目 錄摘要 21無窮級數求和問題的幾種方法 21.1利用級數和的定義求和 21.2利用函數的冪級數展開式求和 31.3利用逐項求積和逐項求導定理求和 41.4逐項求極限 51.5利用級數求和 71.6構建微分方程 91.7拆項法 91.8將一般項寫成某數列相鄰項之差 102總結 123參考文獻 12 無窮級數求和問題的幾種方法摘要：無窮級數是數學分析中的一個重要內容，同時無窮級數求和問題，也是學生學習級數過程中較難掌握的部分.然而，無窮級數求和沒有一個固定的方法可循.本文結合具體例子，根據無窮級數的不同特點，介紹幾種常用的求無窮級數的和的方法和技巧.關鍵詞：數項級數；冪級數；級數求和無窮級數是數學分析中的一個重要內容，它是以極限理論為基礎，用以表示函數，研究函數的性質以及進行數值計算的一種重要工具.然而數學分析中注重函數的斂散問題，卻對無窮級數求和問題的方法介紹的比較少，所以求和問題是學生學習級數過程中較難掌握的部分.無窮級數求和沒有一個固定的方法可循.本文結合具體例子，根據不同的無窮級數的不同特點，介紹幾種常用的求無窮級數的和的方法和技巧.1利用級數和的定義求和定義 若級數的部分和數列收斂于有限值S，即,則稱級數收斂，記為，此時S稱為級數的和數；若部分和數數列發散，則稱級數發散. 例1 求級數，的和 . 解： (1) (2)（1）-（2）得：即級數和 .2利用函數的冪級數展開式求和利用函數的冪級數展開式可以解決某些級數的求和問題.下面是幾個重要的冪級數展開式：例等等.例2 求的和.解 : =注意到得.3利用逐項求積和逐項求導定理求和定理 設冪級數的收斂半徑為,其和函數為，則在內冪級數可以逐項積分和逐項微分.即：對內任意一點，有：并且逐項積分和逐項求導后的級數（顯然是冪級數），其收斂半徑仍為.例3 計算無窮級數之和.解：對于級數.兩邊從0積分到得,，兩邊從0積分到得,上式右邊是原級數.故級數和,.例4 求冪級數的和函數.解：令，冪函數的收斂半徑故原函數的收斂半徑，從而收斂區間為，而知級數，記，且于是，對上式，從0到作積分得,=因此.4逐項求極限如果函數在端點處無定義，那么可用求極限的方法討論在端點處的和函數.例5 求冪級數的和函數.解：（1）容易驗證該冪級數的收斂域為.（2）再求冪級數在其收斂區間上的和函數，下面用逐項求導的方法求解.設，則有再設，又有于是對上式兩邊進行積分，得并有.再進行積分，又得（3）最后討論冪級數在其收斂域上的和函數.因為函數在處左連續，而冪級數在處收斂，所以等式在處也成立.但因在處無定義，故要改用逐項求極限來確定該冪級數在處的值，即由得到所以原冪級數的和函數為.5利用級數求和求某些數值級數的和可選擇某個特殊的函數在或上展成傅里葉級數，然后再去適當的值或逐項積分即可.例6 求的和.解：可以看作是余弦函數在時的值，因此可以考慮適當選取一個偶函數，滿足對于上式左端利用分部積分，得到=注意到有取，則同時，這樣在上的級數為令，得例7 證明: .證明:將函數展成傅里葉級數，是由柏塞瓦爾等式（函數連續）,有即.6構建微分方程如果某些級數的一般項的分母類似于階乘的級數時，可以利用經過逐項積分或逐項積分后得到的級數之和函數與原級數的和函數構成微分方程，然后解微分方程來求其和.例8 求級數之和.解：設冪級數則于是所得一階微分方程：,其通解為由得因此得從而.7拆項法無窮級數求和時，有時根據一般項的特點，將一般項進行拆分來簡化運算過程.例9 求冪級數的和函數.解:先求冪級數的收斂域.因為，且級數與都發散，所以冪級數的收斂域為.由于因此,因為冪級數的收斂域為，所以所求和函數為,.8將一般項寫成某數列相鄰項之差用這一方法求無窮級數的和，首先需要解決：已知，如何求？當，其中形成公差為的等差數列時，（為待定因子）.于常數項級數，如果能將一般項寫某數列的相鄰兩項之差:且極限存在，則，所以.例10 求級數之和.解：一般項=令則，.例11 求的和.解: 則 .總之，窮級數求和沒有一個固定的方法可循，其實無窮級數求和方法很多，我們要善于發現和總結.這里只介紹了一些常用的方法和技巧，希望對大家計算求和問題有一定的幫助.參考文獻 ：陳傳璋.數學分析.北京：高等教育出版社.1983.裘兆泰.王承國.數學分析學習指導.北京：科學出版社.2004.李素峰.關于無窮級數求和問題的探討.邢臺學院學報,2008,23(4):100-101.吳良森.毛羽輝.數學分析學習指導書.北京：高等教育出版.2004.劉玉璉.楊奎元.數學分析講義學習輔導書.北京：高等教育出版社.1987.Several Methods of Problem of Infinite Series SummationLiuYanhong Mathematical sciences college,mathematics and applied mathematicsAdvisor Liu GuantingAbstract: The infinite series is an important part of mathematical analysis, and infinite series summation problem is a difficult part to master for students. However, infinite series summation has not a fixed method to follow. Combined with a concrete example, according to the different characteristics of the infinite series, we introduce s