高等數學,課程相關,教材及相關輔導用書高等數學第一版，肖筱南主編,林建華等編著,北京大學出版社2010.8.高等數學精品課程下冊第一版，林建華等編著,廈門大學出版社,2006.7.高等數學第七版,同濟大學數學教研室主編，高等教育出版社,2014.7.高等數學學習輔導與習題選解（同濟第七版上下合訂本）同濟大學應用數學系編高等教育出版社,2014.8.,第九章多元函數微分學9.1多元函數的基本概念9.2偏導數9.3全微分9.4多元復合函數的求導法則9.5隱函數的求導公式9.6多元函數微分學的幾何應用9.7方向導數與梯度9.8多元函數的極值9.9綜合例題,第九章,第八節,一、極值及最大值、最小值,二、條件極值的拉格朗日乘數法,多元函數的極值,三、小結、思考題,引例1：某商店賣兩種牌子的果汁，本地牌子每瓶進價1元，外地牌子每瓶進價1.2元，店主估計，如果本地牌子的每瓶賣元，外地牌子的每瓶賣元，則每天可賣出瓶本地牌子的果汁，瓶外地牌子的果汁，問：店主每天以什么價格賣兩種牌子的果汁可取得最大收益？,顯然每天的收益為,求最大收益即為求二元函數的最大值.,0、問題的提出,一、多元函數的極值和最值,一、多元函數的極值和最值,一、多元函數的極值和最值,一、多元函數的極值和最值,一、多元函數的極值和最值,一、多元函數的極值和最值,一、多元函數的極值和最值,一、多元函數的極值和最值,一、多元函數的極值和最值,一、多元函數的極值和最值,1、二元函數極值的定義,(1),(2),(3),例1,例,例,函數存在極值,?,在簡單的情形下是,容易判斷的.,2、多元函數取得極值的條件,證,仿照一元函數，凡能使一階偏導數同時為零的點，均稱為函數的駐點.,駐點,極值點,問題：如何判定一個駐點是否為極值點？,注意：,解,求最值的一般方法：將函數在D內的所有駐點處的函數值及在D的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值.,與一元函數相類似，我們可以利用函數的極值來求函數的最大值和最小值.,3、多元函數的最值,解,如圖,解,由,無條件極值：對自變量除了限制在定義域內外，并無其他條件.,33,對自變量有附加條件的極值.,其他條件.,無條件極值,對自變量除了限制在定義域內外,并無,條件極值,二、條件極值拉格朗日乘數法,34,問題.,有時條件極值,目標函數中化為無條件極值.,可通過將約束條件代入,但在一般情形,甚至是不可能的.,下面要介紹解決條件極值問題的一般,方法:,下,這樣做是有困難的,拉格朗日乘數法,35,拉格朗日乘數法:,現要尋求目標函數,在約束條件,下取得,如函數(1)在,由條件,(1),(2),極值的必要條件.,取得所求的極值,那末首先有,(3),確定y是x的隱函數,不必將它真的解出來,則,于是函數(1),即,取得所,取得極值.,求的極值.,其中,代入(4)得:,由一元可導函數取得極值的必要條件知:,(4),取得極值.,在,(3),(5)兩式,取得極值的必要條件.,就是函數(1)在條件(2)下的,37,設,上述必要條件變為:,(6)中的前兩式的左邊正是函數:,(6),的兩個一階偏導數在,的值.,函數,稱為拉格朗日函數,稱為拉格朗日乘子,是一個待定常數.,38,拉格朗日乘數法:,極值的必要條件,在條件,要找函數,下的可能極值點,先構造函數,為某一常數,其中,可由,解出,其中,就是可能的極值點的坐標.,39,如何確定所求得的點,實際問題中,非實際問題我們這里不做進一步的討論.,拉格朗日乘數法可推廣:,判定.,可根據問題本身的性質來,的情況.,自變量多于兩個,是否為極值點,?,解,則,解,可得,即,多元函數的極值,拉格朗日乘數法,（取得極值的必要條件、充分條件）,多元函數的最值,三、小結,作業,習題9.8（P91）1（1）、1（3），2（1）、2（3），5，6,48,練習,解,為簡化計算,令,是曲面上的點,它與已知點的距離為,問題化為在,下求,的最小值.,目標函數,約束條件,49,設,(1),(2),(3),(4),50,由于問題確實存在最小值，,故,得唯一駐點,還有別的簡單方法嗎,