積分第一中值定理及其推廣證明_第1頁
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文檔簡介

2.1積分第一中值定理證明積分第一中值定理:如果函數在閉區間上連續，在上不變號，并且在閉區間上是可積的，則在上至少存在一點，使得成立。證明如下：由于在閉區間上不變號，我們不妨假設，并且記在閉區間上的最大值和最小值為和，即，我們將不等式兩邊同乘以可以推出，此時對于任意的都會有成立。對上式在閉區間上進行積分，可以得到。此時在之間必存在數值，使得，即有成立。由于在區間上是連續的，則在上必定存在一點，使成立。此時即可得到，命題得證。2.2積分第一中值定理的推廣定理：（推廣的第一積分中值定理）若函數是閉區間上為可積函數，在上可積且不變號，那么在開區間上至少存在一點，使得成立。推廣的第一積分中值定理很重要，在這里給出兩種證明方法。證法1：由于函數在閉區間上是可積的，在上可積且不變號，令，很顯然在上連續。并且， 。由柯西中值定理即可得到，化簡，即，根據上式我們很容易得出，命題得證。證法2：由于函數在上可積且不變號，我們不妨假設。而函數在閉區間上可積，我們令，。假設是在閉區間上的一個原函數，即。我們就可以得到下面等式（2.2.1）此時由于，則會有，由于存在兩種可能性，那么下面我們就要分兩種情況以下我們分兩種情形來進行討論：(1).如果，由等式（2.2.1）可得出，那么對于都有恒成立。(2).如果，將（2.2.1）除以可得，（2.2.2）我們記 ，（2.2.3）此時我們又分兩種情形繼續進行討論：（）如果（2.2.2）式中的等號不成立，即有成立，則此時一定就存在，可以使得，我們不妨假設，這其中。因為，則會有。此時至少存在一點，使得，即有成立，從而結論成立。（）如果（2.2.2）式中僅有一個等號成立時，我們不妨假設，因為，此時一定存在區間（其中），使得，恒有成立，我們可以將（2.2.3）式進行簡化，因為，則有（2.2.4）而且我們已知，則。于是（2.2.5）在式子（2.2.5）下必定存在，使得。如果不存在一個，使得，則在閉區間上必定有及成立，從而使得。如果，

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