高三數(shù)學(xué)同步檢測(cè)(八)第二章單元檢測(cè)(B)說明:本試卷分為第、卷兩部分，請(qǐng)將第卷選擇題的答案填入題后括號(hào)內(nèi)，第卷可在各題后直接作答.共100分，考試時(shí)間90分鐘.第卷(選擇題共40分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，共40分)1.設(shè)Sk=+,則等于 ( )A.Sk+ B.Sk+C.Sk+- D.Sk+分析 當(dāng)自變量取k時(shí),等式的左邊是k項(xiàng)和的形式.解 Sk=+,Sk+1=+=+=+-=Sk+-.答案C2.若()=-1,則常數(shù)a、b的值為( )A.a=2,b=-4 B.a=-2,b=4C.a=-2,b=-4 D.a=2,b=4分析本題考查函數(shù)的極限.解 原式=,得=1,=-1,a=2,b=4.答案 D3.用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí),xn+yn能被x+y整除”時(shí),第二步應(yīng)是( )A.假設(shè)n=2k+1時(shí)正確,再推n=2k+3時(shí)正確B.假設(shè)n=2k-1時(shí)正確,再推n=2k+1時(shí)正確C.假設(shè)n=k時(shí)正確,再推n=k+1時(shí)正確D.假設(shè)nk(k1)時(shí)正確,再推n=k+2時(shí)正確(以上kN*)解析 因?yàn)閚為正奇數(shù),所以不妨設(shè)n=2m-1(mN*)進(jìn)行證明.答案 B4.如圖,正方形上連接等腰直角三角形,直角三角形邊上再連接正方形,無限重復(fù).設(shè)正方形的面積為S1,S2,S3,三角形的面積為T1,T2,T3,當(dāng)S1的邊長(zhǎng)為2時(shí),這些正方形和三角形的面積總和為( )A.10 B.11 C.12 D.13分析 本題考查無窮等比數(shù)列前n項(xiàng)和的極限及運(yùn)算能力.解 由題意知,正方形的面積Sn是首項(xiàng)為4,公比為的等比數(shù)列;三角形的面積Tn是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列.S1+S2+Sn=81-()n;T1+T2+Tn=(S1+S2+Sn)+(T1+T2+Tn)=81-()n+21-()n=10.答案 A5.用數(shù)學(xué)歸納法證明“(n+1)(n+2)(n+n)=2n13(2n-1)(nN*)”時(shí),從“k”到“k+1”等式的左邊需要乘的代數(shù)式是( )A.2k+1 B.C. D.分析 本題考查用數(shù)學(xué)歸納法證明代數(shù)恒等式.等式的左邊是n個(gè)連續(xù)正整數(shù)積的形式.解 當(dāng)n=k時(shí),左邊=(k+1)(k+2)(k+k).當(dāng)n=k+1時(shí),左邊=(k+2)(k+3)(2k+2)=(k+1)(k+2)(k+k)答案 C6.設(shè)函數(shù)則下列結(jié)論不正確的是( )A.B.C.D.分析本題考查函數(shù)的左、右極限.因?yàn)閒(x)的圖象易得,可根據(jù)它的圖象求解.其中y=lg(-x)與y=lgx的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.解 由圖象可知,而不存在,所以不存在.答案 B7.已知f(x)=x2,則等于（）A.x B.2x C. D.-分析本題考查函數(shù).當(dāng)把x=x0代入函數(shù)解析式f(x)有意義時(shí),可采用直接代入法求極限.解答案 B8.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+n(n1),第二步證明從“k”到“k+1”,左端增加的項(xiàng)數(shù)是( )A.2k-1 B.2k C.2k-1 D.2k+1分析 本題考查用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,分清不等式左邊的構(gòu)成情況是解決本題的關(guān)鍵.解 當(dāng)n=k+1時(shí),左邊=1+,它比n=k時(shí)增加的項(xiàng)為+,其分母是首項(xiàng)為2k,公差為1,末項(xiàng)為2k+1-1的等差數(shù)列,由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可知其項(xiàng)數(shù)為2k+1-1-2k+1=2k.答案 B9.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=2n-1,則等于（ ）A. B.1 C. D.2分析 本題考查當(dāng)n時(shí)，數(shù)列an的極限.解題的關(guān)鍵是首先由an的前n項(xiàng)和Sn求出an.解 當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=2-1=1;當(dāng)n2時(shí)，an=Sn-Sn-1=2n-1-2n-1+1=2n-1.此時(shí)n=1也成立,an=2n-1.=()2n-1，它是以為首項(xiàng)、公比為的等比數(shù)列.=答案 A10.等于( )A.0 B.1 C.2 D.3分析 本題考查數(shù)列的極限.要掌握二項(xiàng)式系數(shù)的一個(gè)性質(zhì)：+=.解 分子1+22+32+n2=分母+=+=+=+=答案 C第卷(非選擇題共60分)二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分.把答案填在題中橫線上)11.在用數(shù)學(xué)歸納法證明“f(n)=49n+16n-1(nN*)能被64整除”時(shí),假設(shè)f(k)=49k+16k-1(kN*)能被64整除,則f(k+1)的變形情況是f(k+1)= .分析 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題的關(guān)鍵是把n=k+1時(shí)的情況拼湊成一部分為歸納假設(shè)的形式,另一部分為除數(shù)的倍數(shù)的形式.解 f(k+1)=49k+1+16(k+1)-1=4949k+16k+16-1=49(49k+16k-1)-4916k+49+16k+15=49(49k+16k-1)-64(12k-1).答案 49(49k+16k-1)-64(12k-1)12. .分析 本題考查函數(shù)的極限.若把代入函數(shù)解析式,解析式無意義,故應(yīng)化簡(jiǎn)函數(shù)解析式,約去使它的分母為0的因式,再求極限.解 答案 -213.給定極限(nsin)=1,則極限 .分析 本題考查常見數(shù)列的極限,如何把待求結(jié)論拼湊成已知的形式是解題的關(guān)鍵.解 原式=()=1-=1-=.答案 14.若,則a= ,b= .分析 本題考查當(dāng)xx0時(shí)，函數(shù)的極限.當(dāng)把x=1代入函數(shù)解析式時(shí)，分母為零，故需進(jìn)行分子有理化，使分子出現(xiàn)（x-1)因式，約去該因式后，再代入求值即可.解 則b2-a=1，且(1+1)(-b)=1.解得a=-,b=-.答案 - -三、解答題(本大題共5小題，共44分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)15.(本小題滿分8分)在數(shù)列an中,a1=,.(1)求a2,a3,a4;(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式,并予以證明.分析 本題考查歸納、猜想及用數(shù)學(xué)歸納法證題的能力.如何利用歸納假設(shè)是本題成敗的關(guān)鍵.解 (1)由題設(shè),得a2=,a3=,a4= 2分(2)猜測(cè):an=,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)n=1,2,3,4時(shí),已驗(yàn)證.假設(shè)當(dāng)n=k(k4)時(shí),公式成立,即ak=. 4分ak+1=即(k+3)ak+1=a1+a2+ak-1+ak=ak(2+3+k)+ak=ak(1+2+3+k)=ak(k+1).ak+1= 6分=這就是說,當(dāng)n=k+1時(shí),公式也成立.綜上可知,對(duì)任何正整數(shù)n,an=. 8分16.(本小題滿分8分)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,an=5Sn-3(nN*),求(a1+a3+a5+a2n-1)的值.分析 由式子an=5Sn-3,易得到an與Sn的關(guān)系式.由an=Sn-Sn-1(n2),利用此式,再對(duì)n進(jìn)行合適的賦值,便可消去Sn,得到an的遞推關(guān)系式,進(jìn)而確定數(shù)列an,再求(a1+a3+a5+a2n-1).解 a1=S1,an=Sn-Sn-1(n2).又已知an=5Sn-3,an-1=5Sn-1-3(n2).兩式相減,得an-an-1=5(Sn-Sn-1)=5an(n2).an=-an-1(n2). 2分由a1=5S1-3及a1=S1,得a1=.可見an是首項(xiàng)為,公比q=-的等比數(shù)列. 4分a1+a3+a5+a2n-1是首項(xiàng)為,公比為q2=(-)2=的等比數(shù)列. 6分由于|q2|2時(shí),原式=;8分當(dāng)0c2時(shí),原式=10分19.(本小題滿分10分)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,其滿足a1=1,3Sn=(n+2)an,問是否存在實(shí)數(shù)a、b、c使得an=an2+bn+c對(duì)一切nN*都成立?若存在,求出a,b,c;若不存在,請(qǐng)說明理由.分析 本題是一道探索性問題,可從假設(shè)結(jié)論成立入手.解 假設(shè)滿足條件的a,b,c存在,將n=2,3代入3Sn=(n+2)an中,可得a2=3,a3=6.代入an=an2+bn+c中,可得 解得an=n2+