初中數學圓總復習,卷柏2014年2月,1,知識體系,圓,基本性質,直線與圓的位置關系,圓與圓的位置關系,概念,對稱性,垂徑定理,圓心角、弧、弦之間的關系定理,圓周角與圓心角的關系,切線的性質,切線的判定,切線的作圖,弧長、扇形面積和圓錐的側面積相關計算,正多邊形和圓,位置分類,性質,關系定理,有關計算,切線長定理,判定,2,圓的有關性質,3,圓的定義（運動觀點）,在一個平面內，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A隨之旋轉所形成的圖形叫做圓。固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑，以點O為圓心的圓，記作O，讀作“圓O”,4,圓的定義辨析,籃球是圓嗎？圓必須在一個平面內以3cm為半徑畫圓，能畫多少個？以點O為圓心畫圓，能畫多少個？由此，你發現半徑和圓心分別有什么作用？半徑確定圓的大小；圓心確定圓的位置圓是“圓周”還是“圓面”？圓是一條封閉曲線圓周上的點與圓心有什么關系？,5,圓的定義（集合觀點）,圓是到定點的距離等于定長的點的集合。圓上各點到定點（圓心）的距離都等于定長（半徑）；到定點的距離等于定長的點都在圓上。,一個圓把平面內的所有點分成了多少類？你能模仿圓的集合定義思想，說說什么是圓的內部和圓的外部嗎？,6,點與圓的位置關系,圓是到定點（圓心）的距離等于定長（半徑）的點的集合。圓的內部是到圓心的距離小于半徑的點的集合。圓的外部是到圓心的距離大于半徑的點的集合。由此，你發現點與圓的位置關系是由什么來決定的呢？,如果圓的半徑為r，點到圓心的距離為d，則：點在圓上d=r點在圓內dr,7,與圓有關的概念,弦和直徑什么是弦？什么是直徑？直徑是弦嗎？弦是直徑嗎？弧與半圓什么是圓弧（弧）？怎樣表示？弧分成哪幾類？半圓是弧嗎？弧是半圓嗎？弓形是什么？同心圓、同圓、等圓和等弧怎樣的兩個圓叫同心圓？怎樣的兩個圓叫等圓？同圓和等圓有什么性質？什么叫等弧？,8,圓的有關性質,過三點的圓,9,思考：確定一條直線的條件是什么？類比聯想：是否也存在由幾個點確定一個圓呢？討論：經過一個點，能作出多少個圓？經過兩個點，如何作圓，能作多少個？經過三個點，如何作圓，能作多少個？,10,經過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，三角形叫做圓的內接三角形。,問題1：如何作三角形的外接圓？如何找三角形的外心？問題2：三角形的外心一定在三角形內嗎？,C90,ABC是銳角三角形,ABC是鈍角三角形,11,垂直于弦的直徑,及其推論,12,從特殊到一般,想一想：將一個圓沿著任一條直徑對折，兩側半圓會有什么關系？性質：圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸。,觀察右圖，有什么等量關系？,垂直于弦的直徑,AO=BO=CO=DO，弧AD弧BC，弧AC弧BD。,AO=BO=CO=DO，弧AD弧BC=弧AC弧BD。,AO=BO=CO=DO，弧AD弧BD，弧AC弧BC,AEBE。,13,垂徑定理,垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。,14,判斷下列圖形，能否使用垂徑定理？,注意：定理中的兩個條件（直徑，垂直于弦）缺一不可！,定理辨析,15,練習,若圓心到弦的距離用d表示，半徑用r表示，弦長用a表示，這三者之間有怎樣的關系？,16,變式1：AC、BD有什么關系？,變式2：ACBD依然成立嗎？,變式3：EA_,EC=_。,OA=OB,OC=OD,變式練習,17,如圖，P為O的弦BA延長線上一點，PAAB2，PO5，求O的半徑。,輔助線,關于弦的問題，常常需要過圓心作弦的垂線段，這是一條非常重要的輔助線。圓心到弦的距離、半徑、弦長構成直角三角形，便將問題轉化為直角三角形的問題。,18,畫圖敘述垂徑定理，并說出定理的題設和結論。,想一想：如果將題設和結論中的5個條件適當互換，情況會怎樣？,19,（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；（2）弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧；（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦并且平分弦所對的另一條弧。,推論1,20,如圖，CD為O的直徑，ABCD，EFCD，你能得到什么結論？,推論2,弧AE弧BF,圓的兩條平行弦所夾的弧相等。,21,圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系,22,圓的性質,圓是軸對稱圖形，每一條直徑所在的直線都是對稱軸。圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形。圓還具有旋轉不變性，即圓繞圓心旋轉任意一個角度，都能與原來的圖形重合。,23,圓心角：頂點在圓心的角。（如：AOB）,弦心距：從圓心到弦的距離。（如：OC）,相關定義,24,猜想與證明,如圖，AOBAOB，OCAB，OCAB。猜想：弧AB與弧AB，AB與AB，OC與OC之間的關系，并證明你的猜想。,定理相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等。,在同圓或等圓中，,25,圓心角所對的弧相等，圓心角所對的弦相等，圓心角所對弦的弦心距相等。,推論在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等。,在同圓或等圓中(前提),圓心角相等（條件）,定理推論,26,把頂點在圓心的周角等分成360份時，每一份的圓心角是1的角。1的圓心角所對的弧叫做1的弧。,圓心角的度數和它所對的弧的度數相等。,一般地，n的圓心角對著n的弧。,弧的度數,27,圓周角,28,圓心角：如BOA,圓內角：如BCA,圓周角：如BDA,圓外角：如BFA,角的頂點在圓心,角的頂點在圓周上是否頂點在圓周上的角就是圓周角呢?,動起來!,29,圓周角：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角。圓心角:頂點在圓心的角.,看清要點,30,畫圖:同一條弧所對的圓周角和圓心角之間可能出現哪幾種不同的位置關系?,大膽猜想,回顧：圓周角等于它所對的弧的度數的一半。猜想：圓周角和圓心角都是與圓有關的角，它們之間有什么關系？,31,一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半,定理,圓周角定理,分類討論,完全歸納法,數學思想,32,1、已知AOB75，求：ACB,2、已知AOB120，求：ACB,3、已知ACD30，求：AOB,4、已知AOB110，求：ACB,33,推論,定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。也可以理解為：一條弧所對的圓心角是它所對的圓周角的二倍；圓周角的度數等于它所對的弧的度數的一半。,弧相等，圓周角是否相等？反過來呢？什么時候圓周角是直角？反過來呢？直角三角形斜邊中線有什么性質？反過來呢？,34,如圖，比較ACB、ADB、AEB的大小,同弧所對的圓周角相等,如圖，如果弧AB弧CD，那么E和F是什么關系？反過來呢？,等弧所對的圓周角相等；在同圓中，相等的圓周角所對的弧也相等,如圖，O1和O2是等圓，如果弧AB弧CD，那么E和F是什么關系？反過來呢？,等圓也成立,35,推論1同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等。,思考：1、“同圓或等圓”的條件能否去掉？2、判斷正誤：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦、兩條弦心距、兩個圓周角中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量也相等。,36,關于等積式的證明,如圖，已知AB是O的弦，半徑OPAB，弦PD交AB于C，求證：PA2PCPD,經驗：證明等積式，通常利用相似；找角相等，要有找同弧或等弧所對的圓周角的意識；,37,推論2半圓（或直徑）所對的圓周角是90；90的圓周角所對的弦是直徑。,推論3如果三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。,什么時候圓周角是直角？反過來呢？直角三角形斜邊中線有什么性質？反過來呢？,38,已知：點O是ABC的外心，BOC130，求A的度數。,39,直線和圓的位置關系,重點內容,40,直線和圓的位置關系及其性質,2個,1個,無,dr,dr,dr,交點,切點,割線,切線,有且僅有,注意：“”，即“等價于”,熟記,41,直線和圓的位置關系的判定,2個,1個,無,dr,dr,dr,相交,相離,相切,熟記,42,切線的判定,重點內容,43,判斷一條直線是不是圓的切線使用定義：直線和圓有唯一的公共點圓心到直線的距離d等于半徑r時，直線和圓相切,說說看：以上兩種判斷辦法是否方便應用呢？,操作：畫O，在O上任取一點A，連結OA，過A點作直線lOA,直線l是否與O相切呢？從作圖過程看，這條切線l滿足哪些條件？l經過半徑外端l垂直于這條半徑,窮則思變,44,切線的判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。,已知：直線AB經過O上的點C，并且OAOB，CACB。求證：直線AB是O的切線。,已知：OAOB5厘米，AB8厘米，O的直徑6厘米。求證：AB與O相切。,以上兩題輔助線的作法是否相同？你分析出了什么結論？,輔助線技巧,45,證明一條直線是圓的切線，常常需要作輔助線。若直線過圓上某一點，則連結圓心和公共點，再證明直線與半徑垂直。（即連半徑，正垂直）若直線與圓的公共點沒有確定，則過圓心向直線作垂線，再證明圓心到直線的距離等于半徑。（即作垂線，正半徑）,練兵,46,切線判定的方法,利用切線定義利用圓心到直線的距離等于半徑利用切線判斷定理輔助線技巧：若直線過圓上某一點，則連結圓心和公共點，再證明直線與半徑垂直若直線與圓的公共點沒有確定，則過圓心向直線作垂線，再證明圓心到直線的距離等于半徑。,Review,47,切線的性質,重點內容,48,切線判定：直線l：過半徑外端垂直于半徑切線性質：切線l，A為切點：OAl,理解記憶,類比猜想,切線的性質定理：圓的切線垂直于經過切點的半徑。,49,切線判定與性質典型例題,已知：AB是O的直徑，BC是O的切線，切點為B，OC平行于弦AD。求證：DC是O的切線。,體會規律,如圖，在以O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB和CD相等，且AB與小圓相切于點E，求證：CD與小圓相切。,50,切線的判定和性質,判定切線的三種方法：和圓只有一個公共點的直線是圓的切線和圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線過半徑外端且和半徑垂直的直線是圓的切線,Review,切線的主要性質：切線和圓只有一個公共點切線和圓心的距離等于半徑切線垂直于過切點的半徑經過圓心垂直于切線的直線必過切點經過切點垂直于切線的直線必過圓心,主要輔助線：利用切線性質時，常作過切點的半徑證明直線是圓的切線時，分清什么時候“連結”，什么時候“作垂線”,51,三角形的內切圓,重點內容,52,問題,如何在一個三角形中剪下一個圓，使得該圓的面積盡可能的大？,思考,53,定義,和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓；內切圓的圓心叫做三角形的內心；這個三角形叫做圓的外切三角形。,三角形的內心是三角形內角平分線的交點。,三角形的內心是否也有在三角形內、三角形外或三角形上三種不同情況。,記憶,54,在ABC中，ABC50，ACB75，求BOC的度數。（1）點O是三角形的內心（2）點O是三角形的外心,ABC中，E是內心，A的平分線和ABC的外接圓相交于點D。求證：DEDB。,練習,關于三角形內心的輔助線：連結內心和三角形的頂點，該線平分三角形的這一內角。,55,三角形的各種心,HeartsofTriangle,56,三條高線的交點,三條角平分線的交點,三邊垂直平分線的交點,三條中線的交點,在形內、形外或直角頂點,在形內、形外或斜邊中點,在形內,在形內,到三角形各頂點距離相等,到三角形三邊距離相等,把中線分成了2:1兩部分,57,已知ABC的內切圓半徑為r，求證：ABC的面積SABCsr。（s為ABC的半周長）,58,O,三角形的外接圓：,三角形的內切圓：,I,59,特殊三角形外接圓、內切圓半徑的求法：,直角三角形外接圓、內切圓半徑的求法,等邊三角形外接圓、內切圓半徑的求法,基本思路：構造三角形BOD，BO為外接圓半徑，DO為內切圓半徑。,O,D,60,圓的內接四邊形,61,定理：圓的內接四邊形的對角互補。,DB180AC180,對角,62,又一種重要的輔助線,如圖，O1和O2都經過A、B兩點，經過A點的直線CD與O1交于點C，與O2交于點D，經過B點的直線EF與O1交于點E，與O2交于點F。求證：CEDF,有兩個圓的題目常用的一種輔助線：作公共弦。此圖形是一個考試熱門圖形。,思考：若此題條件和結論不變，只是不給出圖形，此題還能這樣證明嗎？,63,切線長定理,64,切線長的定義以及定理,切線與切線長的區別：切線是直線，不能度量。切線長是線段的長，這條線段的兩個端點分別是圓外的一點和切點，可以度量。,PA、PB分別切O于A、B,切線長定理：題設：從圓外一點引圓的兩條切線結論：切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角幾何表述：,65,如圖，PA、PB是O的兩條切線，A、B是切點，直線OP交O于點D，交AB于點C。寫出圖中所有的垂直關系寫出圖中所有的全等三角形寫出圖中所有的相似三角形寫出圖中所有的等腰三角形若PA4cm，PD2cm，求半徑OA的長若O的半徑為3cm，點P和圓心O的距離為6cm，求切線長及這兩條切線的夾角度數,66,PO平分AOBPO垂直平分ABPO平分弧AB,PAPBPO平分APB,推廣,67,切線長定理的推廣（議一議）,四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA和O分別相交相切于點L、M、N、P。觀察圖并結合切線長定理，你發現了什么結論？并證明之。,圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等ABCDADBC,68,等腰梯形各邊都與O相切，O的直徑為6cm，等腰梯形的腰等于8cm，則梯形的面積為_。,圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等ABCDADBC應用舉例,69,圓和圓的位置關系,70,外離,內含,兩個圓沒有公共點，并且每個圓上的點都在另一個圓的外部。,兩個圓沒有公共點，并且每個圓上的點都在另一個圓的內部。,dR+r,dR-r,71,外切,內切,兩個圓有唯一公共點，并且除這公共點外，每個圓上的點都在另一個圓的外部。,兩個圓有唯一公共點，并且除這公共點外，每個圓上的點都在另一個圓的內部。,d=R+r,d=R-r,72,相交,兩個圓有兩個公共點。,R-rdr）,74,相切兩圓、相交兩圓的性質,對稱性單一個圓是軸對稱圖象，那么由兩個圓組成的圖形是否有軸對稱性質呢？有若，說出對稱軸，若沒有，說明理由由上述性質，你可以推導出相切兩圓、相交兩圓分別有什么性質嗎？說明理由。,75,如果兩圓相切，那么切點在連心線上。,相切兩圓的性質,76,相交兩圓的連心線垂直平分公共弦。,相交兩圓的性質,77,O1、O2的半徑分別為4cm、3cm。兩圓交于A、B兩點，AB4.8cm，求O1O2的長。,78,正多邊形和圓,圓的內接正n邊形,79,正多邊形：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。正n邊形：如果一個正多邊形有n條邊，那么這個正多邊形叫做正n邊形。,三條邊相等，三個角也相等（60度）,四條邊都相等，四個角也相等（90度）,80,想一想：,怎樣找圓的內接正三角形？,怎樣找圓的內接正方形？,怎樣找圓的內接正n邊形？,81,把圓分成n（n3）等份：依次連結各分點所得的多邊形是這個圓的內接正多邊形；這個圓叫正多邊形的外接圓。,定理,82,正多邊形和圓的有關概念,83,定理,任何正多邊形都有一個外接圓。,正多邊形的外接圓的圓心叫做正多邊形的中心，外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，內切圓的半徑叫做正多邊形的邊心距。正多邊形各邊所對的外接圓的圓心角叫做正多邊形的中心角。正n邊形的每個中心角都等于360/n。,84,正多邊形的性質,正多邊形是軸對稱圖形，正n邊形有n條對稱軸。若n為偶數，則其為中心對稱圖形。,85,正多邊形的性質,各邊相等，各角相等圓的內接正n邊形的各個頂點把圓分成n等分每個正多邊形都有一個外接圓。外接圓的圓心就是正多邊形的中心。正多邊形都是軸對稱圖形，如果邊數是偶數那么它還是中心對稱圖形正n邊形的中心角和它的每個外角都等于360/n，每個內角都等于(n-2)180/n正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形,86,求證：各邊相等的圓內接多邊形是正多邊形。,思考：各角相等的圓內接多邊形是否是正多邊形？,87,正多邊形的有關計算,88,思考,什么是正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角？正n邊形的內角和、外角和分別是多少？它的每一個內角、外角、中心角分別是多少？作一個正五邊形，作出它的半徑、中心角、邊心距，觀察它們之間有何關系？若正多邊形的邊數為n時，它的邊長、半徑、中心角、邊心距之間的關系如何？怎樣做有關的計算？,89,關于正多邊形的計算要記牢以下關系：,正多邊形的邊長a、邊心距r、半徑R之間的關系：,正多邊形的周長=邊長x邊數,正多邊形的面積=x周長x邊心距,正多邊形的中心角=360/n=每一個外角,正多邊形的每個內角=（n-2)x180/n,在a、r、R中已知兩個就可求出第三個。,90,練習,已知正六邊形ABCDEF的半徑為R，求這個正六邊形的邊長a6、周長P6和面積S6。,已知圓的半徑為R，求它的內接正三角形、內接正方形的邊長、邊心距和面積。,91,畫正多邊形,92,思想：畫半徑為R的正n邊形，只要把半徑為R的圓n等分。用尺規等分圓（保留痕跡）：正四邊形正八邊形正六邊形正三角形正十二邊形,93,圓周長、弧長,94,圓周長,圓周長C與半徑R之間的關系：C2R,95,弧長計算公式,公式中n和180都不要帶單位“度”圓心角的單位必須化為“度”題中沒有標明精確度，結果用表示,96,皮帶輪模型,如圖，兩個皮帶輪的中心的距離為2.1m，直徑分別為0.65m和0.24m。（1）求皮帶長（保留三個有效數字）；（2）如果小輪每分鐘750轉，求大輪每分鐘約多少轉？,如果兩個輪是等圓呢？,97,圓、扇形、弓形的面積,98,一條弧和經過這條弧的端點的兩條半徑所組成的圖形,扇形,99,回憶弧長計算公式的推導過程，你能否相應地推出扇形面積的計算公式呢？,扇形面積,觀察扇形面積公式，你發現它和弧長公式之間有什么關系？,怎樣才能牢固地記憶這兩個公式呢？,100,已知正三角形的邊長為a，求它的內切圓與外接圓組成的圓環的面積。,圓環面積,把上題中的正三角形改為正方形，結果會怎樣？猜想：正五邊形、正六邊形時又會怎樣？用文字表達你得到的結論。,101,求不規則圖形面積時，要認真觀察圖形，準確分解與組合，化歸為常見的基本圖形。,102,弓形：由