異面直線所成的角的兩種求法初學立幾的同學,遇到的第一個難點往往便是求異面直線所成的角。難在何處？不會作！下面介紹兩種求法一傳統求法-找、作、證、求解。求異面直線所成的角，關鍵是平移點的選擇及平移面的確定。平移點的選擇：一般在其中一條直線上的特殊位置，但有時選在空間適當位置會更簡便。平移面的確定：一般是過兩異面直線中某一條直線的一個平面，有時還要根據平面基本性質將直觀圖中的部分平面進行必要的伸展，有時還用“補形”的辦法尋找平移面。例1 設空間四邊形ABCD，E、F、G、H分別是AC、BC、DB、DA的中點，若AB12，CD4 ，且四邊形EFGH的面積為12 ，求AB和CD所成的角. 解 由三角形中位線的性質知，HGAB，HECD， EHG就是異面直線AB和CD所成的角. EFGH是平行四邊形，HG AB6，HE ，CD2， SEFGHHGHEsinEHG12 sinEHG, 12 sinEHG12. sinEHG,故EHG45. AB和CD所成的角為45注：本例兩異面直線所成角在圖中已給，只需指出即可。例2.點A是BCD所在平面外一點，AD=BC，E、F分別是AB、CD的中點，且EF= AD，求異面直線AD和BC所成的角。（如圖）解：設G是AC中點，連接DG、FG。因D、F分別是AB、CD中點，故EGBC且EG= BC，FGAD，且FG=AD，由異面直線所成角定義可知EG與FG所成銳角或直角為異面直線AD、BC所成角，即EGF為所求。由BC=AD知EG=GF=AD，又EF=AD，由余弦定理可得cosEGF=0，即EGF=90。 注：本題的平移點是AC中點G，按定義過G分別作出了兩條異面直線的平行線，然后在EFG中求角。通常在出現線段中點時，常取另一線段中點，以構成中位線，既可用平行關系，又可用線段的倍半關系。例3.已知空間四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M、N分別為BC、AD的中點。 求：AM與CN所成的角的余弦值；解：(1)連接DM,過N作NEAM交DM于E，則CNE 為AM與CN所成的角。 N為AD的中點, NEAM省 NE=AM且E為MD的中點。設正四面體的棱長為1，則NC= 且ME=MD= 在RtMEC中，CE2=ME2+CM2=+= cosCNE=,又CNE (0, ) 異面直線AM與CN所成角的余弦值為.注：1、本題的平移點是N，按定義作出了異面直線中一條的平行線，然后先在CEN外計算CE、CN、EN長，再回到CEN中求角。2、作出的角可能是異面直線所成的角，也可能是它的鄰補角，在直觀圖中無法判定，只有通過解三角形后，根據這個角的余弦的正、負值來判定這個角是銳角（也就是異面直線所成的角）或鈍角（異面直線所成的角的鄰補角）。最后作答時，這個角的余弦值必須為正。例4.如圖所示，在空間四邊形ABCD中，點E、F分別是BC、AD上的點，已知AB=4，CD=20，EF=7， 。求異面直線AB與CD所成的角。 解：在BD上取一點G，使得，連結EG、FG 在BCD中，故EG/CD，并且， 所以，EG=5；類似地，可證FG/AB，且， 故FG=3，在EFG中，利用余弦定理可得 cosFGE=，故FGE=120。 另一方面，由前所得EG/CD，FG/AB，所以EG與FG所成的銳角等于AB與CD所成的角，于是AB與CD所成的角等于60。 例5 在長方體ABCDA1B1C1D1中，AA1=c，AB=a，AD=b，且ab求AC1與BD所成的角的余弦解一：連AC，設ACBD=0，則O為AC中點，取C1C的中點F，連OF，則OFAC1且OF=AC1，所以FOB即為AC1與DB所成的角。在FOB中，OB=，OF=，BE=，由余弦定理得cosFOB=解二：取AC1中點O1，B1B中點G在C1O1G中，C1O1G即AC1與DB所成的角。解三：延長CD到E，使ED=DC則ABDE為平行四邊形AEBD，所以EAC1即為AC1與BD所成的角連EC1，在AEC1中，AE=，AC1=，C1E=由余弦定理，得cosEAC1=0所以EAC1為鈍角根據異面直線所成角的定義，AC1與BD所成的角的余弦為二利用兩個向量的夾角公式（），可以求空間兩條直線所成的角。例 6 如圖，在正方體ABCDA1B1C1D中，E、FFA1B1C1D1BCDAE分別是BB1、CD的中點. 求AE與D1F所成的角解: 取AB中點G,連結AG,FG.因為F是CD的中點,所以GF、AD平行且相等,又A1D1、AD平行且相等,所以GF、A1D1平行且相等,故GFD1A1是平行四邊形,AGD1F. 設A1G與AE相交于點H,則AHA1是AE與D1F所成的角,因為E是BB1的中點,所以RtA1AGRtABE, GA1A=GAH，從而AHA1=90,即直線AE與D1F所成角為直角.下邊看利用向量的有關知識解答該題：證明：如右圖建立空間直角坐標系：Dxyz。FA1B1C1D1BCDAEYXZ設正方體的棱長為2，則有A（2，0，0）、（2，0，2）D（0，0，0）、D1（0，0，2）、F（0，1，0）、E（2，2，1）（I）=（0，2，1），=（0，1，2）=（0，2，1）（0，1，2）= 0AED1FAE與D1F所成的角為90即直線AE與D1F所成角為直角.由上述的解答，可以看到傳統方法解決立體幾何問題，過程、圖形都比較復雜，而用向量解答目標明確，在未計算之前，就已經知道結果了，證明的過程只是計算驗證，通過空間直角坐標系，把復雜的幾何證明轉化為簡單的代數計算，學生對于代數運算較熟悉，避免了傳統方法造成邏輯推理上的不便和由于輔助線的添加造成圖形的復雜化等問題，相比傳統方法更容易接受和掌握。因此，空間向量是處理立體幾何問題的強有力工具。例7已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，ABDC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中點。求AC與PB所成的角；解：因為PAPD，PAAB，ADAB，以A為坐標原點AD長為單位長度，如圖建立空間直角坐標系，則各點坐標為A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，.因用傳統方法解決兩異面直線所成的角問題，通常都必須添加輔助線，并且要經過各種手段進行轉化，它具有較大的靈活性，學生掌握起來比較困難。空間向量的引入，給傳統的立體幾何內容注入了新的活力，向量是既有大小又有方向的量，既具有圖形的直觀性，又有代數推理的嚴密性，是數形結合的一個很好的橋梁。而空間向