等差與等比數列知識與方法總結一、知識結構與要點定義 通項等差中項 a、b、c成等差基本概念 推廣 前n項和等差數列 當d0(0) 時為遞增（減）數列 當d=0時為常數 基本性質 與首末兩端等距離的項之和均相等 中共成等差則也成等差定義: 通項 等比中項：a b c成等比數列基本概念 推廣前n項和 等比數列 與首末兩端等距離的兩項之積相等 成等比，若 成等差則 成等比 基本性質 當 或 時 為遞增數列 當 或 時 為遞減數列 當 q0時 為擺動數列 當 q=1時 為常數數列二、等差數列、等比數列基礎知識與方法概括（一）一般數列數列的定義及表示方法；數列的項與項數；有窮數列與無窮數列；遞增（減）、擺動、循環數列；數列an的通項公式an；數列的前n項和公式Sn；一般數列的通項an與前n項和Sn的關系： （二）等差數列1等差數列的概念定義如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母d表示。 即：2等差數列的判定方法（1）定義法：對于數列，若(常數)，則數列是等差數列。 （2）等差中項法：對于數列，若，則數列是等差數列。3等差數列的通項公式如果等差數列的首項是，公差是，則等差數列的通項為。說明：該公式整理后是關于n的一次函數。4等差數列的前n項和 （1） （ 2.） 說明對于公式2整理后是關于n的沒有常數項的二次函數。5等差中項如果，成等差數列，那么叫做與的等差中項。即：或說明：在一個等差數列中，從第2項起，每一項（有窮等差數列的末項除外）都是它的前一項與后一項的等差中項；事實上等差數列中某一項是與其等距離的前后兩項的等差中項。6等差數列的性質（1）等差數列任意兩項間的關系：如果是等差數列的第項，是等差數列的第項，且，公差為，則有（2）.對于等差數列，若，則。也就是：，如圖所示：（3）若數列是等差數列，是其前n項的和，那么，成等差數列。如下圖所示：（4）設數列是等差數列，是奇數項的和，是偶數項項的和，是前n項的和，則有如下性質：奇數項 偶數項 所以有 ； 所以有（5）若等差數列的前項的和為，等差數列的前項的和為，則。（三）等比數列1等比數列的概念定義：等比中項如果在與之間插入一個數，使，成等比數列，那么叫做與的等比中項。也就是，如果是的等比中項，那么，即。2等比數列的判定方法（1）定義法：對于數列，若，則數列是等比數列。 （2）等比中項：對于數列，若，則數列是等比數列。3.等比數列的通項公式如果等比數列的首項是，公比是，則等比數列的通項為。4.等比數列的前n項和5.等比數列的性質（1）等比數列任意兩項間的關系：如果是等比數列的第項，是等差數列的第項，且，公比為，則有（2）.對于等比數列，若，則也就是：。如圖所示：（3）若數列是等比數列，是其前n項的和，那么，成等比數列。如下圖所示：三、數列的通項求法1.等差，等比數列的通項；2.3.迭加累加 ，迭乘累乘， ， ， ， ， ， 注：4. 數列間的關系(1) (2)（3）遞推數列能根據遞推公式寫出數列的前n項由 解題思路：利用 變化（）已知 （）已知若一階線性遞歸數列an=kan1+b（k0,k1）,則總可以將其改寫變形成如下形式:(n2)，于是可依據等比數列的定義求出其通項公式；四、數列的求和方法（詳細講解見六）1.等差與等比數列求和公式2.裂項相消法： 如：an=1/n(n+1)3.錯位相減法：, 所以有如：an=(2n-1)2n4.倒序相加法：如已知函數求：。5.通項分解法：如：an=2n+3n五、其它方面1、在等差數列中,有關Sn 的最值問題常用鄰項變號法求解：(1)當,d0時，滿足 的項數m使得取最小值。在解含絕對值的數列最值問題時,注意轉化思想的應用。2、三個數成等差的設法：a-d,a,a+d；四個數成等差的設法：a-3d,a-d,a+d,a+3d3、三個數成等比的設法：a/q,a,aq；四個數成等比的錯誤設法：a/q3,a/q,aq,aq3 (為什么？)4、求數列an的最大、最小項的方法： an+1-an= 如an= -2n2+29n-3 (an0) 如an= an=f(n) 研究函數f(n)的增減性 如an=六、專題講座一 數列求和題的基本思路和常用方法一、利用常用求和公式求和 1、 等差數列求和公式： 2、等比數列求和公式：3、 4、5、 例1 已知數列，（x0），數列的前n項和，求。解：當x=1時， 當x1時，為等比數列，公比為x由等比數列求和公式得 （利用常用公式） 【鞏固練習】1：已知數列的通項公式為，為的前n項和，（1）求； （2）求的前20項和。 解：二、錯位相減法求和這種方法是在推導等比數列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數列anbn的前n項和，其中 an 、 bn 分別是等差數列和等比數列.例2 求和：（）當x=1時，當x1時， . 兩邊同乘以x得 （設制錯位）得 （錯位相減）再利用等比數列的求和公式得： 【鞏固練習】2：求數列前n項的和.解：由題可知，的通項是等差數列2n的通項與等比數列的通項之積設 （設制錯位）得 （錯位相減） 三、反序相加法求和這是推導等差數列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數列倒過來排列（反序），再把它與原數列相加，就可以得到n個.例3 求證：證明： 設. 把式右邊倒轉過來得 （反序） 又由可得 . +得 （反序相加） 【鞏固練習】3：求的值解：設. 將式右邊反序得 （反序） 又因為 +得 （反序相加）89 S44.5四、分組法求和有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然后分別求和，再將其合并即可.形如：的形式，其中 an 、 bn 是等差數列、等比數列或常見的數列.例4 求數列的前n項和：，解：設將其每一項拆開再重新組合得 （分組）當a1時， （分組求和）當時，【鞏固練習】4：求數列n(n+1)(2n+1)的前n項和.解：設 將其每一項拆開再重新組合得 Sn （分組） （分組求和） 五、裂項法求和這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用. 裂項法的實質是將數列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的. 通項分解（裂項）如：（1） （2）（3） （4）（5）(6) （7）（8）= （9）例5 求數列的前n項和.解： （裂項）則 （裂項求和） 【鞏固練習】5：在數列an中，又，求數列bn的前n項的和.解： （裂項） 數列bn的前n項和 （裂項求和） 求證：解：設 （裂項） （裂項求和） 原等式成立 求和：六、合并法求和針對一些特殊的數列，將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質，因此，在求數列的和時，可將這些項放在一起先求和，然后再求Sn. 例6 求cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179的值.解：設Sn cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179 （找特殊性質項）Sn （cos1+ cos179）+（ cos2+ cos178）+ （cos3+ cos177）+（cos89+ cos91）+ cos9 （合并求和） 0【鞏固練習】6：在各項均為正數的等比數列中，若的值.解：設由等比數列的性質 （找特殊性質項）和對數的運算性質 得（合并求和） 10七、利用數列的通項求和先根據數列的結構及特征進行分析，找出數列的通項及其特征，然后再利用數列的通項揭示的規律來求數列的前n項和，是一個重要的方法.例7 求之和.解：由于 （找通項及特征） （分組求和）【鞏固練習】7： 已知數列an：的值.解： （找通項及特征） （設制分組） （裂項） （分組、裂項求和）高考遞推數列題型分類歸納解析 類型1 解法：把原遞推公式轉化為，利用累加法(逐差相加法)求解。例1. 已知數列滿足，求。變式: 已知數列，且a2k=a2k1+(1)k, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,.（I）求a3, a5；（II）求 an的通項公式.類型2 解法：把原遞推公式轉化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例1:已知數列滿足，求。例2:已知， ，求。變式:（2004，全國I,理15）已知數列an，滿足a1=1， (n2)，則an的通項 類型3 （其中p，q均為常數，）。解法（待定系數法）：把原遞推公式轉化為：，其中，再利用換元法轉化為等比數列求解。例:已知數列中，求.變式:（2006，重慶,文,14）在數列中，若，則該數列的通項_變式:（2006. 福建.理22.本小題滿分14分）已知數列滿足（I）求數列的通項公式；（II）若數列bn滿足證明：數列bn是等差數列；（）證明：類型4 （其中p，q均為常數，）。 （或,其中p，q, r均為常數） 。解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數列（其中），得：再待定系數法解決。例:已知數列中，,，求。變式:（2006，全國I,理22,本小題滿分12分）設數列的前項的和，（）求首項與通項；（）設，證明：類型5 遞推公式為（其中p，q均為常數）。解法一(待定系數法)：先把原遞推公式轉化為其中s，t滿足解法二(特征根法)：對于由遞推公式，給出的數列，方程，叫做數列的特征方程。若是特征方程的兩個根，當時，數列的通項為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關于A、B的方程組）；當時，數列的通項為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關于A、B的方程組）。解法一（待定系數迭加法）:數列：， ，求數列的通項公式。例:已知數列中，,，求。變式:1.已知數列滿足（I）證明：數列是等比數列；（II）求數列的通項公式；（III）若數列滿足證明是等差數列 2.已知數列中，,，求3.已知數列中，是其前項和，并且，設數列，求證：數列是等比數列；設數列，求證：數列是等差數列；求數列的通項公式及前項和。類型6 遞推公式為與的關系式。(或)解法：這種類型一般利用與消去 或與消去進行求解。例：已知數列前n項和.（1）求與的關系；（2）求通項公式.（2）應用類型4（其中p，q均為常數，）的方法，上式兩邊同乘以得：由.于是數列是以2為首項，2為公差的等差數列，所以變式:（2006，陜西,理,20本小題滿分12分) 已知正項數列an，其前n項和Sn滿足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比數列，求數列an的通項an 變式: (2005,江西,文,22本小題滿分14分）已知數列an的前n項和Sn滿足SnSn2=3求數列an的通項公式.類型7 解法：這種類型一般利用待定系數法構造等比數列，即令，與已知遞推式比較，解出,從而轉化為是公比為的等比數列。例:設數列：，求.變式:（2006，山東,文,22,本小題滿分14分）已知數列中，在直線y=x上，其中n=1,2,3 ()令 ()求數列()設的前n項和,是否存在實數，使得數列為等差數列？若存在試求出 不存在,則說明理由.類型8 解法：這種類型一般是等式兩邊取對數后轉化為，再利用待定系數法求解。例：已知數列中，求數列變式:（2005，江西,理,21本小題滿分12分）已知數列（1）證明 （2）求數列的通項公式an.變式:（2006,山東,理,22,本小題滿分14分）已知a1=2，點(an,an+1)在函數f(x)=x2+2x的圖象上，其中=1，2，3，（1） 證明數列lg(1+an)是等比數列；（2） 設Tn=(1+a1) (1+a2) (1+an)，求Tn及數列an的通項；記bn=，求bn數列的前項和Sn，并證明Sn+=1 類型9 解法：這種類型一般是等式兩邊取倒數后換元轉化為。例：已知數列an滿足：，求數列an的通項公式。變式:（2006，江西,理,22,本大題滿分14分）1.已知數列an滿足：a1，且an（1） 求數列an的通項公式；（2） 證明：對于一切正整數n，不等式a1a2an2n！2、若數列的遞推公式為，則求這個數列的通項公式。3、已知數列滿足時，求通項公式。4、已知數列an滿足：，求數列an的通項公式。5、若數列a中，a=1，a= nN，求通項a 類型10 解法：如果數列滿足下列條件：已知的值且對于，都有（其中p、q、r、h均為常數，且），那么，可作特征方程,當特征方程有且僅有一根時,則是等差數列;當特征方程有兩個相異的根、時，則是等比數列。例：已知數列滿足性質：對于且求的通項公式. 例：已知數列滿足：對于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）當取哪些值時，無窮數列不存在？變式:（2005，重慶,文,22,本小題滿分12分）數列記（）求b1、b2、b3、b4的值； （）求數列的通項公式及數列的前n項和類型11 或解法：這種類型一般可轉化為與是等差或等比數列求解。例：（I）在