高考合情推理題的五個途徑例析合情推理包括歸納推理和類比推理，它作為一種重要推理的思維方式早已納入新課標版的選修教材之中，并且廣泛地應用于數學的各個學科領域，也亦成為近幾年高考數學命題的熱點與靚點，為更好的理解并掌握合情推理的有效途徑，探討研究高考數學命題的規律，本文擬以近幾年涉及合情推理的部分高考試題為例，將蘊涵在高考試題中的合情推理的有效途徑與方法歸類解析如下，僅供參考： 一、歸納例1、已知，分別計算和值，由此概括出涉及函數和的對所有不等于零的實數都成立的一個等式，并加以證明。分析：先計算和的值，再歸納出一般結論進行證明：解：計算出；同理可以算得：，由這兩個特殊情形的結論，進一步觀察、猜想并類推，可以得出對所有不等于零的實數應都有的結論：；其證明過程如下：因為，所以。點評：本題在解答的過程中運用了合情推理中的“由特殊到一般”的歸納推理，這種推理方式得到結論不一定是正確的，一般來說得到的結論一定要加以邏輯證明，解答好這類問題要有較高的抽象、概括能力。例2、將楊輝三角中的每一個數都換成分數，就得到一個如右圖所示的分數三角形，稱為萊布尼茨三角形。從萊布尼茨三角形可以看出：，其中 ，令，則 。分析：先令中的求出的值，再歸納證明：解：令中的可得：，當時，則，即，故或2；當時，則，即，故，由此可歸納出：；由于，所以，由此可得：，令，則，并將以上個式兩邊相加得：，所以。點評：本題在解答時，先通過對取特殊值，探求出的值與的值的關系規律，進而歸納出，從而為下一步運用裂項相消求極限排除了障礙，解答過程中運用了合情推理中的“由一般到特殊，再由特殊到一般”的思維模式進行歸納推理，進而使本題獲解，解答好這類問題的關鍵是要有較高的抽象、概括能力。例3、在德國不萊梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商場櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的展品，其中第一堆只有一層，就一個球，第2、3、4，一堆最底層（第一層）分別按圖2所示方式固定擺放，從第一層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第堆第層就放一個乒乓球，以表示第堆的乒乓球總數，則 ； （答案用表示）。分析：先對等個別情形計算，再進行歸納證明：解：從所給的圖示可以看出：當時，；當時，；當時，這堆球就有三層，第3層有1個，第2層有3個，第1層應有6個，因此共有個，即；當時，應有，即；由此可歸納出第堆的乒乓球總數為：。點評：解答本題時，先通過計算得出時，乒乓球堆的總個數，然后以此特殊情形為基礎進行抽象、概括、類比、歸納，探求出一般情形乒乓球堆的總個數的規律關系式，解答過程中運用了合情推理中的“由特殊到一般”的思維模式進行歸納推理，從而使本題獲解，本題對抽象、概括、歸納、類比等推理能力的要求較高。二、升維例3、半徑為的圓的面積為周長，若將看作上的變量，則，式可用語言敘述為：圓的面積函數的導數等于圓的周長函數；對于半徑為的球，若將看作上的變量，請你寫出類似于的式子 ，式可用語言敘述為 。分析：可對函數中的次數進行升冪，再概括總結和歸納：解：由于球的體積公式為，將看作上的變量，則是關于的函數，因此對其求導數可得類似于的式子是，不難看出 恰好是球的面積函數，即，故可用語言敘述為：球體積函數的導數等于球的面積函數。點評：本題為類比推理題，解答時依據圓的面積函數與周長函數之間的關系，“升維”類比出球的體積函數與面積函數之間的關系，從而獲得問題的答案，解答好這類問題的關鍵要學會對同類問題進行聯想，從而有效推出結論。例4、在平面幾何里有勾股定理：“設的兩邊互相垂直，則。”拓展到空間類比平面幾何里的勾股定理研究三棱錐的側面積與底面積間的關系，可以得出的正確結論是：“設三棱錐的三個側面兩兩互相垂直，則 。”分析：可將平面上的二維空間上升到三維的立體空間進行推證：解：依據題設的提示應有結論：。證明如下：如圖2，過作的垂線垂足為，連，則，因，而，則，所以，故應填答案。點評：本題為類比推理題，解答時依據試題中的提示，將平面問題推廣到空間中，從而“升維”類比出關于三棱錐的一個結論，從而使問題獲解，解答好這類問題的關鍵要學會對同類問題進行聯想、類比，進而有效推理論證得出結論。三、橫向例5、在等差數列中，若，則有等式成立，類比上述性質，相應地，在等比數列中，若，則有等式 成立。分析：可將等差數列的情形推廣到等比數列的情形進行求解：解：等差數列與等比數列在橫向上有很多可比的性質，類比上述等差數列，可得結論是：。推證過程是：在等差數列中，由得：，注意到，所以，即，又因，故 有=；若，同理可得：，由于等比數列與等差數列的差別在“積”與“和”，因此對等差數列的“和”橫向類比到等比數列的“積”可以得到：在等比數列中，若，應有：，故填答案。點評：本題屬類比推理題，由于等差數列與等比數列在橫向上有很多可比的性質，如等差數列的項之間（或結果）的加減運算與等比數列相應的項之間（或結果）的乘除運算，等差數列中的“0”與等比數列中的“1”也具有可類比的對應關系。例6、設分別是橢圓的左、右兩個焦點，(1)、若橢圓上點到兩點的距離之和等于，寫出橢圓的方程和焦點坐標；(2)、若是上述橢圓上一動點，求線段的中點的軌跡方程；(3)、已知橢圓具有性質：若是上述橢圓上關于原點對稱的兩點，點是橢圓上任意一點，當直線的斜率都存在，并記為時，那么與之積是與點的位置無關的定值，試寫出雙曲線具有類似特性的性質并加以證明。分析：可將橢圓的問題結論推廣到雙曲線的情形中去論證：解：（1）、由橢圓的定義可得：，即，將及代入橢圓方程得：，即，故，則所求橢圓的方程為；其左、右兩個焦點的坐標分別為；（2）、設動點，則的中點坐標為，則，注意到點在已知橢圓上，所以。（3）、類似特性的性質是：若是上述雙曲線上關于原點對稱的兩點，點是雙曲線上任意一點，當直線的斜率都存在，并記為時，那么與之積是與點的位置無關的定值。證明過程如下：設點，則，其中，又設點的坐標為，則，注意到，點在雙曲線上，故，代入可得：，這就是說：與之積是與點的位置無關的定值。點評：本題屬類比、探究、推理題，解答時借助橢圓、雙曲線在橫向上也具有許多相似的性質可以類比這一規律，大膽推測、探索，再用嚴格的邏輯證明驗證了結論的正確，從而使問題獲解，因此在解答與橢圓、雙曲線有關的問題時，學會從橫向上進行類比、聯想、猜測、探究，可能會獲得非常絕妙的效果。四、縱向例7、設函數的圖像與直線及軸所圍成的面積稱為函數在區間上的面積。已知函數在區間上的面積為，則函數在區間上的面積為 。函數在區間上的面積為 。分析：將要求解的問題從縱向角度進行分析求解：解：、如圖，解答時依據題設可知：當時，其面積為，故由函數圖像的對稱性可知函數在區間上的面積為，故應填答案；、如圖2，作出函數的圖像，則所求圖形的面積應為直線及所成的矩形的面積再加上，即，故應填答案。點評：本題屬結論探索推理型試題，試題以三角函數為背景，規定了“面積”概念的內涵，然后要求探求另外兩種圖形的面積，旨在考查學生的類比、探究、分析、比較、轉化等數學思想與方法及合情推理的能力，從問題的設置來看，對試題從縱向進行拓展，加大了試題的梯度與思維的層次性、探究性，從而達到了考查學生類比、分析、轉化及推理計算的能力之目的。例8、已知函數有如下性質：如果常數，那么函數在上是減函數，在上是增函數（1）如果函數的值域是，求；（2）研究函（常數）在定義域內的單調性，并說明理由；（3）對函數和（常數）作出推廣，使它們都是你所推廣的函數的特例，研究推廣后的函數的單調性（只須寫出結論不必證明），并求函數（是正整數）在區間上的最大值和最小值（可利用你研究得到的結論）。分析：可從函數的形式特征中縱向進行分析求解解：（1）因，故，即，則。（2）設，則，當時，即，故函數在區間上單調遞減函數；當時，即，函數在區間上單調遞增函數；又因函數是偶函數，故同理可證：函數在區間上是單調遞減函數，函數在區間上是單調遞增函數。（3）因，故函數和推廣后的結論是：，當是奇數時，函數在區間及區間上單調遞減函數；函數在區間及上是單調遞增函數；當是偶數時，函數在區間及區間上單調遞減函數；函數在區間及上是單調遞增函數。又因函數，故函數在區間上是減函數，在區間上是增函數，所以當時，函數（當且僅當取等號），即函數在處取最小值；當或時，函數取最大值，即函數在或處取最大值。點評：本題在解答時，借助題設給出的特殊情形，即對函數的指數從1，2的特殊數值，向一般情形（任意正整數）的縱深進行推廣，從而達到了對觀察、類比、歸納、探究等能力進行了有效的考查。本題以函數的單調性、最值為載體，以考查能力為主線精心設置問題情境，解答時拾階而上，逐步深入，體現了高考以考查能力為宗旨的命題原則，是一道難得的好題。五、逆向例9、求出一個數學問題的正確結論后，將其作為條件之一，提出與原來問題有關的新問題，我們把它稱為原來問題的一個“逆向”問題。例如，原來問題是“若正四棱錐底面邊長為4，側棱長為3，求該四棱錐的體積”。求出體積后，它的一個“逆向”問題可以是“若正四棱錐底面邊長為4，體積為，求該四棱錐的側棱長”；也可以是“若正四棱錐的體積為，求該四棱錐的所有側面面積之和的最小值”。試給出問題“在平面直角坐標系中，求點到直線的距離”的一個有意義的“逆向”問題，并解答你所給出的“逆向”問題。分析：可從問題的逆向進行分析求解：解：因為點到直線的距離為，所以有意義的“逆向”問題可以是：（1）求到直線的距離為2的點的軌跡方程；解：設點是所求軌跡上的任意一點，則依據點到直線距離公式可得：，即，故所求點的軌跡方程為。（2）若點到直線的距離為2，求直線的方程。解：由題設及點到直線的距離公式可得：，化簡整理得：，即或，又因，所以欲求直線的方程為或。意義不大的“逆向”問題可以是：（3）點是不是到直線的距離為2的一個點？解：因為，所以點是到直線的距離為2的一個點。（4）點是不是到直線的距離為2的一個點？解：因為，所以點不是到直線的距離為2的一個點。（5）點是不是到直線的距離為2的一個點？解：因為，所以點不是到直線的距離為2的一個點。點評：本題是一道