第一章 矢量分析第一章 題 解1-1 已知三個矢量分別為；。試求；單位矢量；及；及。解因則。1-2 已知平面內的位置矢量A與X軸的夾角為a，位置矢量B與X軸的夾角為b，試證證明 由于兩矢量位于平面內，因此均為二維矢量，它們可以分別表示為已知，求得即1-3 已知空間三角形的頂點坐標為，及。試問：該三角形是否是直角三角形；該三角形的面積是多少？解 由題意知，三角形三個頂點的位置矢量分別為；那么，由頂點P1指向P2的邊矢量為同理，由頂點P2指向P3的邊矢量由頂點P3指向P1的邊矢量分別為因兩個邊矢量，意味該兩個邊矢量相互垂直，所以該三角形是直角三角形。因，所以三角形的面積為1-4 已知矢量，兩點P1及P2的坐標位置分別為及。若取P1及P2之間的拋物線或直線為積分路徑，試求線積分。解 積分路線為拋物線。已知拋物線方程為, ，則 積分路線為直線。因,兩點位于平面內，過,兩點的直線方程為，即，則。1-5 設標量，矢量，試求標量函數F在點處沿矢量A的方向上的方向導數。解 已知梯度那么，在點處F 的梯度為因此，標量函數F在點處沿矢量A的方向上的方向導數為1-6 試證式（1-5-11），式（1-5-12）及式（1-5-13）。證明 式（1-5-11）為，該式左邊為即，。根據上述復合函數求導法則同樣可證式（1-5-12）和式（1-5-13）。1-7 已知標量函數，試求該標量函數F 在點P(1,2,3)處的最大變化率及其方向。解 標量函數在某點的最大變化率即是函數在該點的梯度值。已知標量函數F的梯度為那么將點P(1,2,3) 的坐標代入，得。那么，在P點的最大變化率為P點最大變化率方向的方向余弦為；1-8 若標量函數為試求在點處的梯度。解 已知梯度，將標量函數F代入得再將P點的坐標代入，求得標量函數F 在P點處的梯度為1-9 試證式（1-6-11）及式（1-6-12）。證明 式（1-6-11）為，該式左邊為即式（1-6-12）為，該式左邊為；即1-10 試求距離在直角坐標、圓柱坐標及圓球坐標中的表示式。解 在直角坐標系中在圓柱坐標系中，已知，因此在球坐標系中，已知,因此 1-11 已知兩個位置矢量及的終點坐標分別為及，試證與之間的夾角g 為證明 根據題意，兩個位置矢量在直角坐標系中可表示為已知兩個矢量的標積為，這里g為兩個矢量的夾角。因此夾角g為式中因此，1-12試求分別滿足方程式及的函數及。解 在球坐標系中，為了滿足即要求 ，求得即在球坐標系中，為了滿足由于，即上式恒為零。故可以是r的任意函數。1-13 試證式（1-7-11）及式（1-7-12）。證明 式（1-7-11）為 （為常數）令，則式（1-7-12）為令，則若將式（1-7-12）的右邊展開，也可證明。1-14 試證 ，及。證明 已知在球坐標系中，矢量A的旋度為對于矢量，因，代入上式，且因r與角度q，f無關，那么，由上式獲知。對于矢量，因，顯然。對于矢量，因，同理獲知。1-15 若C為常數，A及k為常矢量，試證： ； ； 。證明證明。利用公式，則而求得。證明。利用公式，則再利用的結果，則證明。利用公式，則再利用的結果，則。1-16 試證 ，式中k為常數。證明 已知在球坐標系中則即1-17 試證 證明 利用公式令上式中的，則將上式整理后，即得。1-18 已知矢量場F的散度，旋度，試求該矢量場。解 根據亥姆霍茲定理，其中；當時，則，即。那么因，求得則1-19 已知某點在圓柱坐標系中的位置為，試求該點在相應的直角坐標系及圓球坐標系中的位置。解 已知直角坐標系和圓柱坐標系坐標變量之間的轉換關系為，因此，該點在直角坐標下的位置為;z = 3同樣，根據球坐標系和直角坐標系坐標變量之間的轉換關系，；可得該點在球坐標下的位置為；1-20 已知直角坐標系中的矢量，式中a, b, c均為常數，A是常矢量嗎？試求該矢量在圓柱坐標系及圓球坐標系中的表示式。解 由于的大小及方向均與空間坐標無關，故是常矢量。已知直角坐標系和圓柱坐標系坐標變量之間的轉換關系為；求得；又知矢量A在直角坐標系和圓柱坐標系中各個坐標分量之間的轉換關系為將上述結果代入，求得即該矢量在圓柱坐標下的表達式為直角坐標系和球坐標系的坐標變量之間的轉換關系為；由此求得；矢量A在直角坐標系和球坐標系中各個坐標分量之間的轉換關系為求得即該矢量在球坐標下的表達式為。1-21 已知圓柱坐標系中的矢量，式中a, b, c均為常數，A是常矢量嗎？試求及以及A在相應的直角坐標系及圓球坐標系中的表示式。解 因為雖然a, b, c均為常數，但是單位矢量er和ef均為變矢，所以不是常矢量。已知圓柱坐標系中，矢量A的散度為將代入，得矢量A的旋度為已知直角坐標系和圓柱坐標系坐標變量之間的轉換關系為;又知矢量A在直角坐標系和圓柱坐標系中各個坐標分量之間的轉換關系為將上述接結果代入，得即該矢量在直角坐標下的表達式為，其中。矢量A在圓柱坐標系和球坐標系中各個坐標分量之間的轉換關系以及，求得即該矢量在球坐標下的表達式為。1-22 已知圓球坐標系中矢量，式中a, b, c均為常數，A是常矢量嗎？試求及，以及A在直角坐標系及圓柱坐標系中的表示式。解 因為雖然a, b, c均為常數，但是單位矢量er，eq，ef均為變矢，所以不是常矢量。在球坐標系中，矢量A的散度為將矢量A的各個分量代入，求得。矢量A的旋度為利用矢量A在直角坐標系和球坐標系中各個坐標分量之間的轉換關系以及，求得該矢量在直角坐標下的表達式為利用矢量A在圓柱坐標系和球坐標系中各個坐標分量之間的轉換關系求得其在圓柱坐標下的表達式為。1-23 若標量函數，試求，及。解 1-24 若 試求，及。