什么關系（三）探究學習1、數量與向量的區別數量只有大小，是一個代數量，可以進行代數運算、比較大??；向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小2向量的表示方法用有向線段表示；用字母、（黑體，印刷用）等表示；用有向線段的起點與終點字母；AB向量的大小長度稱為向量的模，記作|AB3有向線段具有方向的線段就叫做有向線段，三個要素起點、方向、長度向量與有向線段的區別（1）向量只有大小和方向兩個要素，與起點無關，只要大小和方向相同，則這兩個向量就是相同的向量；（2）有向線段有起點、大小和方向三個要素，起點不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線段4、零向量、單位向量概念長度為0的向量叫零向量，記作00的方向是任意的注意0與0的含義與書寫區別長度為1個單位長度的向量，叫單位向量說明零向量、單位向量的定義都只是限制了大小5、平行向量定義方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我們規定0與任一向量平行A起點B（終點）A說明（1）綜合、才是平行向量的完整定義；（2）向量、平行，記作6、相等向量定義長度相等且方向相同的向量叫相等向量說明（1）向量與相等，記作；（2）零向量與零向量相等；（3）任意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點無關7、共線向量與平行向量關系平行向量就是共線向量，這是因為任一組平行向量都可移到同一直線上（與有向線段的起點無關）說明（1）平行向量可以在同一直線上，要區別于兩平行線的位置關系；（2）共線向量可以相互平行，要區別于在同一直線上的線段的位置關系（四）理解和鞏固例1書本86頁例1例2判斷（1）平行向量是否一定方向相同（不一定）（2）不相等的向量是否一定不平行（不一定）（3）與零向量相等的向量必定是什么向量（零向量）（4）與任意向量都平行的向量是什么向量（零向量）（5）若兩個向量在同一直線上，則這兩個向量一定是什么向量（平行向量）（6）兩個非零向量相等的當且僅當什么（長度相等且方向相同）（7）共線向量一定在同一直線上嗎（不一定）例3下列命題正確的是（）A與共線，與共線，則與C也共線B任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一平行四邊形的四頂點C向量與不共線，則與都是非零向量D有相同起點的兩個非零向量不平行解由于零向量與任一向量都共線，所以A不正確；由于數學中研究的向量是自由向量，所以兩個相等的非零向量可以在同一直線上，而此時就構不成四邊形，根本不可能是一個平行四邊形的四個頂點，所以B不正確；向量的平行只要方向相同或相反即可，與起點是否相同無關，所以不正確；對于C，其條件以否定形式給出，所以可從其逆否命題來入手考慮，假若與不都是非零向量，即與至少有一個是零向量，而由零向量與任一向量都共線，可有與共線，不符合已知條件，所以有與都是非零向量，所以應選C例4如圖，設O是正六邊形ABCDEF的中心，分別寫出圖中與向量、OAB相等的向量OC變式一與向量長度相等的向量有多少個（11個）變式二是否存在與向量長度相等、方向相反的向量（存在）變式三與向量共線的向量有哪些（）FEDOCB,課堂練習1判斷下列命題是否正確，若不正確，請簡述理由向量與是共線向量，則A、B、C、D四點必在一直線上；ABCD單位向量都相等；任一向量與它的相反向量不相等；四邊形ABCD是平行四邊形當且僅當一個向量方向不確定當且僅當模為0；共線的向量，若起點不同，則終點一定不同解不正確共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求兩個向量、在同一直線上ABC不正確單位向量模均相等且為1，但方向并不確定不正確零向量的相反向量仍是零向量，但零向量與零向量是相等的、正確不正確如圖與共線，雖起點不同，但其終點卻相同2書本88頁練習三、小結1、描述向量的兩個指標模和方向2、平行向量不是平面幾何中的平行線段的簡單類比3、向量的圖示，要標上箭頭和始點、終點四、課后作業書本88頁習題21第3、5題第2課時221向量的加法運算及其幾何意義教學目標1、掌握向量的加法運算，并理解其幾何意義；2、會用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個向量的和向量，培養數形結合解決問題的能力；3、通過將向量運算與熟悉的數的運算進行類比，使學生掌握向量加法運算的交換律和結合律，并會用它們進行向量計算，滲透類比的數學方法；教學重點會用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個向量的和向量教學難點理解向量加法的定義學法數能進行運算，向量是否也能進行運算呢數的加法啟發我們，從運算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法借助于物理中位移的合成、力的合成來理解向量的加法，讓學生順理成章接受向量的加法定義結合圖形掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則聯系數的運算律理解和掌握向量加法運算的交換律和結合律教具多媒體或實物投影儀，尺規授課類型新授課教學思路一、設置情景1、復習向量的定義以及有關概念強調向量是既有大小又有方向的量長度相等、方向相同的向量相等因此，我們研究的向量是與起點無關的自由向量，即任何向量可以在不改變它的方向和大小的前提下，移到任何位置2、情景設置（1）某人從A到B，再從B按原方向到C，則兩次的位移和A（2）若上題改為從A到B，再從B按反方向到C，則兩次的位移和（3）某車從A到B，再從B改變方向到C，則兩次的位移和A（4）船速為，水速為，則兩速度和ACB二、探索研究、向量的加法求兩個向量和的運算，叫做向量的加法、三角形法則（“首尾相接，首尾連”）如圖，已知向量A、在平面內任取一點，作A，則向量叫做ABCAA與的和，記作A，即A，規定A00ACABCCABABCABCAOABAAABBB探究（1）兩相向量的和仍是一個向量；（2）當向量與不共線時，的方向不同向，且|ABAB|，則的方向與相同，且|；若|0時與方向相同；0內分外分0，AB|A|B|COS，AB|A|B|COS，AB|A|B|COS，若0，AB|A|B|COS|A|B|COS|A|B|COS，AB|A|B|COS，AB|A|B|COS|A|B|COS|A|B|COS3分配律ABCACBC在平面內取一點O，作A，B，C，AB（即）在C方向上的ABOCOB投影等于A、B在C方向上的投影和，即|AB|COS|A|COS1|B|COS2|C|AB|COS|C|A|COS1|C|B|COS2，CABCACB即ABCACBC說明（1）一般地，（）（2），0（3）有如下常用性質，（）（）三、講解范例例1已知A、B都是非零向量，且A3B與7A5B垂直，A4B與7A2B垂直，求A與B的夾角解由A3B7A5B07A216AB15B20A4B7A2B07A230AB8B20兩式相減2ABB2代入或得A2B2設A、B的夾角為，則COS6021|BA例2求證平行四邊形兩條對角線平方和等于四條邊的平方和解如圖平行四邊形ABCD中，DCABBACD|2ACADBADB2|2而，|22|2|2|22ACBDA222|ADCB例3四邊形ABCD中，且，試問四邊形ABCD是什么圖形分析四邊形的形狀由邊角關系確定，關鍵是由題設條件演變、推算該四邊形的邊角量解四邊形ABCD是矩形，這是因為一方面0，（），（）即由于，同理有由可得，且即四邊形ABCD兩組對邊分別相等四邊形ABCD是平行四邊形另一方面，由，有（），而由平行四邊形ABCD可得，代入上式得2，即，也即ABBC綜上所述，四邊形ABCD是矩形評述1在四邊形中，是順次首尾相接向量，則其和向量是ABCDA零向量，即0，應注意這一隱含條件應用；2由已知條件產生數量積的關鍵是構造數量積，因為數量積的定義式中含有邊、角兩種關系四、課堂練習1下列敘述不正確的是（）A向量的數量積滿足交換律B向量的數量積滿足分配律C向量的數量積滿足結合律DAB是一個實數2已知|A|6，|B|4，A與B的夾角為，則A2BA3B等于（）A72B72C36D363|A|3，|B|4，向量AB與AB的位置關系為（）43A平行B垂直C夾角為D不平行也不垂直34已知|A|3，|B|4，且A與B的夾角為150，則AB5已知|A|2，|B|5，AB3，則|AB|_，|AB|6設|A|3，|B|5，且AB與AB垂直，則五、小結（略）六、課后作業（略）七、板書設計（略）八、課后記第9課時三、平面向量數量積的坐標表示、模、夾角教學目的要求學生掌握平面向量數量積的坐標表示掌握向量垂直的坐標表示的充要條件，及平面內兩點間的距離公式能用所學知識解決有關綜合問題教學重點平面向量數量積的坐標表示教學難點平面向量數量積的坐標表示的綜合運用授課類型新授課教具多媒體、實物投影儀教學過程一、復習引入1兩個非零向量夾角的概念已知非零向量與，作，則（）叫與的OAB夾角2平面向量數量積（內積）的定義已知兩個非零向量與，它們的夾角是，則數量|A|B|COS叫與的數量積，記作AB，即有AB|A|B|COS，（）并規定0與任何向量的數量積為03向量的數量積的幾何意義數量積AB等于A的長度與B在A方向上投影|B|COS的乘積4兩個向量的數量積的性質設A、B為兩個非零向量，E是與B同向的單位向量1EAAE|A|COS；2ABAB03當A與B同向時，AB|A|B|；當A與B反向時，AB|A|B|特別的AA|A|2或CA|4COS；5|AB|A|B|5平面向量數量積的運算律交換律ABBA數乘結合律ABABAB分配律ABCACBC二、講解新課平面兩向量數量積的坐標表示已知兩個非零向量，試用和的坐標表示,1YXA,2YXBABBA設是軸上的單位向量，是軸上的單位向量，那么，IXJJYIX1JYIX2所以21JYIXJIBA2122121JJIJIYXI又，所以IJ0IJIBAY這就是說兩個向量的數量積等于它們對應坐標的乘積的和即BA21YX2平面內兩點間的距離公式八、設，則或,YXA22|YXA2|YXA（2）如果表示向量的有向線段的起點和終點的坐標分別為、，那么,1,2YX平面內兩點間的距離公式2121|YXA九、向量垂直的判定設，則,1,2XBBA021YX十、兩向量夾角的余弦（）0COS221YX|BA十一、講解范例十二、設A5，7，B6，4，求AB及A、B間的夾角精確到1O例2已知A1，2，B2，3，C2，5，試判斷ABC的形狀，并給出證明例3已知A3，1，B1，2，求滿足XA9與XB4的向量X解設XT，S，由X2，3429349STB32ST例4已知A（，），B（，），則A與B的夾角是多少分析為求A與B夾角，需先求AB及AB，再結合夾角的范圍確定其值解由A（，），B（，）33有AB（），A，B2記A與B的夾角為，則2又，4評述已知三角形函數值求角時，應注重角的范圍的確定例5如圖，以原點和A5，2為頂點作等腰直角OAB，使B90，求點B和向量的坐標AB解設B點坐標X，Y，則X，Y，X5，Y2OAXX5YY20即X2Y25X2Y0O又|X2Y2X52Y22即10X4Y29A由273294100512YYYX或B點坐標或；或3,77,AB,33,例6在ABC中，2，3，1，K，且ABC的一個內角為直角，C求K值解當A90時，0，213K0K23BAC當B90時，0，12，K31，K3AB213K30K31當C90時，0，1KK30KABC213十三、課堂練習1若A4，3，B5，6，則3|A|AB（）A23B57C63D832已知A1，2，B2，3，C2，5，則ABC為（）A直角三角形B銳角三角形C鈍角三角形D不等邊三角形3已知A4，3，向量B是垂直A的單位向量，則B等于（）A或B或54,3,54,3,C或D或,3,4A2，3，B2，4，則ABAB5已知A3，2，B1，1，若點PX，在線段AB的中垂線上，則X216已知A1，0，B3，1，C2，0，且A，B，則A與B的夾角為BCA十四、小結（略）十五、課后作業（略）十六、板書設計（略）十七、課后記第12課時復習課一、教學目標1理解向量零向量向量的模單位向量平行向量反向量相等向量兩向量的夾角等概念。2了解平面向量基本定理3向量的加法的平行四邊形法則（共起點）和三角形法則（首尾相接）。4了解向量形式的三角形不等式|試問取等號的條ABAB件是什么和向量形式的平行四邊形定理2|2225了解實數與向量的乘法（即數乘的意義）6向量的坐標概念和坐標表示法7向量的坐標運算（加減實數和向量的乘法數量積）8數量積（點乘或內積）的概念，|COSXXYY注意區別“實數與AB12向量的乘法；向量與向量的乘法”二、知識與方法向量知識，向量觀點在數學物理等學科的很多分支有著廣泛的應用，而它具有代數形式和幾何形式的“雙重身份”能融數形于一體，能與中學數學教學內容的許多主干知識綜合，形成知識交匯點，所以高考中應引起足夠的重視數量積的主要應用求模長；求夾角；判垂直三、典型例題例1對于任意非零向量與，求證ABABABB證明1兩個非零向量與不共線時，的方向與，的方向都不同，并且AB3兩個非零向量與共線時，與同向，則的方向與相同且AABABABA與異向時，則的方向與模較大的向量方向相同，設B|，則|同理可證另一種情況也成立。AB例2已知O為ABC內部一點，AOB150，BOC90，設，OAABB，CC且|2，|1，|3，用與表示ABCABCIJ解如圖建立平面直角坐標系XOY，其中,是單位正交基底向量,則B（0，1），C（3，0），設A（X，Y），則條件知X2COS15090,Y2SIN15090，即A（1，），3也就是,，3所以33|即33AI3JBCIA3BCAB例3下面5個命題|，則A22CA0，則|0，則或，其中真命題是（BC0）ABCD四、鞏固訓練1下面5個命題中正確的有（）；（）ABCACBABC；（）（）；BA2ABCD2下列命題中，正確命題的個數為（A）若與是非零向量，且與共線時，則與必與或中之一方向相同；若ABABAB為單位向量，且則|若與共線，與共線，則EE3ABC與共線；若平面內四點ABCD，必有CCBDAA1B2C3D43下列5個命題中正確的是對于實數P,Q和向量,若PQ則PQ對于向量與，若|則對AABAB于兩個單位向量與，若|2則對于兩個單位向量與，若K，則BABAB4已知四邊形ABCD的頂點分別為A2,1，B5,4，C2,7，D1,4,求證四邊形ABCD為正方形。第三章三角恒等變換一、課標要求本章學習的主要內容是兩角和與差的正弦、余弦、和正切公式，以及運用這些公式進行簡單的恒等變換三角恒等變換位于三角函數與數學變換的結合點上通過本章學習，要使學生在學習三角恒等變換的基本思想和方法的過程中，發展推理能力和運算能力，使學生體會三角恒等變換的工具性作用，學會它們在數學中的一些應用1了解用向量的數量積推導出兩角差的余弦公式的過程，進一步體會向量方法的作用；2理解以兩角差的余弦公式導出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內在聯系；3運用上述公式進行簡單的恒等變換，以引導學生推導半角公式，積化和差、和差化積公式（不要求記憶）作為基本訓練，使學生進一步提高運用轉化的觀點去處理問題的自覺性，體會一般與特殊的思想，換元的思想，方程的思想等數學思想在三角恒等變換中的應用二、編寫意圖與特色1本章的內容分為兩節“兩角和與差的正弦、余弦和正切公式”，“簡單的三角恒等變換”，在學習本章之前我們學習了向量的相關知識，因此作者的意圖是選擇兩角差的余弦公式作為基礎，運用向量的知識來予以證明，降低了難度，使學生容易接受；2本章是以兩角差的余弦公式作為基礎來推導其它的公式；3本章在內容的安排上有明暗兩條線，明線是建立公式，學會變換，暗線是發展推理和運算的能力，因此在本章全部內容的安排上，特別注意恰時恰點的提出問題，引導學生用對比、聯系、化歸的觀點去分析、處理問題，強化運用數學思想方法指導設計變