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問規定日期為幾天9兩根同樣長的蠟燭，點完一根粗蠟燭要2小時，而點完一根細蠟燭要1小時，一天晚上停電，小芳同時點燃了這兩根蠟燭看書，若干分鐘后來點了，小芳將兩支蠟燭同時熄滅，發現粗蠟燭的長是細蠟燭的2倍，問停電多少分鐘二雞兔同籠問題跟知識握握手1、基本概念雞兔同籠問題又稱為置換問題、假設問題，就是把假設錯的那部分置換出來。2、基本思路假設，即假設某種現象存在（甲和乙一樣或者乙和甲一樣）；假設后，發生了和題目條件不同的差，找出這個差是多少；每個事物造成的差是固定的，從而找出出現這個差的原因；再根據這兩個差作適當的調整，消去出現的差。3、基本公式把所有雞假設成兔子雞數（兔腳數總頭數總腳數）（兔腳數雞腳數）把所有兔子假設成雞兔數（總腳數一雞腳數總頭數）（兔腳數一雞腳數）4、關鍵問題找出總量的差與單位量的差。5、解“雞兔同籠問題”的常用方法是“替換法”、“轉換法”、“置換法”等。通常把其中一個未知數暫時當作另一個未知數，然后根據已知條件進行假設性的運算，直到求出結果。【概括起來，解“雞兔同籠問題”的基本公式是】雞數（每只兔腳數雞兔總數實際腳數）（每只兔子腳數每只雞的腳數）兔數雞兔總數雞數小試牛刀1、有若干只雞和兔子，它們共有88個頭，244只腳，問雞、兔各多少只2、蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對翅膀，蟬有6條腿和1對翅膀。現在這三種小蟲共18只，有118條腿和20對翅膀，問每種小蟲各多少只3、每一輛貨車運輸2000只玻璃瓶，運費按到達時完好的瓶子數計算，每只2角，如有破損，破損的不給運費，還要每只賠償1元，結果得到運費3796元，問這次搬運中玻璃瓶破損了幾只4、六年級甲班有50個同學向汶川災區捐款共計2010元，其中捐50元的人有30人，其他同學捐20元或者30元，問捐20元和30元的同學各多少人5、學校組織新年文藝晚會，用作獎品的鉛筆、圓珠筆、鋼筆共232支，共花了300元，其中鉛筆數量是圓珠筆的4倍。已知鉛筆每支06元，圓珠筆每支27元，鋼筆每支63元，問三種筆個多少支6、從甲到乙全長45千米，有上坡路、平路、下坡路，李強上坡速度是每小時3千米，平路上速度是每小時5千米，下坡速度是每小時6千米。從甲到乙，李強走了10小時，從乙到甲李強走了11小時，問甲到乙上坡、平路、下坡路各有多少千米7、有堆硬幣，面值為1分、2分和5分三種，其中1分硬幣是2分硬幣的11倍，已知這堆硬幣的幣值總和是1元，問5分有多少枚8、有50名同學外出游玩，乘電車前往每人12元，乘小巴前往每人4元，乘地鐵前往每人6元，這些同學共有車費110元，問其中乘小巴的共有多少人9、雞與兔共100只,雞的腿數比兔的腿數少28條,問雞與兔各有幾只三數字數位問題1把1至2005這2005個自然數依次寫下來得到一個多位數1234567892005,這個多位數除以9余數是多少2A和B是小于100的兩個非零的不同自然數。求AB分之AB的最小值3已知ABC都是非0自然數,A/2B/4C/16的近似值市64,那么它的準確值是多少4一個三位數的各位數字之和是17其中十位數字比個位數字大1如果把這個三位數的百位數字與個位數字對調,得到一個新的三位數,則新的三位數比原三位數大198,求原數5一個兩位數,在它的前面寫上3,所組成的三位數比原兩位數的7倍多24,求原來的兩位數6把一個兩位數的個位數字與十位數字交換后得到一個新數,它與原數相加,和恰好是某自然數的平方,這個和是多少7一個六位數的末位數字是2,如果把2移到首位,原數就是新數的3倍,求原數答案為857148有一個四位數,個位數字與百位數字的和是12,十位數字與千位數字的和是9,如果個位數字與百位數字互換,千位數字與十位數字互換,新數就比原數增加2376,求原數9有一個兩位數,如果用它去除以個位數字,商為9余數為6,如果用這個兩位數除以個位數字與十位數字之和,則商為5余數為3,求這個兩位數10如果現在是上午的10點21分,那么在經過2879999一共有20個9分鐘之后的時間將是幾點幾分四排列組合問題跟知識握握手1、排列一般地，從個不同的元素中取出個元素，按照一定的順序NMN排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列【根據排列的定義，兩個排列相同，指的是兩個排列的元素完全相同，并且元素的排列順序也相同如果兩個排列中，元素不完全相同，它們是不同的排列；如果兩個排列中，雖然元素完全相同，但元素的排列順序不同，它們也是不同的排列】2、排列的基本問題是計算排列的總個數從個不同的元素中取出個元素的所有排列的個數，叫做從個NMNN不同的元素的排列中取出個元素的排列數，我們把它記做MNP根據排列的定義，做一個元素的排列由個步驟完成步驟從個不同的元素中任取一個元素排在第一位，有種方法；1N步驟從剩下的個元素中任取一個元素排在第二位，有種方211法；步驟從剩下的個元素中任取一個元素排在第個位置，有MNMM種方法；1（）3、【由乘法原理，從個不同元素中取出個元素的排列數是，即，這里，且12NN（）（）（）121MNPN（）（）（）N等號右邊從開始，后面每個因數比前一個因數小，共有個因數相乘。】M4、組合一般地，從個不同元素中取出個元素組成一組不計較組內各元素的次序，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合N【從排列和組合的定義可以知道，排列與元素的順序有關，而組合與順序無關如果兩個組合中的元素完全相同，那么不管元素的順序如何，都是相同的組合，只有當兩個組合中的元素不完全相同時，才是不同的組合】5、從個不同元素中取出個元素的所有組合的個數，叫做從個不同NMNN元素中取出個不同元素的組合數記作。MC6、一般地，求從個不同元素中取出的個元素的排列數可分成以下兩步NNMP第一步從個不同元素中取出個元素組成一組，共有種方法；C第二步將每一個組合中的個元素進行全排列，共有種排法根據乘法原理，得到因此，組合數MNPC1213MNPC（這個公式就是組合數公式小試牛刀1有五對夫婦圍成一圈，使每一對夫婦的夫妻二人動相鄰的排法有（）A768種B32種C24種D2的10次方中2若把英語單詞HELLO的字母寫錯了,則可能出現的錯誤共有A119種B36種C59種D48種3、小新、阿呆等七個同學照像，分別求出在下列條件下有多少種站法（1）七個人排成一排；（2）七個人排成一排，小新必須站在中間（3）七個人排成一排，小新、阿呆必須有一人站在中間（4）七個人排成一排，小新、阿呆必須都站在兩邊（5）七個人排成一排，小新、阿呆都沒有站在邊上（6）七個人戰成兩排，前排三人，后排四人（7）七個人戰成兩排，前排三人，后排四人小新、阿呆不在同一排。4、用1、2、3、4、5、6可以組成多少個沒有重復數字的個位是5的三位數5、用1、2、3、4、5這五個數字可組成多少個比大且百位數字不是的203無重復數字的五位數6、用0到9十個數字組成沒有重復數字的四位數；若將這些四位數按從小到大的順序排列，則5687是第幾個數7、用、這五個數字，不許重復，位數不限，能寫出多少個3的12345倍數8、用1、2、3、4、5、6六張數字卡片，每次取三張卡片組成三位數，一共可以組成多少個不同的偶數9、某管理員忘記了自己小保險柜的密碼數字，只記得是由四個非數碼組成，0且四個數碼之和是，那么確保打開保險柜至少要試幾次910、兩對三胞胎喜相逢，他們圍坐在桌子旁，要求每個人都不與自己的同胞兄妹相鄰，同一位置上坐不同的人算不同的坐法，那么共有多少種不同的坐法11、已知在由甲、乙、丙、丁、戊共5名同學進行的手工制作比賽中，決出了第一至第五名的名次甲、乙兩名參賽者去詢問成績，回答者對甲說“很遺憾，你和乙都未拿到冠軍”對乙說“你當然不會是最差的”從這個回答分析，5人的名次排列共有多少種不同的情況12、名男生，名女生，全體排成一行，問下列情形各有多少種不同的排法451甲不在中間也不在兩端；2甲、乙兩人必須排在兩端；3男、女生分別排在一起；4男女相間一臺晚會上有個演唱節目和個舞蹈節目64求1當個舞蹈節目要排在一起時，有多少不同的安排節目的順序42當要求每個舞蹈節目之間至少安排個演唱節目時，一共有多少不同21的安排節目的順序13、1從1，2，8中任取3個數組成無重復數字的三位數，共有多少個（只要求列式）2從8位候選人中任選三位分別任團支書，組織委員，宣傳委員，共有多少種不同的選法33位同學坐8個座位，每個座位坐1人，共有幾種坐法48個人坐3個座位，每個座位坐1人，共有多少種坐法5一火車站有8股車道，停放3列火車，有多少種不同的停放方法68種不同的菜籽，任選3種種在不同土質的三塊土地上，有多少種不同的種法14、某校舉行男生乒乓球比賽，比賽分成3個階段進行，第一階段將參加比賽的48名選手分成8個小組，每組6人，分別進行單循環賽；第二階段將8個小組產生的前2名共16人再分成個小組，每組人，分別進行單循環賽；44第三階段由4個小組產生的個第名進行場半決賽和場決賽，確定至1221名的名次問整個賽程一共需要進行多少場比賽416、由數字1，2，3組成五位數，要求這五位數中1，2，3至少各出現一次，那么這樣的五位數共有_個。2007年“迎春杯”高年級組決賽17、個人圍成一圈，從中選出兩個不相鄰的人，共有多少種不同選法1018、8個人站隊，冬冬必須站在小悅和阿奇的中間（不一定相鄰），小慧和大智不能相鄰，小光和大亮必須相鄰，滿足要求的站法一共有多少種19、小明有10塊大白兔奶糖,從今天起,每天至少吃一塊那么他一共有多少種不同的吃法20、某池塘中有三只游船，船可乘坐人，船可乘坐人，船可ABC、A3B2C乘坐人，今有個成人和個兒童要分乘這些游船，為安全起見，有兒童乘坐132的游船上必須至少有個成人陪同，那么他們人乘坐這三支游船的所有安全乘5船方法共有多少種21、從名男生，名女生中選出人參加游泳比賽在下列條件下，分別有多1088少種選法1恰有名女生入選；32至少有兩名女生入選；3某兩名女生，某兩名男生必須入選；4某兩名女生，某兩名男生不能同時入選；某兩名女生，某兩名男生最多入選兩人。22、在6名內科醫生和4名外科醫生中，內科主任和外科主任各一名，現要組成5人醫療小組送醫下鄉，按照下列條件各有多少種選派方法1有3名內科醫生和2名外科醫生；2既有內科醫生，又有外科醫生；3至少有一名主任參加；4既有主任，又有外科醫生23、在10名學生中，有5人會裝電腦，有3人會安裝音響設備，其余2人既會安裝電腦，又會安裝音響設備，今選派由人組成的安裝小組，組內安裝電腦6要人，安裝音響設備要人，共有多少種不同的選人方案3324、有11名外語翻譯人員，其中名是英語翻譯員，名是日語翻譯員，另外54兩名英語、日語都精通從中找出人，使他們組成兩個翻譯小組，其中人翻84譯英文，另人翻譯日文，這兩個小組能同時工作問這樣的分配名單共可以4開出多少張五容斥原理問題跟知識握握手1、容斥原理的概念在計數時，為了使重疊部分不被重復計算，人們研究出一種新的計數方法，這種方法的基本思想是先不考慮重疊的情況，把包含于某內容中的所有對象的數目先計算出來，然后再把計數時重復計算的數目排斥出去，使得計算的結果既無遺漏又無重復，這種計數的方法稱為容斥原理。2、有關容斥原理的公式公式1如果被計數的事物有A、B兩類，那么，A類或B類元素個數A類元素個數B類元素個數既是A類又是B類的元素個數。公式2如果被計數的事物有A、B、C三類，那么，A類或B類或C類元素個數A類元素個數B類元素個數C類元素個數既是A類又是B類的元素個數既是A類又是C類的元素個數既是B類又是C類的元素個數既是A類又是B類而且是C類的元素個數。小試牛刀1有100種赤貧其中含鈣的有68種,含鐵的有43種,那么,同時含鈣和鐵的食品種類的最大值和最小值分別是A43,25B32,25C32,15D43,112在多元智能大賽的決賽中只有三道題已知1某校25名學生參加競賽,每個學生至少解出一道題2在所有沒有解出第一題的學生中,解出第二題的人數是解出第三題的人數的2倍3只解出第一題的學生比余下的學生中解出第一題的人數多1人4只解出一道題的學生中,有一半沒有解出第一題,那么只解出第二題的學生人數是A，5B，6C，7D，83一次考試共有5道試題。做對第1、2、3、4、5題的分別占參加考試人數的95、80、79、74、85。如果做對三道或三道以上為合格，那么這次考試的合格率至少是多少4、某大樓里有125盞燈，按1,2，3，,125編號，每盞燈有一個拉線開關，拉一次燈亮，再拉一次燈熄。工程師做實驗，他先把所有號碼是4的倍數的燈的開關拉1次，再把所有號碼是6的倍數的燈的開關拉1次，同時再拉1次號碼是4的倍數、但不是6的倍數的燈開關，問現在有多少盞燈是亮的5、A、B、C三位質檢員對流水線上的書包進行檢查，A每3個書包抽查1個，B每5個書包抽查1個，C每7個書包抽查1個，一共有250個書包通過流水線，假定A、B、C首個抽查到的書包分別是第三個、第五個和第七個，試求1沒被抽查到的書包數。2在A或B抽查到的書包中，沒被C抽查到的書包數。6、學校舉行趣味運動會，班里的同學有20人報名。參加障礙過河比賽的有10人，參加自行車慢騎的有13人，參加“袋鼠跳”比賽的有15人，障礙過河、“袋鼠跳”都參加的有9人，障礙過河、自行車慢騎都參加的有6人，自行車慢騎、“袋鼠跳”都參加的有8人，你能畫出參加比賽的人數文氏圖嗎7、某體育學校的運動員中，會游泳的有15人，會跳高的有12人，會跳遠的有9人，以上三個項目只會其中兩種的有13人，會三種的有5人，則只會其中兩種的人分別有多少可能8、在一所中學的實驗班里，60個學生參加過競賽。其中參加過數學競賽的有30人，參加過英語競賽的有25人，參加過作文比賽的有17人，參加過數學競賽和英語競賽的有12人，參加過英語競賽和作文比賽的有10人，參加過數學競賽和作文比賽的有7人，則三種競賽都參加過的學生有人。請寫出過程六抽屜原理、奇偶性問題跟知識握握手1、第一抽屜原理原理1把多于N個的物體放到N個抽屜里，則至少有一個抽屜里的東西不少于兩件；【證明】（反證法）如果每個抽屜至多只能放進一個物體，那么物體的總數至多是N，而不是題設的NKK1,這不可能。原理2把多于MNM乘以N個的物體放到N個抽屜里，則至少有一個抽屜里有不少于M1的物體。【證明】（反證法）若每個抽屜至多放進M個物體,那么N個抽屜至多放進MN個物體,與題設不符，故不可能原理3把無窮多件物體放入N個抽屜，則至少有一個抽屜里有無窮個物體。【證明】根據原理1、2即可證明【原理123都是第一抽屜原理的表述】2、第二抽屜原理把（MN1）個物體放入N個抽屜中，其中必有一個抽屜中至多有（M1）個物體。【證明】（反證法）若每個抽屜都有不少于M個物體，則總共至少有MN個物體，與題設矛盾，故不可能3、抽屜原理的一般表述“把多于KN1個東西任意分放進N個空抽屜（K是正整數），那么一定有一個抽屜中放進了至少K1個東西。”4、奇數和偶數整數可以分成奇數和偶數兩大類能被2整除的數叫做偶數，不能被2整除的數叫做奇數。【偶數通常可以用2K（K為整數）表示，奇數則可以用2K1（K為整數）表示。特別注意，因為0能被2整除，所以0是偶數。】5、奇數與偶數的運算性質性質1偶數偶數偶數，奇數奇數偶數。性質2偶數奇數奇數。性質3偶數個奇數相加得偶數。性質4奇數個奇數相加得奇數。性質5偶數奇數偶數，奇數奇數奇數。經典例題【表述】在第二抽屜原理中，抽屜中的元素個數隨著元素總數的增加而增加，當元素總數達到抽屜數的若干倍后，可用抽屜數除元素總數，寫成下面的等式元素總數商抽屜數余數【如果余數不是0，則最小數商1；如果余數正好是0，則最小數商。】例題1幼兒園里有120個小朋友，各種玩具有364件。把這些玩具分給小朋友，是否有人會得到4件或4件以上的玩具【解析】把120個小朋友看做是120個抽屜，把玩具件數看做是元素。則36412034，4120。根據抽屜原理的第（2）條規則如果把MXK（XK1）個元素放到X個抽屜里，那么至少有一個抽屜里含有M1個或更多個元素。可知至少有一個抽屜里有314個元素，即有人會得到4件或4件以上的玩具。練習11、一個幼兒園大班有40個小朋友，班里有各種玩具125件。把這些玩具分給小朋友，是否有人會得到4件或4件以上的玩具2、把16枝鉛筆放入三個筆盒里，至少有一個筆盒里的筆不少于6枝。這是為什么3、把25個球最多放在幾個盒子里，才能至少有一個盒子里有7個球例題2布袋里有4種不同顏色的球，每種都有10個。最少取出多少個球，才能保證其中一定有3個球的顏色一樣【解析】把4種不同顏色看做4個抽屜，把布袋中的球看做元素。根據抽屜原理第（2）條，要使其中一個抽屜里至少有3個顏色一樣的球，那么取出的球的個數應比抽屜個數的2倍多1。即2419（個）球。列算式為（31）419（個）練習21、布袋里有組都多的5種不同顏色的球。最少取出多少個球才能保證其中一定有3個顏色一樣的球2、一個容器里放有10塊紅木塊、10塊白木塊、10塊藍木塊，它們的形狀、大小都一樣。當你被蒙上眼睛去容器中取出木塊時，為確保取出的木塊中至少有4塊顏色相同，應至少取出多少塊木塊3、一副撲克牌共54張，其中113點各有4張，還有兩張王的撲克牌。至少要取出幾張牌，才能保證其中必有4張牌的點數相同例題3某班共有46名學生，他們都參加了課外興趣小組。活動內容有數學、美術、書法和英語，每人可參加1個、2個、3個或4個興趣小組。問班級中至少有幾名學生參加的項目完全相同【解析】參加課外興趣小組的學生共分四種情況，只參加一個組的有4種類型，只參加兩個小組的有6個類型，只參加三個組的有4種類型，參加四個組的有1種類型。把464115（種）類型看做15個抽屜，把46個學生放入這些抽屜，因為463151，所以班級中至少有4名學生參加的項目完全相同。練習31、某班有37個學生，他們都訂閱了小主人報、少年文藝、小學生優秀作文三種報刊中的一、二、三種。其中至少有幾位同學訂的報刊相同2、學校開辦了繪畫、笛子、足球和電腦四個課外學習班，每個學生最多可以參加兩個（可以不參加）。某班有52名同學，問至少有幾名同學參加課外學習班的情況完全相同3、庫房里有一批籃球、排球、足球和鉛球，每人任意搬運兩個，問在31個搬運者中至少有幾人搬運的球完全相同例題4從1至30中，3的倍數有30310個，不是3的倍數的數有301020個，至少要取出20121個不同的數才能保證其中一定有一個數是3的倍數。練習41、在1，2，3，49，50中，至少要取出多少個不同的數，才能保證其中一定有一個數能被5整除2、從1至120中，至少要取出幾個不同的數才能保證其中一定有一個數是4的倍數3、從1至36中，最多可以取出幾個數，使得這些數中沒有兩數的差是5的倍數例題5將400張卡片分給若干名同學，每人都能分到，但都不能超過11張，試證明找少有七名同學得到的卡片的張數相同。【證明】這題需要靈活運用抽屜原理。將分得1，2，3，11張可片看做11個抽屜，把同學人數